Trigonometri — 12. Sınıf Konu Anlatımı

Temel Bağıntılar

Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları $(\cos x,\ \sin x)$'tir. Yarıçap 1 olduğu için Pisagor bağıntısından temel özdeşlik doğar:

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Tanjant sinüsün kosinüse oranıdır: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Kosinüsün sıfır olduğu açılarda tanjant tanımsızdır.

Tümler açılarda sinüs ile kosinüs yer değiştirir: $\sin(90^\circ - x) = \cos x$. Bu bağıntı sadeleştirme sorularının çoğunda ilk adımdır.

Toplam ve Fark Formülleri

İki açının toplamının ya da farkının trigonometrik değeri, tek tek değerlerinden hesaplanır:

• $\sin(a\pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b$
• $\cos(a\pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b$
• $\tan(a\pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a\tan b}$

Kosinüs formülündeki işaretin ters olmasına dikkat: toplamda eksi, farkta artı gelir. Bu formüller sayesinde $75^\circ$ ya da $15^\circ$ gibi özel olmayan açıların değerleri de bulunabilir.

İki Kat Açı Formülleri

Toplam formüllerinde $b=a$ alınırsa iki kat açı formülleri elde edilir:

• $\sin 2x = 2\sin x\cos x$
• $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1-2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$
• $\tan 2x = \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$

Kosinüsün üç ayrı yazımı vardır; soruda hangisi verilmişse (sinüs mü kosinüs mü) ona uygun olanı seçmek işlemi kısaltır.

Trigonometrik Denklemler

Trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğu için denklemlerin sonsuz çözümü vardır. Genel çözümler:

• $\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi$
• $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2k\pi$
• $\tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi$

Belirli bir aralık verildiyse önce temel çözüm bulunur, sonra fonksiyonun hangi bölgelerde aynı işareti aldığına bakılır. Örneğin $\sin x=\frac12$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözümleri $\frac{\pi}{6}$ ve $\frac{5\pi}{6}$'dır.

Periyot

Bir fonksiyonun grafiğinin kendini yinelediği en küçük aralığa esas periyot denir.

• $\sin x$ ve $\cos x$ için periyot $2\pi$
• $\tan x$ ve $\cot x$ için periyot $\pi$
• $\sin(kx)$ ve $\cos(kx)$ için periyot $\frac{2\pi}{|k|}$

Periyodik davranış yalnız matematikte kalmaz: gelgitler, ses dalgaları, alternatif akım ve dönme dolabın yüksekliği trigonometrik fonksiyonlarla modellenir.

Sık sorulanlar