7. Sınıf Rasyonel Sayılar — Konu Anlatımı

Bir Yanılgıyla Başlayalım

Şunu sorduğumuzda sınıfın yarısı yanlış cevap verir: $-\frac{1}{2}$ mi büyüktür, $-\frac{1}{4}$ mü?

Çoğu öğrenci "2 küçük, o hâlde $-\frac{1}{2}$ büyüktür" der. Oysa doğru cevap $-\frac{1}{4}$'tür. Neden? Çünkü eksi tarafta sıfıra yakın olan büyüktür. $\frac{1}{4}$ (yani 0,25) sıfıra $\frac{1}{2}$'den (0,5) daha yakındır; eksili hâllerinde de $-0,25$ sayı doğrusunda $-0,5$'in sağında kalır.

Bu konuyu öğrenirken aklınızda tutmanız gereken tek görsel budur: sayı doğrusu. Sağdaki her zaman büyüktür — sayının kendisi ne kadar "kalabalık" görünürse görünsün.

Rasyonel Sayı Tam Olarak Nedir?

$\frac{a}{b}$ biçiminde yazılabilen ve $b \neq 0$ olan sayılara rasyonel sayı denir. Bu tanım göründüğünden geniştir:

• $5$ bir rasyonel sayıdır, çünkü $\frac{5}{1}$ diye yazılabilir.
• $-3$ rasyoneldir: $\frac{-3}{1}$.
• $0,75$ rasyoneldir: $\frac{3}{4}$.
• $0,\overline{3}$ (devirli) rasyoneldir: $\frac{1}{3}$.

Yani bütün tam sayılar ve bütün devirli ondalıklar rasyoneldir. Payda sıfır olamaz, çünkü sıfıra bölme tanımsızdır — 12 elmayı 0 kişiye paylaştırmanın bir cevabı yoktur.

Kesirden ondalığa geçmek için payı paydaya bölersiniz: $\frac{7}{8} = 7 : 8 = 0,875$. Ters yönde, $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Sıralamanın İki Güvenli Yolu

Yol 1 — Ondalığa çevir. En hızlısıdır ve hata payı düşüktür. $\frac{3}{5}$ ile $\frac{5}{8}$'i karşılaştıralım: $0,6$ ve $0,625$. Demek ki $\frac{5}{8} > \frac{3}{5}$.

Yol 2 — Paydaları eşitle. $\frac{3}{5} = \frac{24}{40}$, $\frac{5}{8} = \frac{25}{40}$. Paydalar aynı olunca payı büyük olan büyüktür: 25 > 24.

Şimdi zor olanı: $-\frac{2}{3}$ ile $-\frac{3}{4}$ hangisi büyük? Ondalığa çevirin: $-0,666...$ ve $-0,75$. Sıfıra yakın olan büyüktür, yani $-\frac{2}{3}$ büyüktür.

Peki neden burada büyük görünen sayı küçük çıkıyor? Çünkü eksi işareti sıralamayı ters çevirir: pozitifte $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$ iken, negatifte tam tersi olur.

Devirli Ondalığı Kesre Çevirmek

Kesirden ondalığa geçmek kolaydı: böl, bitti. Ters yön biraz daha ilginç ve çoğu öğrenci burada "bu yapılamaz" diye düşünüyor. Yapılır.

Devretmeyen ondalık için payda 10'un kuvvetidir:

$0,36 = \frac{36}{100} = \frac{9}{25}$

Devirli ondalıkta kısa yol şudur: devreden kısım paya yazılır, payda devreden basamak sayısı kadar 9 olur.

$0,\overline{7} = \frac{7}{9}$  ·  $0,\overline{27} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$

Neden 9? Çünkü $0,\overline{7}$ sayısını 10 ile çarpıp kendisinden çıkarırsanız devreden kuyruk birbirini götürür: $10x - x = 7,777... - 0,777... = 7$, yani $9x = 7$.

Bu küçük ispat, kuralı ezberlemekten çok daha kalıcıdır — ve $0,\overline{9} = \frac{9}{9} = 1$ gibi şaşırtıcı bir sonucu da açıklar.

Daha Zor Bir Örnek: Farklı Gösterimleri Birlikte Sıralamak

Sınav sorusu size hepsi aynı biçimde yazılmış sayılar vermez. Şunları küçükten büyüğe sıralayın:

$-\frac{3}{4}$  ·  $0,6$  ·  $-0,8$  ·  $\frac{2}{5}$  ·  $-\frac{1}{2}$

Ortak dile çevirin — ondalık en pratiği:

• $-\frac{3}{4} = -0,75$
• $0,6$
• $-0,8$
• $\frac{2}{5} = 0,4$
• $-\frac{1}{2} = -0,5$

Önce negatifleri kendi içinde sıralayın (sıfıra uzak olan küçüktür): $-0,8 < -0,75 < -0,5$. Sonra pozitifler: $0,4 < 0,6$.

Sıralama: $-0,8 < -\frac{3}{4} < -\frac{1}{2} < \frac{2}{5} < 0,6$

Sınır durum — sıfır: Sıfır ne pozitiftir ne negatif. Bütün negatiflerden büyük, bütün pozitiflerden küçüktür ve $\frac{0}{5} = 0$ olduğu için rasyoneldir. Sıralama sorusunda sıfır gördüğünüzde onu iki kümenin tam sınırına yerleştirin.

Sık Yapılan Hatalar ve Sınav İpucu

Sık yapılan hata 1: Negatif kesirlerde "payı büyük olan büyüktür" kuralının aynen uygulanması. $-\frac{7}{9}$, $-\frac{2}{9}$'dan küçüktür; aynı paydada bile eksi tarafta sıralama terstir.

Sık yapılan hata 2: $\frac{1}{0}$ ifadesinin 0 sanılması. Tanımsızdır; "sıfır" demek yanlıştır.

Sık yapılan hata 3: $0,\overline{9}$ gibi devirli ondalıkların rasyonel sayılmaması. Devirli her ondalık rasyoneldir; devretmeyen ve sonsuza giden ondalıklar ($\pi$ gibi) rasyonel değildir.

Sınav ipucu: Sıralama sorusunda seçeneklerde hem pozitif hem negatif sayı varsa işi kolaylaştırın: tüm negatifler tüm pozitiflerden küçüktür. Önce iki kümeye ayırın, sonra kendi içlerinde sıralayın. Bu, dört işlem yapmadan çoğu soruyu bitirir.

Özet: Sayı doğrusunda sağdaki büyüktür. Ondalığa çevirmek en güvenli karşılaştırma yoludur. Eksi işareti sıralamayı ters çevirir.

Sık sorulanlar