Diziler ve Seriler — Konu Anlatımı

Dizi Kavramı

Dizi, tanım kümesi doğal sayılar olan bir fonksiyondur: $a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$

$(a_n)$ gösterimi kullanılır; $a_n$ dizinin genel terimidir.

Genel terim bilindiğinde herhangi bir terim doğrudan hesaplanabilir — dizinin başından itibaren gitmek gerekmez.

Dizi monoton artan ise $a_{n+1} > a_n$, monoton azalan ise $a_{n+1} < a_n$'dir.

Aritmetik Dizi

Ardışık terimler arasındaki fark sabittir.

$a_n = a_1 + (n-1)d$

İlk $n$ terimin toplamı:

$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} = \dfrac{n\left[2a_1 + (n-1)d\right]}{2}$

Aritmetik dizide herhangi bir terim, komşularının aritmetik ortalamasıdır.

Geometrik Dizi ve Seri

Ardışık terimler arasındaki oran sabittir.

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

$S_n = \dfrac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$  ($r \neq 1$)

Sonsuz geometrik seri yalnızca $|r| < 1$ iken toplanabilir:

$S = \dfrac{a_1}{1 - r}$

$0{,}999\ldots = 1$ eşitliği bu formülle kanıtlanır.

Sık Yapılan Hata

Sonsuz seri formülünü $|r| \geq 1$ durumunda kullanmak. $|r| \geq 1$ ise seri ıraksar ve toplamı yoktur.

İkinci hata: genel terim formülünde $(n-1)$ yerine $n$ yazmak. İlk terim $n = 1$ için elde edildiğinden çarpan $(n-1)$'dir.

Sık sorulanlar