10. Sınıf Üslü ve Köklü Sayılar — Konu Anlatımı

A4 Kâğıdı Neden 21 × 29,7 cm?

Masanızdaki A4 kâğıdını ölçün: kısa kenar 21 cm, uzun kenar 29,7 cm. Bu sayılar rastgele seçilmedi. Kâğıdı uzun kenarından ikiye katladığınızda elinizde A5 kalır ve A5'in kenarları arasındaki oran, A4'ünkiyle aynıdır. Bu nasıl mümkün?

Uzun kenarın kısa kenara oranına $r$ diyelim. Katlayınca eski kısa kenar yeni uzun kenar olur, eski uzun kenar ise yarıya iner. Yeni oran $\dfrac{2}{r}$ çıkar. Oranın değişmemesi için:

$\dfrac{2}{r} = r \Rightarrow r^2 = 2 \Rightarrow r = \sqrt{2} \approx 1{,}414$

Kontrol: $29{,}7 \div 21 \approx 1{,}414$. Kâğıdın içinde bir kök saklıymış.

A serisinin başı A0'dır ve alanı tam 1 m²'dir. Kenarlara $L$ ve $K$ dersek $L \cdot K = 1$ ve $L = \sqrt{2}\,K$. Buradan $K^2 = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-1/2}$, yani $K = 2^{-1/4}$ ve $L = 2^{1/4}$ metre çıkar. Kesirli üs ilk kez bir cetvelle ölçülebilir hâle geldi: $2^{1/4} = \sqrt{\sqrt{2}} \approx 1{,}189$ m. Gerçek A0 kâğıdının uzun kenarı 1.189 mm'dir.

Kâğıdı Katlarken Üs Kuralları

Kalınlığı 0,1 mm olan bir kâğıdı her katlayışta kalınlık iki katına çıkar. 3 katlama sonra $0{,}1 \cdot 2^3 = 0{,}8$ mm, 7 katlama sonra $0{,}1 \cdot 2^7 = 12{,}8$ mm olur. Kuralların hepsi bu katlamadan okunabilir:

• Önce 3, sonra 4 kez katlamak 7 katlamadır: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{7}$ ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
• Her seferinde 2 katlamayı 3 kez yapmak: $(2^2)^3 = 2^{6}$ ($(a^m)^n = a^{mn}$).
• Katlamayı geri açmak kalınlığı yarıya indirir; alanda ise tersi olur. A0'dan A4'e kâğıt dört kez ikiye bölündüğü için A4'ün alanı $2^{-4} = \dfrac{1}{16}$ m², yani 625 cm²'dir. $21 \cdot 29{,}7 = 623{,}7$ cm² ile uyuşuyor.

Negatif üs, sayıyı negatif yapmaz; çarpmaya göre tersini alır. $2^{-4}$ küçük ama pozitif bir sayıdır.

Sık yapılan hata: $-2^4$ ile $(-2)^4$ aynı sanılıyor. Parantez yoksa üs yalnız 2'ye aittir: $-2^4 = -16$. Parantez varsa eksi de üslenir: $(-2)^4 = 16$. Hesap makinesine "−2^4" yazan öğrenci de −16 görür ve şaşırır.

Kök, Kesirli Bir Üstür

$\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$ eşitliği, kök ile üssü tek dilde yazmamızı sağlar. Payda kökün derecesi, pay ise üstür.

• $8^{2/3} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$
• $27^{-1/3} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{27}} = \dfrac{1}{3}$
• $16^{0{,}75} = 16^{3/4} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8$

A4'ün uzun kenarına dönelim. A0'dan A4'e inerken iki kenar da iki kez yarıya iner, yani uzun kenar 4'e bölünür: $\dfrac{2^{1/4}}{4} = 2^{1/4 - 2} = 2^{-7/4}$ m. Hesap makinesi $0{,}2973$ m verir: 29,7 cm. Kural kâğıt üzerinde çalışıyor.

