Yokuşun Dikliğini Tek Sayıyla Söylemek
Bir bisiklet uygulaması parkurun yükseklik profilini çiziyor ve ekranın köşesinde "eğim: %8" yazıyor. Bu sayı, o anda bulunduğunuz noktada yolun her 100 metre yatayda 8 metre yükseldiğini söylüyor. İki nokta arasındaki ortalama eğim değil, tam o noktadaki eğim. Matematikte bunun adı türevdir.
Profil $f(x) = x^2$ olsun ve $x = 2$ noktasındaki eğimi arayalım. Yakındaki noktalarla kesenlerin eğimini hesaplayalım:
| İkinci nokta | Kesenin eğimi |
| $x = 3$ | $\frac{9 - 4}{1} = 5$ |
| $x = 2{,}1$ | $\frac{4{,}41 - 4}{0{,}1} = 4{,}1$ |
| $x = 2{,}01$ | $\frac{4{,}0401 - 4}{0{,}01} = 4{,}01$ |
Kesenler teğete dönüşürken eğim 4'e yaklaşıyor. $f'(x) = 2x$ olduğundan $f'(2) = 4$. $f'(a)$, grafiğe $x = a$'da çizilen teğetin eğimidir.
Teğet Doğrusunu Yazmak
Teğet, $(a, f(a))$ noktasından geçen ve eğimi $f'(a)$ olan doğrudur: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$.
$f(x) = x^2$, $x = 2$: nokta $(2, 4)$, eğim 4. Teğet $y - 4 = 4(x - 2)$, yani $y = 4x - 4$.
Daha zor bir örnek: $f(x) = x^3 - 3x$ için $x = 2$'deki teğet. $f(2) = 8 - 6 = 2$, $f'(x) = 3x^2 - 3$ ve $f'(2) = 9$. Teğet $y - 2 = 9(x - 2)$, yani $y = 9x - 16$.
Teğet ne zaman yatay olur? Eğim sıfır olduğunda: $3x^2 - 3 = 0$, $x = \pm 1$. Parkurda bu noktalar yokuşun bitip inişin başladığı tepe ya da çukurdur. Aynı fikir fizikte de geçerli: konumu $x(t) = t^2 - 4t + 5$ olan cismin hızı $v(t) = 2t - 4$; $t = 3$'te hız 2, $t = 2$'de hız sıfır ve cisim o anda yön değiştiriyor.
Türevin İşareti: Çıkış mı, İniş mi?
$f'(x) > 0$ olan aralıkta fonksiyon artar, $f'(x) < 0$ olan aralıkta azalır.
$f(x) = x^2 - 4x + 3$: $f'(x) = 2x - 4$. $x < 2$ iken türev negatif (iniş), $x > 2$ iken pozitif (çıkış). Fonksiyon $(2, \infty)$ aralığında artandır; $x = 2$'de en düşük değer $f(2) = -1$.
Uç değerin türünü işaret değişimi belirler: $+ \to -$ ise yerel maksimum, $- \to +$ ise yerel minimum, işaret değişmiyorsa uç değer yok.
$f(x) = x^3 - 3x$ için $f'(x) = 3(x - 1)(x + 1)$. İşaret tablosu: $x < -1$ artı, $-1 < x < 1$ eksi, $x > 1$ artı. Yerel maksimum $x = -1$'de ($f(-1) = 2$), yerel minimum $x = 1$'de ($f(1) = -2$).
Tablo verildiğinde de aynı okuma yapılır: türev $x < 1$ iken negatif, $1 < x < 4$ iken pozitif, $x > 4$ iken negatifse $x = 1$ yerel minimum, $x = 4$ yerel maksimumdur.
Sınır durum: $f(x) = x^3$ için $f'(0) = 0$ ama türev iki tarafta da pozitif; grafik düzleşip çıkmaya devam eder, uç değer yok. Tersine $f(x) = |x|$ için $x = 0$'da türev tanımsız, ama orada minimum var. Kritik nokta, türevin sıfır ya da tanımsız olduğu yerdir.
