Kardeşi 3 Dakika Geç Başlarsa Grafik Hangi Yöne Kayar?
Elif parkurda koşuyor; $t$. dakikada aldığı yol $f(t)$ metre. Kardeşi Can aynı hızla koşuyor ama 3 dakika geç başlıyor. Can'ın yolunu $f$ ile nasıl yazarsınız?
Çoğu öğrenci "geç başladı, 3 eksik" deyip $f(t) - 3$ ya da $f(t + 3)$ yazar. Düşünelim: Can 8. dakikada, Elif'in 5. dakikada bulunduğu yerdedir. Yani Can'ın $t$ anındaki yeri, Elif'in $t - 3$ anındaki yeridir:
$g(t) = f(t - 3)$
Can'ın grafiği Elif'inkinin 3 birim sağa kaymış hâlidir. Parantezin içinde eksi var, grafik ise sağa, yani artı yönüne gidiyor. İçeriye yazılan sayı zamanı, yani girdiyi değiştirir; aynı yol değerine ulaşmak için $t$'nin 3 büyük olması gerekir.
Dışarıdaki Sayı Çıktıyı, İçerideki Girdiyi Değiştirir
| İfade | Grafikte ne olur? ($k > 0$) |
|---|---|
| $f(x) + k$ | $k$ birim yukarı |
| $f(x - k)$ | $k$ birim sağa |
| $f(x + k)$ | $k$ birim sola |
| $-f(x)$ | $x$ eksenine göre yansıma |
| $f(-x)$ | $y$ eksenine göre yansıma |
| $k \cdot f(x)$ | düşey germe ($k > 1$) ya da sıkıştırma ($0 < k < 1$) |
| $f(kx)$ | yatay sıkıştırma ($k > 1$) |
Hepsi parkurda karşılık bulur. Can 200 m önden başlasaydı $f(t) + 200$, yani grafik yukarı kayardı. Elif'in iki katı hızla koşan biri $t$ dakikada Elif'in $2t$ dakikada aldığı yolu alır: $f(2t)$. Grafik yatayda yarıya sıkışır.
Bir örnek: $g(x) = (x - 2)^2 + 3$ grafiği, $y = x^2$ parabolünün 2 sağa ve 3 yukarı taşınmışıdır. Tepe noktası $(0, 0)$'dan $(2, 3)$'e gider.
Sık yapılan hata: Bu tepe noktası $(-2, 3)$ diye yazılır, çünkü içerideki $-2$ doğrudan koordinata aktarılır. $x - 2 = 0$ yapan değer 2'dir; tepe oradadır.
Ortalama Hız, Kesenin Eğimidir
Elif ilk 10 dakika dakikada 150 m koşuyor, sonra yorulup dakikada 80 m yürüyor. Yolu parçalı bir fonksiyondur:
$f(t) = \begin{cases} 150t, & 0 \leq t \leq 10 \\ 1500 + 80(t - 10), & t > 10 \end{cases}$
$f(10) = 1500$ ve $f(15) = 1900$. $[a, b]$ aralığındaki ortalama değişim oranı $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$'dır. İlk 15 dakika için $\dfrac{1900 - 0}{15} \approx 126{,}7$ m/dk.
Neden 150 ile 80'in ortalaması olan 115 değil? Çünkü Elif 10 dakika koştu, yalnız 5 dakika yürüdü; koşu daha çok ağırlık taşıyor. Geometrik anlamı: grafikte $(0, 0)$ ile $(15, 1900)$ noktalarını birleştiren kesenin eğimi.
Aralık daraldıkça bu oran o andaki hıza yaklaşır. $f(x) = x^2$ için $[1, 3]$'te oran $\frac{9 - 1}{2} = 4$, $[1;\ 1{,}1]$'de $\frac{1{,}21 - 1}{0{,}1} = 2{,}1$. Aralık küçüldükçe sonuç 2'ye yaklaşır; 12. sınıftaki türev bu sayıdır.
