8. Sınıf Üçgenler — Konu Anlatımı

Arsanın İçinden Kestirme

Deniz her sabah evinden çıkıp önce 600 m doğuya, sonra 800 m kuzeye yürüyerek okula varıyor. Bir gün aradaki boş arsanın içinden çapraz yürümeye karar veriyor. Yolu kaç metre kısalır?

Şekli çizince durum netleşiyor: doğu ile kuzey arasındaki açı $90^\circ$. Deniz'in eski yolu bir dik üçgenin iki kenarı, yeni yolu ise üçüncü kenarı.

$600^2 + 800^2 = 360\,000 + 640\,000 = 1\,000\,000$  →  $\sqrt{1\,000\,000} = 1000$ m

Eski yol $600 + 800 = 1400$ m, yeni yol $1000$ m; Deniz her sabah $400$ m kazanıyor. Bu küçük hesabın içinde konunun iki büyük fikri saklı: dik üçgende kenarlar arasındaki bağıntı ve "düz yol, dolambaçlı yoldan her zaman kısadır" gerçeği. İkisini sırayla açalım.

Pisagor: Önce Hipotenüsü Bul

Dik üçgende dik açıyı oluşturan iki kenara dik kenar, dik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. Dik kenarlar $a$ ve $b$, hipotenüs $c$ ise:

$a^2 + b^2 = c^2$

Eşitliğin bir tarafında tek başına duran kenar hipotenüstür. Soruya başlamadan önce dik açı işaretini bulun ve karşısındaki kenarı işaretleyin.

Ters soru: Hipotenüsü 10 cm, bir dik kenarı 6 cm olan üçgenin diğer dik kenarı kaç cm? $b^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$, yani $b = 8$ cm.

Sık yapılan hata: Bu soruda 6 ile 10'un karelerini toplayıp $\sqrt{136}$ bulmak. Toplama yalnız iki dik kenar verildiğinde yapılır; verilenlerden biri hipotenüsse çıkarma gerekir. Kontrolü kolay: $\sqrt{136} \approx 11{,}7$ çıkıyorsa, 10'luk hipotenüsten uzun bir dik kenar bulmuşsunuz demektir. Bu imkânsız.

Bazı üçlüler hesabı kısaltır: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17). Katları da geçerli; Deniz'in (600, 800, 1000) yolu aslında (3, 4, 5)'in 200 katı. Bağıntı ters yönde de işler: kenarları 5, 12 ve 13 olan üçgende $25 + 144 = 169 = 13^2$ olduğu için üçgen diktir ve dik açı 13'ün karşısındadır.

Kareköklü ifadelerle bağlantılı bir örnek: Kenarı 6 cm olan eşkenar üçgende yükseklik tabanı 3'er cm'lik iki parçaya böler. Oluşan dik üçgende $h^2 = 6^2 - 3^2 = 27$, yani $h = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}2$ cm.

Üç Köy Arasında Yol: Üçgen Eşitsizliği

Haritada Akköy ile Bereket arası 7 km, Bereket ile Çamlı arası 3 km. Akköy'den Çamlı'ya doğrudan bir yol yapılacak. Bu yol kaç km olabilir?

Kestirme, dolambaçtan uzun olamaz: $x < 7 + 3 = 10$. Çok kısa da olamaz; Akköy ile Bereket arasındaki 7 km'nin en fazla 3 km'sini Çamlı "kapatabilir", geriye en az $7 - 3 = 4$ km kalır. Üç köy bir üçgenin köşeleriyse:

$7 - 3 < x < 7 + 3 \;\Rightarrow\; 4 < x < 10$

Yol uzunluğu tam sayı kilometre olacaksa 5, 6, 7, 8 ve 9: beş farklı değer.

Peki $x = 4$ ya da $x = 10$ olsaydı? Bir an düşünün. Cevap: O durumda üç köy aynı doğru üzerinde olurdu; üçgen yassılaşıp bir doğru parçasına dönerdi. Eşitsizlikteki işaretlerin eşitliği kapsamamasının sebebi bu.

Kenarları 3 cm, 4 cm ve 8 cm olan bir üçgen çizilemez, çünkü $3 + 4 = 7$ ve 7, 8'den küçük. Pratik kontrol tek sorudur: en kısa iki kenarın toplamı en uzun kenardan büyük mü? Evetse üçgen kurulur; üç ayrı eşitsizlik yazmaya gerek kalmaz.

