9. Sınıf Sayı Kümeleri ve İşlemler — Konu Anlatımı

Ekranda İki Sayı, Hangisi Kesir?

Hesap makinesinde önce $2 \div 3$, sonra $\sqrt{2}$ tuşlayın. Ekranda iki sayı çıkar:

$0{,}6666667$ ve $1{,}4142136$

İkisi de sekiz basamakta kesilmiş. Ekrana bakarak hangisinin kesir olarak yazılabildiğini söyleyemeyiz, çünkü makine iki sayıyı da aynı biçimde yuvarladı. Farkı sayının yapısı belirler: $0{,}666\ldots$ sonsuza kadar aynı rakamı tekrar eder, $\sqrt{2}$'nin basamakları ise hiçbir düzene girmez.

Tekrar eden (devirli) ondalık her zaman $\frac{a}{b}$ biçiminde yazılabilir; böyle sayılara rasyonel denir ve kümesi $\mathbb{Q}$ ile gösterilir. Düzensiz ve bitmeyen ondalıklar irrasyoneldir: $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$, $\pi$ gibi.

Devirli Ondalığı Kesre Çevirmek

$x = 0{,}4545\ldots$ olsun. Devreden kısım iki basamaklı olduğu için sayıyı 100 ile çarparız:

$100x = 45{,}4545\ldots \Rightarrow 100x - x = 45 \Rightarrow x = \dfrac{45}{99}$

Bu kesir sadeleşir. $45$ ile $99$'un en büyük ortak böleni (EBOB) 9'dur: $\dfrac{45}{99} = \dfrac{5}{11}$. Kontrol: $5 \div 11 = 0{,}4545\ldots$ ✓

Devretmeyen bir basamak varsa? $0{,}2333\ldots$ sayısında 2 bir kez yazılıyor, 3 devrediyor. Kısa yol: tüm rakamlardan devretmeyen kısmı çıkar, devreden basamak kadar 9, devretmeyen basamak kadar 0 yaz:

$0{,}2\overline{3} = \dfrac{23 - 2}{90} = \dfrac{21}{90} = \dfrac{7}{30}$

Şimdi ilginç bir sınır durum: $0{,}999\ldots$ kaçtır? Aynı yöntemle $\dfrac{9 - 0}{9} = 1$. Evet, $0{,}999\ldots = 1$. "Bire çok yakın ama biraz küçük" diye düşünmek bir yanılgıdır; ikisi arasına sığacak hiçbir sayı yoktur.

EBOB'un kardeşi EKOK de kesirlerde karşımıza çıkar: $\frac{1}{6} + \frac{1}{4}$ işleminde ortak payda 6 ile 4'ün en küçük ortak katı olan 12'dir: $\frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$.

Kümeler İç İçe: Bir Sayı Kaç Kümede?

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ zinciri şunu söyler: her doğal sayı aynı zamanda tam sayı, her tam sayı aynı zamanda rasyoneldir.

• $-7$: doğal değil; tam, rasyonel ve gerçek sayı.
• $-\frac{7}{2} = -3{,}5$: tam değil; rasyonel ve gerçek.
• $\sqrt{9}$: kök işaretine aldanmayın, değeri 3'tür. Doğal sayıdır, dolayısıyla dört kümenin hepsinde yer alır.
• $\sqrt{5}$: 5 bir tam kare olmadığı için irrasyoneldir; yalnız $\mathbb{R}$'de.

Mini soru: $\sqrt{10}$ hangi iki ardışık doğal sayı arasındadır? $3^2 = 9$ ve $4^2 = 16$ olduğundan $3 < \sqrt{10} < 4$. Alanı $10$ br² olan karenin kenarı tam da bu sayıdır.

Aralık Gösterimi: Dolu Nokta, Boş Nokta

Gerçek sayılar doğruyu boşluksuz doldurduğu için "$-3$ ile $5$ arasındaki sayılar" tek tek yazılamaz. Aralık gösterimi kullanılır:

• $-3 \leq x < 5 \iff x \in [-3, 5)$: köşeli parantez uç dahil (sayı doğrusunda dolu daire), normal parantez uç hariç (boş daire).
• Bu aralıktaki tam sayılar: $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$; toplam 8 tane.

Eşitsizlik çözümü de aralık verir. $3x - 7 < 8$ ise $3x < 15$, yani $x < 5$. Bu eşitsizliği sağlayan en büyük tam sayı 5 değil, 4'tür.

Negatif sayıyla bölünce yön döner: $-2x > 6 \Rightarrow x < -3$, aralık olarak $(-\infty, -3)$. Sonsuz uçlarda parantez hep normal olur, çünkü $\infty$ bir sayı değildir, dahil edilemez.

Aralıklar birer küme olduğu için kesişim ve birleşimleri de alınır. $[-3, 5)$ ile $(1, 8]$ aralıklarını aynı sayı doğrusuna çizin. İkisinin üst üste bindiği yer $(1, 5)$: 1 ikinci aralıkta, 5 birinci aralıkta dahil değil, bu yüzden iki uç da boş kalır. Birleşim ise $[-3, 8]$ olur. Uçlardan hangisinin dahil olduğunu her seferinde "bu sayı hangi aralıkta dahil?" diye tek tek sormak, ezber kuraldan daha güvenlidir.

Çok Büyük, Çok Küçük: Bilimsel Gösterim

Dünya ile Güneş arası yaklaşık $150\,000\,000$ km, bir kırmızı kan hücresinin çapı yaklaşık $0{,}000008$ m. Bu sayıları sıfır sayarak okumak zordur. Bilimsel gösterim $a \cdot 10^n$ biçimidir; şart $1 \leq |a| < 10$ ve $n$ tam sayı.

• $150\,000\,000 = 1{,}5 \cdot 10^{8}$ (virgül 8 basamak sola kaydı)
• $0{,}000008 = 8 \cdot 10^{-6}$ (virgül 6 basamak sağa kaydı)
• $0{,}00045 = 4{,}5 \cdot 10^{-4}$

Yanılgı: $45 \cdot 10^{-5}$ de $0{,}00045$'e eşittir ama bilimsel gösterim değildir, çünkü 45 sayısı 10'dan büyük. Şıklarda bu tuzak sık kullanılır.

Bir İddiayı Kanıtlamak, Bir İddiayı Çürütmek

"Tek sayının karesi tektir." Bunu birkaç örnekle ($3^2 = 9$, $7^2 = 49$) denemek ispat değildir; belki denemediğimiz bir sayıda bozulur. Genel ispat şöyle kurulur:

$n$ tek ise $n = 2k + 1$ yazılabilir ($k$ tam sayı). $n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$. Bu ifade "bir çift sayı artı 1" biçiminde olduğundan tektir.

Tersine, bir iddiayı çürütmek için tek bir karşı örnek yeter. "Her asal sayı tektir" iddiası 2 sayısıyla çöker.

Sınav ipucu: Soruda "hangisi rasyonel değildir" deniyorsa önce kökleri hesaplayın; $\sqrt{9}$, $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ gibi tam kareler elenir. "Bilimsel gösterimi hangisidir" sorusunda önce $a$ sayısının 1 ile 10 arasında olup olmadığına bakın.

Sık sorulanlar