Türev Alma Kuralları
$(x^n)' = n x^{n-1}$
$(c)' = 0$
$(u \pm v)' = u' \pm v'$
Çarpım: $(uv)' = u'v + uv'$
Bölüm: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
Zincir: $[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
$(\sin x)' = \cos x$ · $(\cos x)' = -\sin x$ · $(e^x)' = e^x$ · $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
Grafik Yorumu
$f'(x) > 0$ → fonksiyon artan
$f'(x) < 0$ → fonksiyon azalan
$f'(x) = 0$ → kritik nokta (yerel maksimum, minimum ya da dönüm noktası olabilir)
$f''(x) > 0$ → grafik içbükey (yukarı doğru)
$f''(x) < 0$ → dışbükey
İkinci türevin işaret değiştirdiği yer dönüm noktasıdır.
En Büyük - En Küçük Değer Problemleri
Adımlar:
1. Optimize edilecek büyüklük için bir fonksiyon yaz
2. Kısıt bağıntısıyla tek değişkene indir
3. Türevi sıfıra eşitle
4. Bulunan noktanın maksimum mu minimum mu olduğunu işaret tablosuyla ya da ikinci türevle denetle
Kapalı aralıkta ayrıca uç noktalar da değerlendirilmelidir; en büyük değer uçta olabilir.
Sık Yapılan Hata
$f'(x) = 0$ olan her noktayı ekstremum saymak. Türevin sıfır olması gerek koşuldur ama yeter koşul değildir; $f(x) = x^3$ fonksiyonunda $x=0$'da türev sıfırdır ama ekstremum yoktur.
İkinci hata: kapalı aralık problemlerinde uç noktaları hesaba katmamak.
Sık sorulanlar
Türevin sıfır olduğu her nokta ekstremum mudur?
Hayır. Gerek koşuldur ama yeterli değildir; işaret değişimi denetlenmelidir.
İkinci türevin pozitif olması ne anlatır?
Grafiğin o aralıkta içbükey (yukarı doğru çukur) olduğunu.