Açıyı Söyle, Kenarı Sıralayayım

İç açıları $m(\widehat{A}) = 50^\circ$, $m(\widehat{B}) = 60^\circ$ ve $m(\widehat{C}) = 70^\circ$ olan ABC üçgeninde en uzun kenar hangisi? Kural: büyük açının karşısında büyük kenar bulunur. C'nin karşısı [AB], B'nin karşısı [AC], A'nın karşısı [BC]. Buna göre $|BC| < |AC| < |AB|$.

Öğrencilerin en çok karıştırdığı yer, açının karşısındaki kenar yerine yanındaki kenarı almak. Bir köşeye değen iki kenar o açıyı oluşturur; karşıdaki kenar o köşeye hiç dokunmaz.

Açılardan biri verilmezse iç açılar toplamından ($180^\circ$) bulunur. Bir köşedeki dış açı $120^\circ$ ise o köşenin iç açısı $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$'dir. Dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına da eşittir: yukarıdaki üçgende C köşesindeki dış açı $50^\circ + 60^\circ = 110^\circ$.

Dik üçgende en büyük açı $90^\circ$ olduğu için hipotenüsün neden en uzun kenar olduğu da buradan çıkıyor.

Aynı Köşeden Üç Farklı Çizgi

• Yükseklik: köşeden karşı kenara dik inilir. Şekilde ayağında dik açı işareti vardır.
• Kenarortay: köşeyi karşı kenarın orta noktasına bağlar. Karşı kenarda iki eşit parçayı gösteren çentikler görülür.
• Açıortay: köşedeki açıyı iki eşit açıya böler. Köşede iki eşit yay işareti bulunur.

Sorularda bu çizgiler çoğu zaman adıyla değil, şekildeki işaretiyle verilir; üç işareti tanımak sorunun yarısıdır.

Yükseklik alan hesabının anahtarıdır: tabanı 12 cm, bu tabana ait yüksekliği 5 cm olan üçgenin alanı $\dfrac{12 \cdot 5}{2} = 30$ cm²'dir.

Sınır durum: Geniş açılı üçgende, dar açılı köşeden inen yükseklik üçgenin dışına, karşı kenarın uzantısına düşer. Yüksekliğin hep üçgenin içinde kaldığı sanılır; öyle değil. Dik üçgende ise iki dik kenar birbirinin yüksekliğidir.

Eşkenar üçgende bir köşeden çizilen yükseklik, kenarortay ve açıortay aynı doğru parçasıdır. İkizkenar üçgende bu çakışma yalnız tepe köşesinden çizilenler için geçerlidir.

Çözümlü Örnek: Ortak Kenarlı İki Dik Üçgen

Bir marangoz, çatı iskeletinde iki dik üçgeni ortak bir kiriş boyunca birleştiriyor. ABC üçgeninde B köşesi, ACD üçgeninde C köşesi diktir. $|AB| = 9$ m, $|BC| = 12$ m ve $|CD| = 8$ m. $|AD|$ kaç metredir?

1. adım: Ortak kenar [AC] iki üçgen arasındaki köprüdür. ABC'de hipotenüs [AC]: $|AC|^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$, yani $|AC| = 15$ m.

2. adım: ACD'de dik kenarlar [AC] ve [CD], hipotenüs [AD]: $|AD|^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$, yani $|AD| = 17$ m.

İkinci üçgen yine bilinen bir üçlü çıktı: (8, 15, 17). Kök alırken 289 gibi bir sayı görürseniz $17^2$ olduğunu hatırlamak zaman kazandırır.

Soruda Bunu Görürseniz

• "En kısa yol", "doğrudan", "kuş uçuşu" → dik üçgen kurup Pisagor.
• "Kaç farklı tam sayı değeri alabilir" → üçgen eşitsizliği; uç değerleri saymayın.
• Açılar verilip kenar sıralaması isteniyor → her açının karşısındaki kenarı yazarak eşleştirin.
• LGS'deki gibi uzun bir metin ve bir şekil (park, rampa, merdiven) varsa → önce dik açıyı bulun; sayılardan hangisinin hipotenüs olduğunu şekil söyler, metnin sırası değil.

Tekrar hatırlayalım: Deniz'in 1000 m'lik kestirmesi 1400 m'lik dolambaçtan kısaydı. Üçgen eşitsizliği bunun genel hâli, Pisagor ise dik açı varken kesin değeri.

Sık sorulanlar