12. Sınıf Trigonometrik Denklemler ve Fonksiyonlar — Konu Anlatımı

Dönme Dolaptaki Kabin Ne Zaman 29 Metrede?

Çapı 36 m olan bir dönme dolabın merkezi yerden 20 m yüksekte ve dolap bir turu 30 dakikada tamamlıyor. Kabine en alt noktada, yani yerden 2 m yükseklikte biniyorsunuz. $t$ dakika sonraki yükseklik:

$h(t) = 20 - 18\cos\left(\dfrac{\pi t}{15}\right)$

Bu formülün her parçası bir şey anlatıyor:

• 20 — düşey öteleme: yüksekliğin ortalaması, yani merkezin yüksekliği.
• 18 — genlik: ortalamadan en fazla ne kadar uzaklaşılır (yarıçap). En alt $20 - 18 = 2$ m, en üst $20 + 18 = 38$ m.
• $\frac{\pi}{15}$ — periyodu belirler: $T = \dfrac{2\pi}{\pi/15} = 30$ dakika.

Kosinüsün önündeki eksi işareti neden var? $t = 0$ anında $\cos 0 = 1$ olduğundan $h(0) = 2$ m çıkar; kabin en alttan başlamış olur. Eksi olmasaydı en üstten başlardık.

Modelden Denkleme

Kabin hangi anlarda 29 m yüksekliktedir?

$20 - 18\cos\left(\dfrac{\pi t}{15}\right) = 29 \Rightarrow \cos\left(\dfrac{\pi t}{15}\right) = -\dfrac{1}{2}$

Kosinüsü $-\frac{1}{2}$ olan açılar $\frac{2\pi}{3}$ ve $\frac{4\pi}{3}$'tür; dolap döndükçe bunlara $2\pi$'nin katları eklenir:

$\dfrac{\pi t}{15} = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \Rightarrow t = 10 + 30k$    ya da    $\dfrac{\pi t}{15} = \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi \Rightarrow t = 20 + 30k$

İlk turda kabin 10. dakikada 29 m'ye çıkar, 20. dakikada yeniden bu yüksekliğe iner; arada 15. dakikada 38 m'lik tepeden geçer. Her turda 10 dakika boyunca 29 m'nin üstündedir.

Bir trigonometrik denklemin neden tek değil sonsuz çözümü olduğunu bu örnek açıklıyor: dolap dönmeye devam ettikçe aynı yükseklik her 30 dakikada bir tekrar gelir.

Üç Temel Denklemin Genel Çözümü

$k$ bir tam sayı olmak üzere:

• $\sin x = a$ → $x = \alpha + 2k\pi$ ya da $x = \pi - \alpha + 2k\pi$  ($\sin\alpha = a$)
• $\cos x = a$ → $x = \alpha + 2k\pi$ ya da $x = -\alpha + 2k\pi$  ($\cos\alpha = a$)
• $\tan x = a$ → $x = \alpha + k\pi$  ($\tan\alpha = a$)

Sinüste ikinci kök $\pi - \alpha$'dır, çünkü birim çemberde aynı yükseklikte iki nokta vardır: biri sağda, biri solda. Kosinüste ikinci kök $-\alpha$'dır, çünkü aynı yatay konumda biri üstte biri altta iki nokta vardır. Tanjantın periyodu $\pi$ olduğu için tek aile yeter.

Örnek: $\sin x = \frac{1}{2}$ için $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ ya da $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$. $[0, 2\pi)$ aralığında iki kök vardır.

Sınır durum: $\sin x = 2$ denkleminin hiç çözümü yoktur. Sinüs ve kosinüs yalnız $[-1, 1]$ aralığında değer alır; dönme dolap örneğinde bu, kabinin 38 m'den yükseğe hiç çıkamaması demektir.

Açı İki Katına Çıkınca Kök Sayısı

$[0, 2\pi)$ aralığında $\sin 2x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ denkleminin kaç kökü vardır?

$2x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ya da $2x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$

Şimdi ikiye bölün — $2k\pi$ de bölünür ve $k\pi$ olur:

$x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$ ya da $x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$

$k = 0$ ve $k = 1$ için aralığa dört kök düşer: $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}$.

Sık yapılan hata: $2k\pi$ terimini bölmeyi unutup yalnız iki kök yazmak. $\sin 2x$ fonksiyonunun periyodu $\pi$ olduğundan, $2\pi$ uzunluğundaki aralıkta iki tam dalga vardır; kök sayısı da iki katına çıkar. Aynı sebeple $y = 3\sin 2x$ fonksiyonunun periyodunu $2\pi$ sanmak da yanlıştır: $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

İkinci Dereceye İnen Denklemler

$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ denkleminde $\sin x = t$ deyin:

$2t^2 - t - 1 = 0 \Rightarrow (2t + 1)(t - 1) = 0 \Rightarrow t = 1$ ya da $t = -\frac{1}{2}$

İki değer de $[-1, 1]$ aralığında, ikisi de kabul. $[0, 2\pi)$ aralığında:

• $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}$ (tek kök — tepe noktası)
• $\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{7\pi}{6}$ ya da $x = \frac{11\pi}{6}$

Toplam üç kök. Neden dört değil? $\sin x = 1$ değerine birim çemberde yalnız bir noktada ulaşılır; sağdaki ve soldaki noktalar orada birleşir.

Sizce $t = 3$ gibi bir değer çıksaydı ne yapardık? Onu da, üstel denklemdeki negatif $t$ gibi, hiç çözüm aramadan elerdik.

Sınav ipucu: Soruda aralık verilmişse ($[0, 2\pi]$, $[0°, 360°]$ gibi) önce genel çözümü yazın, sonra $k = 0, 1, 2, \dots$ değerlerini tek tek deneyip aralığa girenleri sayın. Kapalı aralıkta uç değerin kök olup olmadığına ayrıca bakın: $[0, 2\pi]$ ile $[0, 2\pi)$ farklı sayıda kök verebilir.

Sık sorulanlar