12. Sınıf Türev Kuralları ve Uygulamaları — Konu Anlatımı

Cisim 2. Saniyede Hangi Yöne Gidiyor?

Bir cismin konumu metre cinsinden $x(t) = t^3 - 6t^2 + 5t$ bağıntısıyla veriliyor. 2. saniyedeki hızı nedir?

Hız, konumun türevidir. Her terimin türevini ayrı alıyoruz:

$v(t) = x'(t) = 3t^2 - 12t + 5$

$v(2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 5 = 12 - 24 + 5 = -7$ m/s

Eksi işaret ne anlatıyor? Cisim 2. saniyede konum ekseninin negatif yönünde 7 m/s süratle gidiyor. Sürat 7, hız $-7$.

Bu kısa çözümde üç kural kullandık; şimdi onları tek tek açalım.

Az Önce Kullandığımız Kurallar

• Kuvvet kuralı: $(x^n)' = n x^{n-1}$ → $(t^3)' = 3t^2$, $(x^5)' = 5x^4$
• Sabitle çarpım: $(c \cdot f)' = c \cdot f'$ → $(6t^2)' = 12t$
• Toplam ve fark: $(u \pm v)' = u' \pm v'$ — terim terim türev alınır
• Sabitin türevi: $(7)' = 0$ — değişmeyen bir şeyin değişim hızı sıfırdır

Mini soru: $f(x) = 3x^2 - 4x + 9$ fonksiyonunun türevi nedir? Cevap $6x - 4$; 9 sabit olduğu için kaybolur.

Sık kullanılan diğer türevler: $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.

Çarpım, Bölüm ve Zincir

Çarpım: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$

$f(x) = x^2(x + 3)$ için $u = x^2$, $v = x + 3$:

$f'(x) = 2x(x + 3) + x^2 \cdot 1 = 3x^2 + 6x$

Kontrol için çarpımı açın: $x^3 + 3x^2$ ifadesinin türevi de $3x^2 + 6x$. Aynı.

Sık yapılan hata: Çarpımın türevini türevlerin çarpımı sanmak: $(x^2)' \cdot (x + 3)' = 2x \cdot 1 = 2x$. Sonuç $3x^2 + 6x$ olmalıyken bambaşka bir şey çıkıyor. Aynı yanılgı bölümde de yapılır: $\left(\frac{u}{v}\right)' \neq \frac{u'}{v'}$.

Bölüm: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$

$\left(\dfrac{x}{x + 1}\right)' = \dfrac{1 \cdot (x + 1) - x \cdot 1}{(x + 1)^2} = \dfrac{1}{(x + 1)^2}$

Paydaki sıra önemli: çıkarma işlemi olduğundan $u'v$ önce gelir.

Zincir: $[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ — dıştakinin türevi, sonra içtekinin türevi.

$[(2x + 1)^5]' = 5(2x + 1)^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4$

Sondaki 2'yi unutmak, zincir kuralında en sık kaybedilen puandır.

Türevin İşareti Grafiği Anlatır

$f'(x) > 0$ olan aralıkta $f$ artan, $f'(x) < 0$ olan aralıkta azalandır. Örnek: $f'(x) = 2x - 8$ ise $x > 4$ için artan, $x < 4$ için azalan.

$f'(x) = x^2 - 9$ olsun. Kökler $x = -3$ ve $x = 3$; bunlar kritik noktalardır. İşaret tablosu:

$x = -3$'te fonksiyon artmaktan azalmaya geçer: yerel maksimum. $x = 3$'te azalmaktan artmaya geçer: yerel minimum.

Sınır durum: $f(x) = x^3$ için $f'(0) = 0$, ama $f'(x) = 3x^2$ sıfırın iki yanında da pozitif. İşaret değişmediği için $x = 0$ ne maksimum ne minimumdur. $f'(a) = 0$ olması uç nokta için gereklidir ama yetmez; işaret değişimine bakmak şarttır.

İkinci türev eğriliği gösterir: $f''(x) > 0$ ise grafik yukarı doğru çukur (içbükey), $f''(x) < 0$ ise aşağı doğru kubbe (dışbükey); işaretin değiştiği yer dönüm noktasıdır.

40 Metre Tel ile En Büyük Bahçe

Bir duvarın önüne dikdörtgen bir bahçe yapılacak; duvar tarafına çit gerekmiyor, diğer üç kenar için 40 m tel var. Bahçenin alanı en çok kaç m² olur?

1. Duvara dik kenarlar $x$ ise duvara paralel kenar $40 - 2x$ olur.
2. Alan: $A(x) = x(40 - 2x) = 40x - 2x^2$,  $0 < x < 20$
3. $A'(x) = 40 - 4x = 0 \Rightarrow x = 10$
4. $A'$ işareti 10'dan önce pozitif, sonra negatif → maksimum.

Bahçe $10 \times 20$ m, alan 200 m². Deneyerek kontrol edin: $x = 8$ için $8 \cdot 24 = 192$, $x = 12$ için $12 \cdot 16 = 192$. İkisi de 200'den küçük.

Kapalı aralıkta uçlar unutulmaz. $f(x) = x^2 - 4x$ fonksiyonunun $[0, 5]$ aralığındaki en büyük değeri nedir? $f'(x) = 2x - 4 = 0$ kritik noktayı $x = 2$ olarak verir, ama $f(2) = -4$ en küçük değerdir. Uçlara bakınca $f(0) = 0$, $f(5) = 5$. En büyük değer 5'tir ve kritik noktada değil, uçta ortaya çıkar.

Sınav ipucu: "En büyük/en küçük değer" sorusunda aralık kapalıysa listeye kritik noktalarla birlikte iki ucu da yazın ve hepsinde fonksiyon değerini hesaplayın. Konum fonksiyonu verilip "hız" soruluyorsa bir kez, "ivme" soruluyorsa iki kez türev alın; "yön değiştirdiği an" hızın işaret değiştirdiği andır.

Sık sorulanlar