8. Sınıf Üslü İfadeler — Konu Anlatımı

Üslü İfade Nedir?

Üslü ifade, aynı sayının tekrarlı çarpımının kısa yazılışıdır. $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ olur. Burada 2 taban, 5 üs (kuvvet) olarak adlandırılır ve "2'nin 5. kuvveti" diye okunur.

Üs, tabanın kaç kez çarpıldığını söyler; tabanla üssü çarpmak anlamına gelmez. $2^5$ ifadesi 10 değil, 32'dir. 8. sınıfta taban bir tam sayı ya da kesir, üs ise bir tam sayı olabilir; bu yüzden negatif üs de bu konunun parçasıdır.

Temel Üs Kuralları

Aşağıdaki kuralların tamamı çarpmanın tanımından çıkar; ezberlemek yerine bir kez açarak yazarsan unutmazsın. Örneğin $2^3 \cdot 2^2 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) = 2^5$ olduğu için tabanlar aynıyken üsler toplanır.

Kesirli tabanda negatif üs kesri ters çevirir: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$.

Negatif Üs ve Negatif Taban

Bu ikisi en çok karıştırılan kavramlardır ama tamamen farklı sonuç verirler:

• $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$ — negatif üs; sonuç pozitif bir kesirdir, negatif sayı değildir.
• $(-2)^3 = -8$ — negatif taban, tek üs; sonuç negatiftir.
• $(-2)^4 = 16$ — negatif taban, çift üs; sonuç pozitiftir.

Kural: negatif tabanda üs tekse sonuç negatif, çiftse pozitiftir. Üssün negatif olması ise yalnızca ifadenin kesre dönüşmesini sağlar, işareti değiştirmez.

Üslü İfadelerde Toplama ve Çıkarma

Toplama ve çıkarmada üsler toplanmaz ya da çıkarılmaz. Bu işlemler ancak ortak çarpan parantezine alma ile kısaltılır:

• $2^5 + 2^5 = 2 \cdot 2^5 = 2^6$
• $3^4 + 3^4 + 3^4 = 3 \cdot 3^4 = 3^5$
• $5^3 - 5^2 = 5^2 \cdot (5 - 1) = 25 \cdot 4 = 100$

Aynı üslü ifadeyi tabanı kadar topladığında üs bir artar. Bu küçük gözlem LGS'de sık kullanılır.

10'un Kuvvetleri ve Bilimsel Gösterim

Ondalık sayılar 10'un kuvvetleriyle çözümlenebilir. Örneğin $3025{,}4 = 3 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0 + 4 \cdot 10^{-1}$ olur. Virgülden sonraki basamaklar 10'un negatif kuvvetlerine karşılık gelir.

Çok büyük ve çok küçük sayılar bilimsel gösterimle, yani $a \cdot 10^n$ biçiminde yazılır. Burada $1 \le a < 10$ olmalı ve $n$ bir tam sayı olmalıdır.

• $45\,000 = 4{,}5 \cdot 10^4$
• $0{,}00032 = 3{,}2 \cdot 10^{-4}$

$45 \cdot 10^3$ sayının değeri doğru olsa da bilimsel gösterim değildir, çünkü 45 sayısı 10'dan büyüktür. Bilimsel gösterimdeki iki sayı karşılaştırılırken önce 10'un üslerine bakılır; üsler eşitse katsayılar karşılaştırılır.

Çözümlü Örnek 1: Ortak Tabana Çevirme

Soru: $\dfrac{4^3 \cdot 8^2}{2^{10}}$ işleminin sonucu kaçtır?

1. Tabanlar farklı görünüyor ama hepsi 2'nin kuvveti: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$.
2. $4^3 = (2^2)^3 = 2^6$ ve $8^2 = (2^3)^2 = 2^6$.
3. Pay: $2^6 \cdot 2^6 = 2^{12}$.
4. Bölme: $2^{12} : 2^{10} = 2^2 = 4$.

Bu tür sorularda ilk iş her zaman tabanları aynı asal sayıya çevirmektir.

Çözümlü Örnek 2: Işığın Yolculuğu

Soru: Güneş ile Dünya arasındaki uzaklık yaklaşık $1{,}5 \cdot 10^8$ km, ışığın hızı yaklaşık $3 \cdot 10^5$ km/sn'dir. Güneş ışığı Dünya'ya yaklaşık kaç saniyede ulaşır?

1. Süre = yol : hız $= \dfrac{1{,}5 \cdot 10^8}{3 \cdot 10^5}$.
2. Katsayılar ayrı bölünür: $1{,}5 : 3 = 0{,}5$.
3. 10'un kuvvetleri ayrı bölünür: $10^8 : 10^5 = 10^3$.
4. Sonuç: $0{,}5 \cdot 10^3 = 500$ saniye, yani yaklaşık 8 dakika 20 saniye.

Sık Yapılan Hatalar

• Parantezi görmemek. Parantez yoksa üs yalnızca sayıya aittir: $-2^4 = -16$. Parantez varsa işaret de üsse dahildir: $(-2)^4 = 16$.
• Çarpmada üsleri çarpmak. $2^3 \cdot 2^4$ işleminde tabanlar aynıysa üsler toplanır: $2^7$, $2^{12}$ değil.
• Toplamada üsleri toplamak. $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$ olur; $2^7 = 128$ değildir.
• Katsayıyı tabanla birleştirmek. $3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$ olur; $6^4$ değildir.
• Negatif üssü negatif sonuç sanmak. $5^{-2} = \dfrac{1}{25}$ pozitiftir.

LGS'de Bu Konu Nasıl Sorulur?

LGS'de üslü ifadeler çoğunlukla bir bağlam içinde gelir: bakterilerin her saat ikiye katlanması, bir kâğıdın defalarca katlanması, bilgisayar dosyalarının boyutu, hücre büyüklükleri ya da gezegenler arası uzaklıklar.

• Katlanma ve ikiye katlanma: 0,1 mm kalınlığındaki bir kâğıt her katlamada kalınlığı iki katına çıkacak şekilde 10 kez katlanırsa kalınlık $0{,}1 \cdot 2^{10} = 102{,}4$ mm olur.
• Sadeleştirme: farklı tabanlı ifadeleri (4, 8, 16, 32) ortak tabana çevirip kurallarla sonuca gitme.
• Sıralama: bilimsel gösterimle verilmiş ölçüleri büyükten küçüğe sıralama.
• Ortak çarpan: $2^{10} + 2^{10}$ gibi toplamların tek bir kuvvet olarak yazılması.

İpucu: işlem uzun görünüyorsa önce bütün tabanları asal çarpanlarına ayır. Sonra yalnızca üslerle çalış; sayıların kendisini hesaplamaya çoğu zaman gerek kalmaz.

Özet

• Tabanlar aynıyken çarpmada üsler toplanır, bölmede çıkarılır.
• Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir.
• Negatif üs ifadeyi kesre çevirir, işareti değiştirmez.
• Negatif taban tek üste negatif, çift üste pozitif sonuç verir.
• Bilimsel gösterimde katsayı 1'e eşit ya da 1'den büyük, 10'dan küçük olmalıdır.

Sık sorulanlar