Kapalı Aralıkta Uçları Unutmayın
$f(x) = x^3 - 3x$ fonksiyonunun $[-2, 3]$ aralığındaki en büyük ve en küçük değeri nedir? Kritik noktalara ve aralığın iki ucuna bakılır:
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $3$ |
| $f(x)$ | $-2$ | $2$ | $-2$ | $18$ |
Mutlak maksimum 18, sağ uçta ($x = 3$). Mutlak minimum $-2$, iki yerde birden ($x = -2$ ve $x = 1$). Yalnız kritik noktalara bakan öğrenci en büyük değeri 2 sanır: yerel tepe, dağın zirvesi değildir.
İkinci Türev: Grafik Hangi Yöne Kıvrılıyor?
$f''(x) > 0$ olan aralıkta grafik yukarı içbükeydir (kâse gibi), $f''(x) < 0$ olan aralıkta aşağı içbükeydir (kubbe gibi). İçbükeyliğin değiştiği noktaya büküm noktası denir.
$f(x) = x^3 - 3x$ için $f''(x) = 6x$: $x < 0$ kubbe, $x > 0$ kâse; büküm noktası $(0, 0)$. İkinci türev uç noktanın türünü de doğrular: $f''(-1) = -6 < 0$, kubbenin tepesi, maksimum; $f''(1) = 6 > 0$, kâsenin dibi, minimum.
Grafik çizerken sıra şöyledir: eksen kesişimleri, $f'$ ve kritik noktalar, işaret tablosu, uç değerler, $f''$ ile içbükeylik, sonra çizim.
Kartondan Kapaksız Kutu
12 cm × 12 cm'lik kare bir kartonun dört köşesinden $x$ cm'lik kareler kesilip kenarlar yukarı katlanarak kapaksız bir kutu yapılacak. Hacim en çok kaç olur?
Model: Taban $(12 - 2x) \times (12 - 2x)$, yükseklik $x$: $V(x) = x(12 - 2x)^2$, $0 < x < 6$.
Türev: $V'(x) = (12 - 2x)^2 - 4x(12 - 2x) = (12 - 2x)(12 - 6x)$. Sıfır yapan değerler $x = 6$ (kutu yok olur, aralık dışında) ve $x = 2$.
Sonuç: $V(2) = 2 \cdot 8^2 = 128$ cm³. Komşu değerlerle sağlama: $V(1) = 100$, $V(3) = 108$. İkisi de 128'den küçük.
Zorluk türevde değil modelde. Ekonomide aynı düşünce marjinal maliyeti verir: maliyet fonksiyonunun türevi, bir birim daha üretmenin maliyete eklediği tutardır.
Yanılgılar ve AYT İpucu
Sık yapılan hata: $f'(x) = 0$ olan her noktayı uç değer saymak. $x^3$ örneği bunun yanlış olduğunu gösterir; işaret değişimi şarttır.
Kapalı aralıkta uçları atlamak: $[-2, 3]$ örneğinde en büyük değer 18, sağ uçtaydı.
Türev grafiğini fonksiyon grafiği gibi okumak: Soruda $f'$ grafiği verildiyse, $f'$ grafiğinin $x$ eksenini kestiği yerler $f$'nin kritik noktalarıdır; $f'$ grafiğinin tepe ve çukurları ise $f$'nin büküm noktalarıdır. Bu ikisi en çok karıştırılan AYT kalıbıdır.
Mini soru: $f(x) = x^2 - 6x$ grafiğine hangi noktada çizilen teğet yataydır? $f'(x) = 2x - 6 = 0$, $x = 3$; nokta $(3, -9)$.
Sık sorulanlar
Türev sıfır ama uç değer yok; nasıl olur?
Türevin sıfır olması yetmez, işaret de değişmeli. f(x) = x³ için f'(0) = 0 ama türev iki tarafta da pozitiftir; grafik düzleşip çıkmaya devam eder.
Kapalı aralıkta en büyük değeri nasıl bulurum?
Kritik noktalardaki ve aralığın iki ucundaki değerleri hesaplayıp karşılaştırın. x³ − 3x fonksiyonunun [−2, 3] aralığındaki en büyük değeri 18'dir ve sağ uçtadır.
Teğet denklemi nasıl yazılır?
Nokta (a, f(a)), eğim f'(a) alınır: y − f(a) = f'(a)(x − a). f(x) = x² için x = 2'deki teğet y = 4x − 4 olur.