8. Sınıf Olasılık — Konu Anlatımı

Olasılık Nedir?

Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansının sayısal ölçüsüdür. Zar atmak, torbadan top çekmek, çark çevirmek gibi sonucu önceden kesin bilinmeyen işlemlere deney, deneyin her bir sonucuna çıktı, bütün çıktıların oluşturduğu kümeye örnek uzay, bizim ilgilendiğimiz çıktılara da olay denir.

Çıktılar eşit şansa sahipse:

$P(A) = \dfrac{\text{istenen durum sayısı}}{\text{tüm durum sayısı}}$

Bir zar atıldığında örnek uzay $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$'dır. 3 gelme olasılığı $\dfrac{1}{6}$, çift sayı ($2, 4, 6$) gelme olasılığı $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$'dir.

Olasılık Değerinin Sınırları

İstenen durum sayısı hiçbir zaman tüm durum sayısını aşamaz. Bu yüzden olasılık her zaman 0 ile 1 arasındadır (0 ve 1 dahil).

• İmkânsız olay: olasılığı 0. Zarda 7 gelmesi imkânsızdır.
• Kesin olay: olasılığı 1. Zarda 7'den küçük bir sayı gelmesi kesindir.
• Eşit olasılıklı olaylar: madeni parada yazı ve tura, her birinin olasılığı $\dfrac{1}{2}$. $n$ çıktının hepsi eşit şansa sahipse her birinin olasılığı $\dfrac{1}{n}$'dir.

Bir olayın olma ve olmama olasılıklarının toplamı 1'dir. Yağmur yağma olasılığı $\dfrac{3}{10}$ ise yağmama olasılığı $\dfrac{7}{10}$ olur. Olasılık kesir, ondalık ya da yüzde olarak yazılabilir: $\dfrac{1}{4} = 0{,}25 = \%25$.

Daha Fazla, Eşit, Daha Az Olası

İki olayı karşılaştırmak için olasılıklarını karşılaştırırız. Aynı deneyde payda ortak olduğundan istenen durum sayılarına bakmak yeterlidir. Zarda asal sayı ($2, 3, 5$) gelmesi ile tek sayı ($1, 3, 5$) gelmesi eşit olasılıklıdır; ikisinde de 3 durum vardır. 5'ten büyük gelmesi (yalnız 6) ise bunlardan daha az olasıdır.

Çözümlü Örnek 1: Torbadan Bilye

Bir torbada 4 kırmızı, 6 mavi ve 5 yeşil bilye var. Rastgele bir bilye çekiliyor.

1. Tüm durum sayısı: $4 + 6 + 5 = 15$
2. Mavi gelme olasılığı: $\dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$
3. Kırmızı gelmeme olasılığı: $\dfrac{6 + 5}{15} = \dfrac{11}{15}$ (ya da $1 - \dfrac{4}{15}$)
4. Sarı gelme olasılığı: torbada sarı yok, $\dfrac{0}{15} = 0$; imkânsız olay.

Çözümlü Örnek 2: Olasılığı Değiştirmek

Bir torbada 3 beyaz ve 5 siyah top var. Beyaz top çekme olasılığının $\dfrac{1}{2}$ olması için torbaya kaç beyaz top eklenmelidir?

1. Eklenen beyaz top sayısı $k$ olsun. Beyaz sayısı $3 + k$, toplam $8 + k$ olur.
2. $\dfrac{3 + k}{8 + k} = \dfrac{1}{2}$
3. İçler dışlar çarpımı: $6 + 2k = 8 + k$
4. $k = 2$

Kontrol: torbada 5 beyaz, 5 siyah top olur; olasılık $\dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ ✓. Dikkat: top eklendiğinde yalnız pay değil, payda da büyür.

Çözümlü Örnek 3: Numaralı Kartlar

1'den 20'ye kadar numaralanmış 20 karttan biri çekiliyor.

• Asal sayı gelme olasılığı: asallar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19; yani 8 tane. $\dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5}$
• 3'ün katı gelme olasılığı: 3, 6, 9, 12, 15, 18; yani 6 tane. $\dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$

1 asal sayı değildir; bu ayrıntı sayımda sık atlanır.

Eşit Şansa Sahip Olmayan Çıktılar: Çark

Dilimleri farklı büyüklükte olan bir çarkta renkler eşit olasılıklı değildir. Böyle bir çarkta olasılık dilimin merkez açısıyla orantılıdır. Kırmızı dilimin açısı $120^\circ$ ise ibrenin kırmızıda durma olasılığı $\dfrac{120}{360} = \dfrac{1}{3}$'tür. Dilim sayısını sayıp "3 renk var, olasılık $\dfrac{1}{3}$" demek ancak dilimler eşitse doğrudur.

Bir Adım Ötesi: Art Arda Çekiliş

8. sınıf kazanımları basit olaylarla sınırlıdır; ama "geri konmadan" ifadesinin neyi değiştirdiğini bilmek soruları anlamayı kolaylaştırır. Torbada 3 kırmızı, 2 mavi top olsun ve bir kırmızı top çekilip dışarıda bırakılsın. Artık torbada 2 kırmızı, 2 mavi, toplam 4 top vardır; yeni çekilişte kırmızı gelme olasılığı $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ olur. Top geri konsaydı olasılık yine $\dfrac{3}{5}$ kalırdı.

Sık Yapılan Hatalar

• Paydayı güncellememek. Torbaya top eklenince ya da çıkarılınca toplam sayı da değişir.
• 1'den büyük olasılık bulmak. Sonucun 1'i aşması hesabın yanlış olduğunun kesin işaretidir.
• Sınır değeri yanlış saymak. Zarda "3'ten büyük" 4, 5, 6 demektir; 3 dahil değildir.
• Eşit olmayan dilimleri eşit saymak. Çarkta olasılığı dilim sayısı değil, dilim açısı belirler.

LGS'de Bu Konu Nasıl Sorulur?

LGS'de olasılık soruları kısa ama dikkat isteyen sorulardır. Sık görülen kalıplar:

• Torbaya top ekleyip çıkararak olasılığı istenen değere getirme.
• İki olaydan hangisinin daha olası olduğunu karşılaştırma.
• Numaralı kart, zar ya da çark üzerinde koşullu sayma (asal, tek, katı).
• Olasılık bilgisinden torbadaki top sayısını bulma.

Kendi örneğimiz: Bir kutudaki kalemlerden rastgele seçilen birinin mavi olma olasılığı $\dfrac{2}{7}$ ve kutuda 8 mavi kalem var. Toplam kalem sayısı $x$ ise $\dfrac{8}{x} = \dfrac{2}{7}$, buradan $x = 28$ bulunur; mavi olmayan kalem sayısı 20'dir.

İpucu: önce örnek uzayı yaz, sonra istenenleri işaretle. Sayma hatası, formül hatasından çok daha sık görülür.

Özet

• Olasılık = istenen durum sayısı ÷ tüm durum sayısı.
• Değer 0 ile 1 arasındadır; 0 imkânsız, 1 kesin olaydır.
• Olma ve olmama olasılıklarının toplamı 1'dir.
• Top eklenip çıkarılınca payla birlikte payda da değişir.
• Eşit olmayan çark dilimlerinde olasılığı açı belirler.

Sık sorulanlar