11. Sınıf Trigonometri — Konu Anlatımı

Uçurtma Ne Kadar Yükseklikte?

Rüzgârlı bir günde uçurtmanın 50 metrelik ipi sonuna kadar açılmış ve ip yerle $30^\circ$ açı yapıyor. Uçurtma yerden kaç metre yüksekte?

İp, yer ve uçurtmadan inen dikme bir dik üçgen kurar. İp hipotenüs, yükseklik $30^\circ$'lik açının karşısındaki kenardır. Bu ikisini bağlayan oran sinüstür:

$\sin 30^\circ = \dfrac{\text{karşı}}{\text{hipotenüs}} = \dfrac{h}{50}$,   $h = 50 \cdot \dfrac{1}{2} = 25$ m

Uçurtmayı uçuran kişiyle uçurtmanın tam altındaki nokta arası ise komşu kenardır: $50 \cdot \cos 30^\circ = 25\sqrt{3} \approx 43{,}3$ m.

Dört oran: $\sin = \frac{\text{karşı}}{\text{hipotenüs}}$, $\cos = \frac{\text{komşu}}{\text{hipotenüs}}$, $\tan = \frac{\text{karşı}}{\text{komşu}}$, $\cot = \frac{\text{komşu}}{\text{karşı}}$. Kenarları 8, 15, 17 olan dik üçgende 8'in karşısındaki açı için $\sin = \frac{8}{17}$, $\cos = \frac{15}{17}$, $\tan = \frac{8}{15}$, $\cot = \frac{15}{8}$.

Dik Üçgen Yetmeyince: Birim Çember

Dik üçgende açılar $90^\circ$'den küçüktür. $150^\circ$'nin sinüsü nedir? Bunun için merkezi orijinde, yarıçapı 1 olan birim çember kullanılır. Pozitif $x$ ekseninden saat yönünün tersine $\alpha$ kadar dönülünce çember üzerinde varılan noktanın koordinatları $(\cos \alpha, \sin \alpha)$'dır.

• $120^\circ$ → $\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, II. bölge
• $210^\circ$ → $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)$, III. bölge

İşaretler noktanın bulunduğu bölgeden okunur: I. bölgede hepsi pozitif, II.'de yalnız sinüs, III.'te yalnız tanjant ve kotanjant, IV.'te yalnız kosinüs pozitiftir. Buradan $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$; genel olarak $\sin(180^\circ - x) = \sin x$.

Nokta çember üzerinde olduğu için Pisagor'dan $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ çıkar. Her açıda $-1 \leq \sin x \leq 1$ olmasının nedeni de bu: yarıçap 1'i aşan koordinat yoktur.

Radyan: Yarıçap uzunluğundaki yayı gören açıya 1 radyan denir; yarım tur $\pi$ radyandır, $180^\circ = \pi$. Dolayısıyla $210^\circ = \frac{7\pi}{6}$ ve $\frac{3\pi}{2} = 270^\circ$. $360^\circ$'den büyük açılar tam turlar atılarak esas ölçüye indirilir: $780^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 60^\circ$.

Özdeşlikle Sadeleştirme

$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ ve $1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$. Sadeleştirme sorularında amaç ifadeyi sinüs ve kosinüse çevirmektir: $\dfrac{1 - \sin^2 x}{\cos x} = \dfrac{\cos^2 x}{\cos x} = \cos x$ ($\cos x \neq 0$).

Bir oran verilince ötekiler üçgenden bulunur: $x$ dar açı ve $\sin x = \frac{8}{17}$ ise $\cos x = \sqrt{1 - \frac{64}{289}} = \frac{15}{17}$.

Toplam formülleri: $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ ve $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$. Kosinüste işaret eksiye döner. Örnek:

$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}966$

Gölün İki Ucu Arası: Kosinüs Teoremi

Bir gölün iki ucundaki A ve B noktaları arasındaki mesafe ölçülmek isteniyor; aradan yürünemez. Kıyıdaki C noktasından $CA = 80$ m, $CB = 50$ m ölçülüyor ve iki doğrultu arasındaki açı $60^\circ$ çıkıyor. Üçgen dik değil; Pisagor kullanılamaz.

$AB^2 = CA^2 + CB^2 - 2 \cdot CA \cdot CB \cdot \cos C = 6400 + 2500 - 2 \cdot 80 \cdot 50 \cdot \dfrac{1}{2} = 4900$

$AB = 70$ m. Açı $90^\circ$ olsaydı $\cos 90^\circ = 0$ ile formül $a^2 = b^2 + c^2$'ye, yani Pisagor'a dönerdi. Kosinüs teoremi Pisagor'un her üçgene genişletilmiş hâlidir.

Sinüs teoremi ise bir kenar ve karşısındaki açı biliniyorsa işe yarar: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$. Bir üçgende $A = 30^\circ$ ve $a = 6$ ise $2R = 12$; $B = 45^\circ$ için $b = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49$.

İki Kenar ve Aradaki Açıyla Alan

Üçgen biçimli bir parselin iki kenarı 40 m ve 30 m, aralarındaki açı $150^\circ$. Yükseklik bilinmiyor. Alan:

$\text{Alan} = \dfrac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 \cdot \sin 150^\circ = 600 \cdot \dfrac{1}{2} = 300 \text{ m}^2$

İlginç bir sonuç: aynı kenarlar $30^\circ$ açıyla birleşseydi alan yine 300 m² olurdu, çünkü $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ$. Üçgenler farklı, alanları aynı.

Periyot ve değer aralığı: $\sin x$ ve $\cos x$ her $2\pi$'de, $\tan x$ her $\pi$'de tekrar eder. $\sin(kx)$'in periyodu $\frac{2\pi}{k}$'dir; $\sin 4x$ için $\frac{\pi}{2}$. $f(x) = 2\sin x + 1$ en çok 3, en az $-1$ değerini alır.

Sık Yapılan Hatalar

Hesap makinesi radyandayken derece girmek. $\sin 30$ yazıp $-0{,}988$ bulan öğrenci, makinenin 30 radyanın sinüsünü hesapladığını fark etmemiştir. Sonuç $0{,}5$ değilse önce ekrandaki DEG/RAD ayarına bakın.

Sinüsü toplamaya dağıtmak. $\sin(30^\circ + 60^\circ) = \sin 90^\circ = 1$, oysa $\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 0{,}5 + 0{,}866 = 1{,}366$. Toplam formülü bu yüzden vardır.

Dik olmayan üçgende "karşı bölü en uzun kenar". Bu oran yalnız dik üçgende sinüstür, çünkü en uzun kenar orada hipotenüstür. Dik olmayan üçgende sinüs teoremi ya da kosinüs teoremi kullanılır.

Sınav ipucu: "Bakış açısı", "eğim açısı", "gölge" geçen sorularda önce dik üçgeni çizin ve açının karşısındaki ile komşusundaki kenarı işaretleyin. İki kenar ve aradaki açı verilip üçüncü kenar soruluyorsa kosinüs teoremi, alan soruluyorsa $\frac{1}{2}bc\sin A$ akla gelmeli.

Sık sorulanlar