11. Sınıf Trigonometrik Denklemler — Konu Anlatımı

Trigonometrik Denklem Nedir?

Bilinmeyeni bir trigonometrik fonksiyonun içinde bulunan denkleme trigonometrik denklem denir: $2\sin x = 1$, $\cos 2x = 0$, $\tan x = -\sqrt{3}$ gibi.

Trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğu için bu denklemlerin genellikle sonsuz çözümü vardır. Sinüs ve kosinüsün periyodu $360°$ ($2\pi$), tanjant ve kotanjantın periyodu $180°$ ($\pi$)’dir. Bu yüzden sorular ya bir aralık verir ("$0° \leq x < 360°$ aralığında") ya da genel çözüm ister ($k \in \mathbb{Z}$ ile).

Çözüm stratejisi (her denklemde aynı):

1. Trigonometrik fonksiyonu yalnız bırak ($\sin x = a$ biçimi).
2. Değer aralığını denetle: $|a| > 1$ ise sinüs ve kosinüs için çözüm yoktur.
3. Referans (dar) açıyı bul: işareti yok sayarak özel açı tablosundan.
4. İşarete göre hangi bölgelerde olduğunu belirle.
5. Genel çözümü yaz, istenen aralıktaki kökleri seç.

Birim Çember, Özel Açılar ve Bölge İşaretleri

Birim çemberde $x$ açısının belirlediği noktanın apsisi $\cos x$, ordinatı $\sin x$’tir; $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$. Nokta çemberin üzerinde olduğu için $-1 \leq \sin x \leq 1$ ve $-1 \leq \cos x \leq 1$; tanjant ise her gerçek değeri alabilir.

İşaretler bölgelere göre:

sin x = a Denklemi

$-1 \leq a \leq 1$ ve $\sin \alpha = a$ ise genel çözüm iki ailedir:

$x = \alpha + k \cdot 360°$   veya   $x = (180° - \alpha) + k \cdot 360°$

Sinüs ordinattır; aynı yükseklikte çemberin iki noktası vardır ve bu iki nokta $y$ eksenine göre simetriktir. Bu yüzden kökler toplamı ($0°$–$360°$ aralığında, $a > 0$ için) $180°$ eder.

Çözümlü örnek 1. $0° \leq x < 360°$ için $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

1. Referans açı $45°$; sinüs pozitif → I ve II. bölge.
2. $x = 45°$ ve $x = 180° - 45° = 135°$.

Çözümlü örnek 2. $0° \leq x < 360°$ için $2\sin x + \sqrt{3} = 0$.

1. Yalnız bırak: $\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
2. Referans açı $60°$; sinüs negatif → III ve IV. bölge.
3. $x = 180° + 60° = 240°$ ve $x = 360° - 60° = 300°$.

Özel durumlar: $\sin x = 1 \Rightarrow x = 90° + k \cdot 360°$; $\sin x = -1 \Rightarrow x = 270° + k \cdot 360°$; $\sin x = 0 \Rightarrow x = k \cdot 180°$. Bu üç durumda iki aile tek aileye iner.

cos x = a Denklemi

$-1 \leq a \leq 1$ ve $\cos \alpha = a$ ise:

$x = \alpha + k \cdot 360°$   veya   $x = -\alpha + k \cdot 360°$   (kısaca $x = \pm\alpha + k \cdot 360°$)

Kosinüs apsistir; aynı apsisteki iki nokta $x$ eksenine göre simetriktir. $0°$–$360°$ aralığında $-\alpha$ açısı $360° - \alpha$ olarak yazılır.

Çözümlü örnek 3. $0° \leq x < 360°$ için $\cos x = -\dfrac{1}{2}$.

1. Referans açı $60°$ ($\cos 60° = \frac{1}{2}$); kosinüs negatif → II ve III. bölge.
2. $x = 180° - 60° = 120°$ ve $x = 180° + 60° = 240°$.
3. Denetleme: iki kök $x$ eksenine göre simetrik, toplamları $360°$ ✓

Çözümsüz durum: $\cos x = \dfrac{3}{2}$ denkleminin hiçbir çözümü yoktur, çünkü $\dfrac{3}{2} > 1$ ve kosinüs 1’i aşamaz. Önce değer aralığını denetlemek, boşuna açı aramayı önler.

$\cos x = 0 \Rightarrow x = 90° + k \cdot 180°$ (aralıkta $90°$ ve $270°$).

tan x = a ve cot x = a Denklemleri

Tanjant her gerçek değeri alır; çözüm her zaman vardır. Periyot $180°$ olduğundan tek aile yeter:

$\tan x = a$, $\tan \alpha = a$ ise $x = \alpha + k \cdot 180°$

Çözümlü örnek 4. $0° \leq x < 360°$ için $\tan x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$: referans $30°$ → $x = 30°$ ve $x = 30° + 180° = 210°$.

Çözümlü örnek 5. $0° \leq x < 360°$ için $\tan x = -\sqrt{3}$.

1. Referans açı $60°$; tanjant negatif → II ve IV. bölge.
2. $x = 180° - 60° = 120°$ ve $x = 360° - 60° = 300°$.
3. Denetleme: $300° - 120° = 180°$, yani kökler bir periyot arayla ✓

Kotanjant da aynı biçimde çözülür: $\cot x = a \Rightarrow x = \alpha + k \cdot 180°$. Tanjantın tanımsız olduğu $90° + k \cdot 180°$ noktaları tanjant denkleminin kökü olamaz.

