12. Sınıf Trigonometri — 12. Sınıf Konu Anlatımı — Konu Anlatımı

Hesap Makinesi Olmadan sin 15°

Bir usta, 6 metrelik çatı kirişini yatayla 15° açı yapacak şekilde yerleştirecek. Kirişin üst ucu kaç metre yükselir? Cevap $6 \cdot \sin 15^\circ$, ama elimizdeki tablo yalnız 30°, 45° ve 60°'yi biliyor.

Çözüm: $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ yazmak ve fark formülünü kullanmak.

$\sin 15^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac12 = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$

$\sqrt6 \approx 2{,}449$ ve $\sqrt2 \approx 1{,}414$ ile $\sin 15^\circ \approx 0{,}259$ bulunur. Kirişin ucu $6 \cdot 0{,}259 \approx 1{,}55$ m yükselir. Bu konunun bütün işi, bilinen açılardan bilinmeyenleri üretmektir.

Önce Birim Çember

Birim çember üzerindeki noktanın koordinatları $(\cos x, \sin x)$. Yarıçap 1 olduğu için Pisagor bağıntısı $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ özdeşliğini verir. Tanjant ise $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Tümler açılarda sinüs ile kosinüs yer değiştirir: $\sin(90^\circ - x) = \cos x$. Tablodaki 30° ve 60° satırlarının çapraz eşitliği buradan gelir. Bir örnek: $x$ dar açı ve $\sin x = \frac35$ ise $\cos x = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac45$.

Toplam ve Fark Formülleri

• $\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$
• $\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b$
• $\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}$

Kosinüste işaret ters döner: toplamın kosinüsünde eksi, farkınkinde artı var.

Formülü sağlamasıyla deneyelim: $\sin(30^\circ + 60^\circ) = \frac12 \cdot \frac12 + \frac{\sqrt3}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2} = \frac14 + \frac34 = 1$. Gerçekten $\sin 90^\circ = 1$. Ters yönden: $\cos 60^\circ \cos 30^\circ - \sin 60^\circ \sin 30^\circ$ ifadesi $\cos(60^\circ + 30^\circ) = \cos 90^\circ = 0$ açılımıdır.

Aynı yolla $\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}$ ve $\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}$. İkisinin eşit çıkması tesadüf değil: 15° ile 75° tümlerdir.

Daha zor olanı tanjant: $\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{\sqrt3}{3}}{1 - \frac{\sqrt3}{3}} = \frac{3 + \sqrt3}{3 - \sqrt3} = 2 + \sqrt3 \approx 3{,}73$. 75°'lik dik bir çatının her 1 metre yatayda yaklaşık 3,73 metre yükseldiğini söyler.

Açı İkiye Katlanınca Değer İkiye Katlanmaz

Toplam formüllerinde $b = a$ alınca:

• $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$
• $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$
• $\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$

$\sin x = \frac35$, $\cos x = \frac45$ ise $\sin 2x = 2 \cdot \frac35 \cdot \frac45 = \frac{24}{25}$. Biri $2 \sin x = \frac65$ derse hemen yakalanır: sinüs 1'i geçemez.

Kosinüsün üç yazımından soruda hangi bilgi varsa onu seçin. $\sin x = \frac12$ verildiyse $\cos 2x = 1 - 2 \cdot \frac14 = \frac12$. $\cos x = \frac{\sqrt3}{2}$ verildiyse $\cos 2x = 2 \cdot \frac34 - 1 = \frac12$. $\tan x = \frac13$ ise $\tan 2x = \frac{2/3}{1 - 1/9} = \frac{2/3}{8/9} = \frac34$.

Formülü geriye de okuyabilirsiniz: $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin 30^\circ = \frac12$ ve $\cos^2 22{,}5^\circ - \sin^2 22{,}5^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt2}{2}$. Uzun görünen ifade tek bir değere iner.

Denklem: Genel Çözüm mü, Aralıktaki Çözüm mü?

Trigonometrik fonksiyonlar kendini tekrar ettiği için denklemin sonsuz çözümü vardır ($k$ tam sayı):

• $\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi$
• $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2k\pi$
• $\tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi$

Aralık verilince yalnız o aralığa düşenler yazılır. $\sin x = \frac12$, $x \in [0, 2\pi)$: sinüs I. ve II. bölgede pozitif, çözümler $\frac{\pi}{6}$ ve $\frac{5\pi}{6}$. $\cos x = -\frac12$: kosinüs II. ve III. bölgede negatif, çözümler $\frac{2\pi}{3}$ ve $\frac{4\pi}{3}$.

Daha zor bir örnek: $\sin 2x = \cos x$, $x \in [0, 2\pi)$.

$2 \sin x \cos x - \cos x = 0 \Rightarrow \cos x \,(2 \sin x - 1) = 0$

$\cos x = 0$ verir $\frac{\pi}{2}$ ve $\frac{3\pi}{2}$; $\sin x = \frac12$ verir $\frac{\pi}{6}$ ve $\frac{5\pi}{6}$. Toplam 4 çözüm. İki tarafı $\cos x$'e bölen öğrenci yalnız ikisini bulur, çünkü $\cos x = 0$ olan kökleri bölerken atmış olur.

Esas Periyot

Grafiğin kendini tekrar ettiği en küçük aralık esas periyottur. $\sin x$, $\cos x$ için $2\pi$; $\tan x$, $\cot x$ için $\pi$. İçeride $kx$ varsa periyot $|k|$'ya bölünür:

• $\sin 2x$: $\frac{2\pi}{2} = \pi$
• $\cos \frac{x}{2}$: $\frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$
• $\tan 3x$: $\frac{\pi}{3}$
• $3 \sin 4x + 1$: $\frac{\pi}{2}$ (önündeki 3 ve sondaki 1 periyodu değiştirmez)

Mini soru: $f(x) = 5 \cos(6x) - 2$ fonksiyonunun esas periyodu nedir? (Cevap: $\frac{\pi}{3}$.)

Sık Yapılan Hatalar ve AYT İpucu

Sık yapılan hata: $\sin(a + b) = \sin a + \sin b$ sanmak. $\sin(30^\circ + 60^\circ) = 1$ ama $\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 0{,}5 + 0{,}866 = 1{,}366$. Sinüs toplama üzerine dağılmaz.

Bölerek kök kaybetmek: $\cos x$ ya da $\sin x$ çarpanı sıfır olabiliyorsa bölmeyin, çarpan olarak ayırın.

Derece-radyan karışıklığı: $\frac{\pi}{6}$ radyan 30°'dir; cevabı dereceyle isteyen soruya $\frac{\pi}{6}$ yazan şıkkı kaçırır.

AYT ipucu: Soruda $2 \sin a \cos a$, $\cos^2 a - \sin^2 a$ ya da $\sin a \cos b + \cos a \sin b$ kalıbı görünüyorsa önce formülün hangisi olduğunu tanıyın; çoğu zaman ifade tek bir özel açıya iner ve uzun işlem gereksizdir.

Sık sorulanlar