Tiyatro Salonunda Kaç Koltuk Var?
Bir tiyatro salonunun ilk sırasında 20 koltuk var. Her sıra bir öncekinden 2 koltuk fazla ve toplam 15 sıra var. Son sırada kaç koltuk bulunur?
Sırayla yazalım: 20, 22, 24, 26, … İkinci sıraya 2 bir kez, üçüncüye iki kez eklendi. 15. sıraya ise 2 tam 14 kez eklenir:
$a_{15} = 20 + 14 \cdot 2 = 48$
Neden 15 değil de 14? Çünkü ilk sıraya hiç ekleme yapılmadı. Genel kural buradan çıkar: $a_n = a_1 + (n - 1)d$. Ardışık terimler arasındaki $d$ farkı sabit olan bu tür sıralamaya aritmetik dizi denir.
Salonda toplam kaç koltuk var? İlk ve son sırayı eşleyin: $20 + 48 = 68$. İkinci ve sondan ikinci: $22 + 46 = 68$. Her çift aynı toplamı verir. 15 sırada 7 çift ve ortada tek kalan 8. sıra (34 koltuk) var: $7 \cdot 68 + 34 = 510$. Kısa yolu:
$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} = \dfrac{15 \cdot 68}{2} = 510$
Dizi, Tanım Kümesi Sayma Sayıları Olan Fonksiyon
Koltuk sayısını $a_n = 2n + 18$ diye de yazabiliriz: $n = 1$ için 20, $n = 15$ için 48. Dizi, girdisi $1, 2, 3, \dots$ olan bir fonksiyondur. Grafiği bu yüzden kesintisiz bir çizgi değil, yan yana noktalardır; 7,5. sıra diye bir şey yoktur.
Bu tanım bir tuzağı da açıklar. $a_n = \dfrac{1}{n - 3}$ bir dizi midir? $n = 3$ için payda sıfır olur ve üçüncü terim yazılamaz. Her sayma sayısında tanımlı olmadığı için dizi değildir.
Monotonluk için ardışık iki terimin farkına bakılır. $a_n = \dfrac{n+1}{n}$ dizisinde terimler 2; 1,5; 1,33… diye gider, $a_{n+1} - a_n = -\dfrac{1}{n(n+1)} < 0$ olduğu için dizi azalandır.
Aritmetik dizide iki terim biliniyorsa gerisi bulunur: $a_4 = 17$ ve $a_{10} = 35$ ise aradaki 6 adımda 18 artmış, $d = 3$ ve $a_1 = 17 - 3 \cdot 3 = 8$. Her terim komşularının ortalamasıdır: $a_5 = \dfrac{a_4 + a_6}{2}$.
Top Her Sıçramada Biraz Daha Az Yükseliyor
5 metreden bırakılan bir top, her sıçramada bir önceki yüksekliğin $\frac{3}{5}$'i kadar yükseliyor. Sıçrama yükseklikleri 3 m; 1,8 m; 1,08 m… Bu kez fark sabit değil: 1,2 ve 0,72. Sabit olan oran: her terim bir öncekinin 0,6 katı. Böyle bir diziye geometrik dizi denir:
$a_n = a_1 \cdot r^{n-1} = 3 \cdot 0{,}6^{\,n-1}$
İlk $n$ terimin toplamı $S_n = \dfrac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$ ($r \neq 1$). İlk üç sıçramanın yükseklikleri toplamı: $\dfrac{3(1 - 0{,}216)}{0{,}4} = 5{,}88$ m. Elle de $3 + 1{,}8 + 1{,}08 = 5{,}88$.
Sonsuz Sıçrama, Sonlu Yol
Top kuramsal olarak sonsuz kez sıçrasın. Toplam yol sonsuz mu olur? Sonsuz tane pozitif sayı toplanıyor; ilk sezgi "evet" der. Ama terimler o kadar hızlı küçülür ki toplam bir sayıya yerleşir. $|r| < 1$ iken:
$S = \dfrac{a_1}{1 - r} = \dfrac{3}{1 - 0{,}6} = 7{,}5$ m
Top her sıçramada bu yüksekliği bir kez çıkıp bir kez iner. İlk düşüşteki 5 metreyi de ekleyince toplam yol $5 + 2 \cdot 7{,}5 = 20$ metredir.