Katlı Açılı Denklemler

$\sin 2x$, $\cos 3x$ gibi denklemlerde önce açının tamamı ($2x$, $3x$) bilinmeyen gibi çözülür, sonra katsayıya bölünür. Bölerken periyot da bölünür; aralıktaki kök sayısı artar.

Çözümlü örnek 6. $0° \leq x < 360°$ için $\sin 2x = \dfrac{1}{2}$.

1. $x$ aralığı $[0°, 360°)$ ise $2x$ aralığı $[0°, 720°)$ olur.
2. $2x = 30° + k \cdot 360°$ ya da $2x = 150° + k \cdot 360°$.
3. $[0°, 720°)$ içinde: $2x \in \{30°, 150°, 390°, 510°\}$.
4. İkiye böl: $x \in \{15°, 75°, 195°, 255°\}$ — dört kök.

Genel çözüm: $x = 15° + k \cdot 180°$ veya $x = 75° + k \cdot 180°$.

Çözümlü örnek 7. $0° \leq x < 180°$ için $\cos 3x = 0$.

1. $3x$ aralığı $[0°, 540°)$.
2. $\cos 3x = 0 \Rightarrow 3x = 90° + k \cdot 180°$ → $3x \in \{90°, 270°, 450°\}$.
3. $x \in \{30°, 90°, 150°\}$.

Çarpanlara Ayırma ve İkinci Dereceden Biçimler

Denklem $\sin x$ ya da $\cos x$’e göre ikinci dereceden ise yeni bir değişken gibi düşünülür ($\cos x = t$) ve çarpanlarına ayrılır. Her çarpan ayrı bir temel denklem verir.

Çözümlü örnek 8. $0° \leq x < 360°$ için $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$.

1. $\cos x = t$: $2t^2 - t - 1 = (2t + 1)(t - 1) = 0$.
2. $t = 1 \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow x = 0°$.
3. $t = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow \cos x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 120°, 240°$.
4. Çözüm kümesi $\{0°, 120°, 240°\}$ — üç kök.

Kare eşitlikler: $\sin^2 x = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \sin x = \pm\dfrac{1}{2}$ → $30°, 150°, 210°, 330°$ (dört kök). $\tan^2 x = 3 \Rightarrow \tan x = \pm\sqrt{3}$ → $60°, 120°, 240°, 300°$.

Bölme tuzağı: $\sin x (2\sin x - 1) = 0$ gibi bir denklemde iki tarafı $\sin x$’e bölmek, $\sin x = 0$’dan gelen kökleri kaybettirir. Ortak çarpan bölünmez, parantezine alınır.

Radyan ile Çözüm

$180° = \pi$ radyan. Aralık $[0, 2\pi)$ verilirse kökler radyanla yazılır: $30° = \frac{\pi}{6}$, $45° = \frac{\pi}{4}$, $60° = \frac{\pi}{3}$, $90° = \frac{\pi}{2}$.

• $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $x \in [0, 2\pi)$ → $x = \dfrac{\pi}{3}$ ve $x = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$.
• $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $x \in [0, 2\pi)$ → $x = \dfrac{\pi}{4}$ ve $x = 2\pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{7\pi}{4}$.

Yöntem aynıdır; yalnız $180°$ yerine $\pi$, $360°$ yerine $2\pi$ yazılır.

Senaryolu Problem: Dönme Dolap

Periyodik hareketler (dönme dolap, salıncak, gel-git) trigonometrik fonksiyonlarla modellenir; "ne zaman şu yükseklikte?" sorusu bir trigonometrik denklemdir.

Çözümlü örnek 9. Bir dönme dolaptaki kabinin yerden yüksekliği $h(t) = 12 - 10\cos(15t)°$ metredir ($t$ dakika, $0 \leq t < 24$). Kabin ilk turda hangi anlarda 17 m yüksekliktedir?

1. $12 - 10\cos(15t)° = 17 \Rightarrow \cos(15t)° = -\dfrac{1}{2}$.
2. $0 \leq t < 24$ ise $0° \leq 15t < 360°$.
3. $15t = 120°$ ya da $15t = 240°$ → $t = 8$ ve $t = 16$ dakika.
4. Denetleme: bir tur $360 \div 15 = 24$ dakika; en yüksek nokta ($h = 22$) $t = 12$’de, 8 ve 16 buna göre simetrik ✓

Sık Yapılan Hatalar

1. İkinci kökü unutmak. $\sin x = \frac{1}{2}$ için yalnız $30°$ yazıp $150°$’yi atlamak.
2. Kosinüsün genel çözümünü tek aile yazmak. Doğrusu $x = \pm\alpha + k \cdot 360°$; $\cos(-60°) = \cos 60°$ olduğu için eksi aile de çözümdür.
3. Tanjantta periyodu 360° almak. Tanjantın periyodu $180°$’dir; $\tan x = \sqrt{3}$ için $60°$ ve $240°$.
4. Katlı açıda aralığı genişletmemek. $\sin 2x$ için $2x$’in aralığı iki katına çıkar; aksi hâlde kökler yarıya iner.
5. Ortak çarpana bölmek. $\sin x$’e bölünce $\sin x = 0$ kökleri kaybolur.
6. Değer aralığını denetlememek. $\cos x = \frac{3}{2}$ ve $\sin x = -2$ çözümsüzdür.
7. Bölge işaretini karıştırmak. Kosinüs II. bölgede negatif, IV. bölgede pozitiftir.

Özet

Strateji: yalnız bırak → aralığı denetle → referans açı → bölge → genel çözüm → aralıktaki kökler.

Sık sorulanlar