Sayma Yöntemleri
$P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}$ — sıralı seçim
$C(n,r) = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$ — sırasız seçim
Tekrarlı permütasyon: $n$ nesnenin $k_1, k_2, \ldots$ tanesi aynıysa
$\dfrac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots}$
"KİTAP" sözcüğünün harfleri $5! = 120$ biçimde; "ANNE" sözcüğünün harfleri $\frac{4!}{2!} = 12$ biçimde sıralanır.
Binom Açılımı
$(a+b)^n = \displaystyle\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$
Açılımda $n+1$ terim vardır.
Genel terim: $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$
Katsayılar toplamı, $a = b = 1$ yazılarak bulunur: $2^n$.
Pascal üçgeni, binom katsayılarını satır satır verir.
Algoritmik Düşünme
Bir problemi çözerken izlenen adımlar: problemi parçalara ayırma → örüntü tanıma → soyutlama → algoritma tasarımı.
Aynı problemi çözen iki algoritma farklı sayıda adım gerektirebilir; bu, algoritmanın verimliliğidir.
Sıralı arama $n$ adım gerektirirken, sıralı bir dizide ikili arama yaklaşık $\log_2 n$ adımda sonuca ulaşır — bin elemanlı dizide 1000 yerine yaklaşık 10 adım.
Sık Yapılan Hata
Binom açılımında terim sayısını $n$ sanmak. $n+1$ terim vardır çünkü $r$, 0'dan $n$'e kadar değer alır.
İkinci hata: tekrarlı harflerde bölmeyi unutmak. Aynı harflerin kendi aralarındaki sıralamaları ayırt edilemediği için faktöriyellerine bölünür.
Sık sorulanlar
$(a+b)^n$ açılımında kaç terim vardır?
$n+1$ terim. $r$ değeri 0'dan $n$'e kadar değiştiği için.
"ANNE" sözcüğünün harfleri kaç farklı biçimde sıralanır?
$\frac{4!}{2!} = 12$. İki "N" birbirinden ayırt edilemediği için 2!'e bölünür.