Oran negatif de olabilir: $8 - 4 + 2 - 1 + \dots$ serisinde $r = -\frac{1}{2}$ ve toplam $\dfrac{8}{1 + \frac{1}{2}} = \dfrac{16}{3}$. $0{,}999\ldots$ ise $0{,}9 + 0{,}09 + \dots$ serisidir: $\dfrac{0{,}9}{1 - 0{,}1} = 1$.
$|r| \geq 1$ olunca formül kullanılamaz. $1 + 2 + 4 + 8 + \dots$ sınırsız büyür; formüle zorla konursa $\frac{1}{1-2} = -1$ gibi anlamsız bir sonuç çıkar.
Sık Yapılan Hata: "%5 Zam" Aritmetik Değildir
20.000 TL maaşa her yıl %5 zam yapılıyor. Öğrenciler bunun her yıl sabit 1.000 TL arttığını sanıyor. Hesaplayın: 20.000 → 21.000 → 22.050. Artışlar 1.000 ve 1.050; fark sabit değil, oran sabit (1,05). Bu yüzden dizi geometriktir ve 10 zamdan sonra maaş $20000 \cdot 1{,}05^{10} \approx 32.578$ TL olur. Aritmetik sanılsaydı 30.000 TL bulunurdu.
İkinci hata genel terimde $(n - 1)$ yerine $n$ yazmaktır. $a_n = a_1 \cdot r^n$ yazan öğrenci $n = 1$ için $a_1 \cdot r$ bulur, yani ilk terimi bile yanlış verir.
Kaçıncı Sıçramada? Testteki Üstel ve Logaritmaya Köprü
Geometrik dizi, üstel fonksiyonun yalnız sayma sayılarındaki değerleridir: $a_n = 3 \cdot 0{,}6^{\,n-1}$ ile $f(x) = 3 \cdot 0{,}6^{\,x-1}$ aynı kuraldır. Bu konunun testleri üstel fonksiyon ve logaritmayı soruyor; köprü tam burada.
Top hangi sıçramada 10 cm'nin altına iner? $3 \cdot 0{,}6^{\,n-1} < 0{,}1$ ise $0{,}6^{\,n-1} < \frac{1}{30}$. Bilinmeyen üste; logaritma alınır:
$n - 1 > \dfrac{\log(1/30)}{\log 0{,}6} \approx \dfrac{-1{,}477}{-0{,}222} \approx 6{,}66$
Negatif sayıya bölünce eşitsizlik yön değiştirdi. $n - 1 = 7$, yani 8. sıçramada yükseklik yaklaşık 8,4 cm'dir; 7. sıçramada hâlâ 14 cm.
Test kalıpları da aynı düşünceyi kullanır. 500 bakteri her saat iki katına çıkıyorsa $N(t) = 500 \cdot 2^t$; 64.000'e ulaşması için $2^t = 128$, $t = 7$ saat. 96 g radyoaktif madde 8 yılda 48 g'a iniyorsa yarı ömür 8 yıldır; 24 yıl sonra $96 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 12$ g kalır.
Sınav ipucu: "Her seferinde sabit miktar" → aritmetik dizi, doğrusal model. "Her seferinde sabit oran ya da yüzde" → geometrik dizi, üstel model. Sorulan şey "kaçıncı terim" ya da "kaç yıl sonra" ise bilinmeyen üstedir ve logaritma gerekir.
Sık sorulanlar
Sonsuz geometrik seri ne zaman toplanabilir?
Ortak oranın mutlak değeri 1'den küçükse (|r| < 1). O zaman toplam a₁ / (1 − r) olur; 3 m'den başlayıp 0,6 oranla küçülen sıçramaların toplamı 7,5 m'dir. |r| ≥ 1 ise seri ıraksar.
Genel terimde neden n değil n − 1 kullanılır?
Birinci terime hiç fark ya da oran eklenmez. 15. sıraya ilk sıradan sonra 14 adım atılarak gelinir; bu yüzden a₁₅ = 20 + 14 · 2 = 48 olur.
Yüzdeyle artan bir miktar hangi dizi türüdür?
Geometrik. %5 artış her yıl 1,05 ile çarpmaktır; artış miktarı her yıl büyür. 20.000 TL maaş 10 zamdan sonra yaklaşık 32.578 TL olur.
Dizi ile üstel fonksiyon arasındaki ilişki nedir?
Geometrik dizi, üstel fonksiyonun yalnız 1, 2, 3, … girdilerindeki değerleridir. "Kaçıncı terimde?" sorusu bu yüzden logaritmayla çözülür.