Parçalı fonksiyonda uç noktayı kaçırmayın. $h(x) = 2x - 1$ ($x < 3$), $h(x) = 10 - x$ ($x \geq 3$) ise $h(3) = 7$'dir, 5 değil; eşitlik ikinci parçada. $h(0) = -1$.
Mutlak Değer: Eksi Kalan Kısmı Yukarı Katlamak
$f(x) = 2x - 6$ fonksiyonunun sıfırı $x = 3$'tür. İşaret tablosu: $x < 3$ iken negatif, $x > 3$ iken pozitif. $|2x - 6|$ grafiği, bu doğrunun $x$ ekseninin altında kalan parçasının eksene göre yukarı katlanmasıyla oluşur; tepe noktası $(3, 0)$ olan bir V çıkar.
$|x| - 4$ ile $|x - 4|$ ifadelerini karşılaştırın. İlkinde çıkarma dışarıda; V dört birim aşağı iner, tepe $(0, -4)$. İkincide çıkarma içeride; V dört birim sağa gider, tepe $(4, 0)$.
Dönüşüm Bileşkedir, Ters Fonksiyon Yansımadır
Bu konunun testleri bileşke, ters fonksiyon ve tek-çift fonksiyonu soruyor. Hepsi az önceki dönüşümlerin başka adla söylenmiş hâlidir.
Bileşke: Can'ın yolu $g(t) = f(t - 3)$ idi. $h(t) = t - 3$ dersek $g = f \circ h$: önce saat 3 geri alınıyor, sonra $f$ uygulanıyor. Sıra değişirse sonuç değişir. $f(x) = x^2$, $h(x) = x - 3$ için $(f \circ h)(x) = (x - 3)^2$ grafiği sağa kayar, $(h \circ f)(x) = x^2 - 3$ ise aşağı iner. $x = 1$'de biri 4, öbürü $-2$ verir; bileşke değişmeli değildir.
Ters fonksiyon: $f(x) = 2x + 4$ için $x$ ile $y$'nin yeri değiştirilir: $x = 2y + 4$, $f^{-1}(x) = \dfrac{x - 4}{2}$. $f(3) = 10$, $f^{-1}(10) = 3$. Grafikte bu, $y = x$ doğrusuna göre yansımadır ve $(f \circ f^{-1})(x) = x$, yani birim fonksiyondur. Tersin olması için fonksiyon bire bir olmalı: $x^2$'de $f(-2) = f(2) = 4$; yatay bir doğru grafiği iki yerde keser, ters yoktur.
Tek-çift: $f(-x) = f(x)$ ise $y$ eksenine göre yansıma grafiği değiştirmez, fonksiyon çifttir ($x^2 + 1$). $f(-x) = -f(x)$ ise grafik orijine göre simetriktir, fonksiyon tektir ($x^3$).
Sınav ipucu: Grafik sorusunda önce parantezin içine bakın: içerideki değişiklik yatay ve ters yönde, dışarıdaki düşey ve aynı yönde. "Tersinin grafiği" geçiyorsa noktaların koordinatlarını yer değiştirin: $(3, 10)$ tersinde $(10, 3)$ olur.
Sık sorulanlar
f(x − 3) grafiği hangi yöne kayar?
Sağa üç birim. 3 dakika geç başlayan koşucu t anında, öbürünün t − 3 anındaki yerindedir; aynı değere 3 birim sonra ulaşılır.
Ortalama değişim oranı neden iki hızın ortalaması değildir?
Çünkü hızlar farklı sürelerde geçerlidir. 10 dakika 150 m/dk, 5 dakika 80 m/dk giden birinin ortalaması 1900 / 15 ≈ 126,7 m/dk olur; 115 değil.
Ters fonksiyonun grafiği nasıl bulunur?
Fonksiyonun grafiği y = x doğrusuna göre yansıtılır; her (a, b) noktası (b, a) olur. Bunun için fonksiyonun bire bir olması gerekir.
|x| − 4 ile |x − 4| aynı grafik midir?
Hayır. |x| − 4 dört birim aşağı kayar, tepesi (0, −4) olur; |x − 4| dört birim sağa kayar, tepesi (4, 0) olur.