Kökü Sadeleştirmek İçin Asal Çarpanlar

$\sqrt{72}$ sayısını sadeleştirmenin en güvenli yolu 72'yi asal çarpanlarına ayırmaktır: $72 = 2^3 \cdot 3^2$. Kökün dışına çift üsler çıkar:

$\sqrt{2^3 \cdot 3^2} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Bir sayının karekökü ancak bütün asal çarpanlarının üsleri çiftse tam sayıdır. Mini soru: $\sqrt{2^n \cdot 9}$ bir tam sayı olsun; $n$ en az kaç olabilir? 9 zaten $3^2$. $2^n$ için $n$ çift olmalı. En küçük pozitif çift sayı 2'dir ve $\sqrt{4 \cdot 9} = 6$ çıkar.

Üsler bölen saymaya da yarar. $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ sayısının her böleni $2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ biçimindedir; $a$ için 4, $b$ için 3, $c$ için 2 seçenek vardır. Bölen sayısı $(3+1)(2+1)(1+1) = 24$'tür. $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$'in çift bölenleri sorulursa 2'nin üssü en az 1 olmalı: $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ çift bölen.

Toplamada Kök Neden Dağılmaz?

Çarpmada ve bölmede kök dağılır: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$. Toplamada dağılmaz. $\sqrt{36} + \sqrt{64} = 6 + 8 = 14$, ama $\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Peki $\sqrt{2} + \sqrt{8}$ kaça eşit? Önce $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ yazın. Artık kök içleri aynı: $\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$. Köklü ifadeler, tıpkı $x + 2x = 3x$ gibi, ancak kök içleri eşitlenince toplanır.

Sınır durum: $\sqrt{x^2} = x$ her zaman doğru değildir. $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$ olur, $-5$ değil. Doğrusu $\sqrt{x^2} = |x|$'tir. Karekökün sonucu hiçbir zaman negatif değildir.

Paydadaki Kökten Kurtulmak

Paydada tek bir kök varsa pay ve payda aynı kökle çarpılır: $\dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.

Payda iki terimliyse eşleniği kullanılır; $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ özdeşliği kökü yok eder:

$\dfrac{4}{\sqrt{5} - 1} \cdot \dfrac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} = \dfrac{4(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \sqrt{5} + 1$

Sonucu yaklaşık değerle sınayın: $\sqrt{5} - 1 \approx 1{,}236$ ve $4 \div 1{,}236 \approx 3{,}236$. $\sqrt{5} + 1$ da $3{,}236$. Bu kısa kontrol, eşleniği yanlış işaretle yazan öğrenciyi hemen uyarır.

50 Katlama Bizi Nereye Götürür?

500 yapraklık bir top kâğıt 5 cm kalınlığındadır; bir yaprak $0{,}01$ cm, yani $1 \times 10^{-4}$ m. Bu yaprağı (hayalî olarak) 50 kez katlasaydık kalınlık $10^{-4} \cdot 2^{50}$ m olurdu.

$2^{10} = 1024 \approx 10^3$ olduğundan $2^{50} = (2^{10})^5 \approx 10^{15}$. Daha doğrusu $2^{50} \approx 1{,}13 \times 10^{15}$. Kalınlık yaklaşık $1{,}13 \times 10^{11}$ m, yani $1{,}13 \times 10^{8}$ km. Dünya ile Güneş arasındaki uzaklık yaklaşık $1{,}5 \times 10^{8}$ km'dir; katlanmış kâğıt bu yolun dörtte üçünü kaplardı.

Bilimsel gösterimde sayı $a \times 10^n$ biçiminde yazılır ve $1 \le a < 10$ olmalıdır. $0{,}000042 = 4{,}2 \times 10^{-5}$ doğrudur; $42 \times 10^{-6}$ değer olarak eşittir ama bilimsel gösterim sayılmaz.

Sınav ipucu: Şıklarda $\sqrt{a+b}$ biçiminde bir seçenek varsa büyük olasılıkla kökü toplamaya dağıtan öğrenci için konmuştur. "Tam sayı olması için en küçük" diye biten kök sorularında ilk iş sayıyı asal çarpanlara ayırıp tek kalan üsleri bulmaktır.

Sık sorulanlar