6. Sınıf Tam Sayılar — Konu Anlatımı

Asansör Düğmelerine Bakın

Bir alışveriş merkezinin asansöründe düğmeler şöyle sıralı: $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$. Eksili katlar otopark, sıfır giriş katı, artılar mağazalar.

Tam sayılar tam olarak budur: sıfırın iki yanına dizilmiş, arada kesir olmayan sayılar. $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$

Dikkat edin, asansörde $-1,5$ diye bir kat yok. Tam sayılarda da yok; $-1,5$ ve $\frac{3}{4}$ tam sayı değildir.

Sıfır özeldir: ne pozitiftir ne negatif. Giriş katı gibi — ne yukarıda ne aşağıda, ikisinin de sınırında.

Negatif sayılar hayatta bolca karşımıza çıkar: sıcaklık ($-7$ °C), deniz seviyesinden derinlik ($-40$ m), banka hesabındaki borç ($-250$ TL), asansörde otopark katı.

Sayı Doğrusu: Her Şeyin Cevabı Burada

Bu konuda takıldığınız her soruda tek yapmanız gereken sayı doğrusunu düşünmek. Kural tek: sağdaki her zaman büyüktür.

$-5 < -2 < 0 < 3 < 7$

Şimdi asıl karıştırılan yere gelelim: $-5$ mi büyüktür, $-2$ mi?

Çoğu öğrenci "5 büyük, o hâlde $-5$ büyüktür" der. Yanlış. Sayı doğrusunda $-2$ daha sağdadır, yani $-2$ büyüktür. Asansörle düşünün: $-2$. kat, $-5$. kattan yukarıdadır.

Buraya kadar tamam mı? Küçük bir soru: $-9$ ile $-11$ arasında hangisi büyüktür?

Cevap: $-9$. Sıfıra daha yakın olduğu için sayı doğrusunda daha sağda kalır.

Tekrar hatırlayalım: pozitif tarafta sayı büyüdükçe değer büyür; negatif tarafta sayı büyüdükçe değer küçülür. Eksi işareti sıralamayı ters çevirir.

Mutlak Değer — "Ne Kadar Uzakta?"

Bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığıdır. Uzaklık olduğu için asla negatif olamaz.

$|{-7}| = 7$  ·  $|7| = 7$  ·  $|0| = 0$

Neden $|-7|$ ile $|7|$ aynı? Çünkü ikisi de sıfırdan 7 adım uzakta; biri sola, biri sağa. "Okula 7 km uzaktayım" derken yönü söylemezsiniz, mesafeyi söylersiniz.

Mutlak değer sıralamayla karıştırılmamalı:

• $-9 < -3$  (sıralama: $-9$ daha solda, küçük)
• $|-9| > |-3|$  (uzaklık: 9 > 3)

Yani küçük olan sayının mutlak değeri büyük olabilir. Bu iki farklı sorudur ve sınav ikisini bilerek yan yana koyar.

Daha Zor Bir Örnek: Sıcaklık Farkı

"Bir günün en düşük sıcaklığı $-6$ °C, en yüksek sıcaklığı $9$ °C ölçülmüştür. Gün içindeki sıcaklık farkı kaç derecedir?"

İki sayı sıfırın farklı taraflarında olduğu için fark, ikisinin sıfıra uzaklıklarının toplamıdır: $6 + 9 = 15$ °C.

İşlemle: $9 - (-6) = 9 + 6 = 15$.

Şimdi ikisi de eksideyse ne olur? En düşük $-11$, en yüksek $-4$ olsun. $-4 - (-11) = -4 + 11 = 7$ °C. Bu kez ikisi de aynı tarafta olduğu için fark, uzaklıkların farkı.

Sınır durum — sıfırın mutlak değeri. $|0| = 0$'dır. Sıfır hem pozitif hem negatif olmadığı için bazı öğrenciler mutlak değerinin de tanımsız olduğunu sanıyor; sıfırın sıfıra uzaklığı sıfırdır, gayet tanımlıdır.

Sınav ipucu: "Fark kaçtır?" sorusunun cevabı daima pozitiftir, çünkü fark bir uzaklıktır. Eksi çıkıyorsa büyükten küçüğü değil, küçükten büyüğü çıkarmışsınızdır.

Sık Yapılan Hatalar

Sık yapılan hata 1: Negatiflerde sıralamayı düz yapmak. $-8$, $-3$'ten küçüktür; rakama bakıp "8 büyük" demek en yaygın kayıptır.

Sık yapılan hata 2: Mutlak değeri "eksiyi silmek" sanmak. Sonuç öyle görünür ama tanım uzaklıktır; bu yüzden $|{-3}| + |{-4}| = 7$ olur, $-7$ değil.

Sık yapılan hata 3: Sıfırı pozitif saymak. Sıfır ne pozitif ne negatiftir; "pozitif tam sayılar" denince 1'den başlanır.

Özet: Tam sayılarda kesir yoktur. Sayı doğrusunda sağdaki büyüktür. Mutlak değer uzaklıktır, negatif olamaz. Sıfır iki kümenin de dışındadır.

Şimdi kendiniz deneyin. Üçünü de çözüp sonra cevaplara bakın.

1. $-4$, $0$, $-9$, $3$, $-1$ sayılarını küçükten büyüğe sıralayın.
2. $|{-12}| - |7|$ işleminin sonucu kaçtır?
3. Bir dalgıç $-24$ m'de. 9 m yükselirse hangi derinlikte olur?

Cevaplar: (1) $-9 < -4 < -1 < 0 < 3$  ·  (2) $12 - 7 = 5$  ·  (3) $-24 + 9 = -15$ m.

Sık sorulanlar