12. Sınıf Üstel ve Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler — Konu Anlatımı

Kulaklığın Sesi Kaç Desibel?

Ses düzeyi desibelle (dB) ölçülür: $L = 10 \log \frac{I}{I_0}$. Burada $I$ sesin şiddeti, $I_0$ duyulabilen en zayıf sesin şiddeti. Normal konuşma yaklaşık 60 dB.

Kulaklıktaki ses, konuşmadan 1000 kat daha şiddetliyse kaç dB olur? Logaritmanın çarpım kuralı işi kolaylaştırır: $10 \log 1000 = 30$ dB eklenir, sonuç 90 dB. Şiddet 1000 katına çıkmış ama ölçek yalnız 30 birim artmış.

85 dB'in üstünde uzun süre müzik dinlemenin işitmeye zarar verebileceği söylenir. Konuşmaya göre en fazla kaç kat şiddetli ses bu sınırın altında kalır?

$60 + 10 \log k \le 85 \Rightarrow \log k \le 2{,}5 \Rightarrow k \le 10^{2{,}5} \approx 316$

Bu tek soruda konunun iki aracı birden var: bir logaritmik eşitsizlik ve üsten çözülen bir üstel ifade. Taban 10, yani 1'den büyük; eşitsizliğin yönü korundu. Taban 1'den küçük olsaydı ne olurdu? Aşağıda göreceğiz.

Üstel Denklem: Önce Tabana Bakın

$a^{f(x)} = a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x)$, ancak $a > 0$ ve $a \neq 1$ iken. Taban 1 olsaydı $1^{5} = 1^{7}$ olur ama $5 \neq 7$; kural çöker.

• $2^{x+1} = 32 = 2^5 \Rightarrow x = 4$
• $3^{2x} = 81 = 3^4 \Rightarrow x = 2$
• $5^{2x} = 125 = 5^3 \Rightarrow x = \frac32$

Tabanlar farklı görünüyorsa ortak bir kök arayın. $8^{x} = 4^{x+1}$ denkleminde ikisi de 2'nin kuvveti: $2^{3x} = 2^{2x+2}$, $x = 2$. Sağlama: $8^2 = 64$ ve $4^3 = 64$.

Ortak Taban Yoksa Logaritma Alın

$2^{x} = 3^{x-1}$ denkleminde 2 ile 3'ün ortak bir kökü yok. İki tarafın logaritmasını alınca bilinmeyen üsten iner, çünkü $\log a^{x} = x \log a$:

$x \log 2 = (x - 1)\log 3 \Rightarrow x(\log 3 - \log 2) = \log 3 \Rightarrow x = \frac{\log 3}{\log 1{,}5} \approx \frac{0{,}477}{0{,}176} \approx 2{,}71$

Sağlama: $2^{2{,}71} \approx 6{,}5$ ve $3^{1{,}71} \approx 6{,}5$. Hesap makinesi yalnız $\log$ ve $\ln$ tuşu taşıdığı için taban değiştirme kuralı $\log_a b = \frac{\log b}{\log a}$ burada devreye girer. $\ln$'nin tabanı olan $e \approx 2{,}718$ ise sürekli büyüme ve azalma modellerinde kendiliğinden ortaya çıktığı için tercih edilir.

Logaritmik Denklem: Tanım Koşulu Önce Gelir

$\log_a b = c \Leftrightarrow a^{c} = b$ ve $b > 0$ şartı. İlk iş koşulu yazmak, sonra çözmek.

• $\log_2(x - 1) = 3$: koşul $x > 1$; $x - 1 = 8$, $x = 9$. Koşula uyuyor.
• $\log_2(x - 3) = 2$: koşul $x > 3$; $x = 7$. Burada doğrulama sonucu değiştirmiyor ama yapılmadan kök kabul edilmez.
• $\log_2 8 + \log_2 4 = \log_2 32 = 5$.

Taban da bilinmeyen olabilir. $\log_x 16 = 2$ ise $x^2 = 16$ ve $x = \pm 4$. Ama taban pozitif ve 1'den farklı olmalı; $x = -4$ elenir, çözüm yalnız $x = 4$.

Logaritmaya göre ikinci derece: $(\log_2 x)^2 - 3\log_2 x + 2 = 0$. $\log_2 x = t$ dersek $t^2 - 3t + 2 = 0$, $t = 1$ ya da $t = 2$. Buradan $x = 2$ ve $x = 4$; ikisi de pozitif, ikisi de çözüm. Burada $t$'nin negatif olmasına bir engel yoktur, çünkü logaritmanın değeri her gerçek sayı olabilir.

Eşitsizlik: Taban Yönü Belirler

• $2^{x} > 8 = 2^3 \Rightarrow x > 3$
• $\left(\frac12\right)^{x} > \frac18 = \left(\frac12\right)^3 \Rightarrow x < 3$ (taban 1'den küçük, yön döndü)

Bir kültürde 500 bakteri var ve sayı her saat ikiye katlanıyor. Ne zaman 64 000'i geçer? $500 \cdot 2^{t} > 64\,000 \Rightarrow 2^{t} > 128 = 2^7 \Rightarrow t > 7$ saat.

Logaritmik eşitsizlikte tanım koşulu çözüm kümesini keser:

$\log_{1/3}(x - 2) \ge -2$

Koşul $x > 2$. $-2 = \log_{1/3} 9$ olduğundan ve taban 1'den küçük olduğundan yön döner: $x - 2 \le 9$, $x \le 11$. Çözüm $2 < x \le 11$. Taban 2 olsaydı, örneğin $\log_2(x + 1) < 3$, yön korunurdu: $0 < x + 1 < 8$, yani $-1 < x < 7$.

Modeller: Artış, Azalma, Ölçek

$N(t) = N_0 \cdot a^{t}$ modelinde $a > 1$ büyüme (nüfus, bileşik faiz), $0 < a < 1$ azalma (radyoaktif bozunma, ilaç atılımı) demektir. Bileşik faizde birikmiş faiz de faiz getirdiği için her dönem aynı miktar değil, aynı oran eklenir; tekrarlı çarpım üstel büyümeyi doğurur.

Grafikte miktar 16, 8, 4, 2 diye her 4 birimde yarıya iniyorsa model $N(t) = 16 \cdot \left(\frac12\right)^{t/4}$'tür. Yarılanma süresi 4 yıl olan madde 12 yılda üç kez yarılanır; $\frac18$'i kalır.

Deprem büyüklüğü de logaritmik bir ölçektir: büyüklük 1 arttığında açığa çıkan enerji yaklaşık $10^{1{,}5} \approx 32$ katına çıkar. Desibel ölçeğinde olduğu gibi, çok geniş bir aralık birkaç birimlik sayılara sığar.

Sık Yapılan Hatalar ve AYT İpucu

Sık yapılan hata: Taban 1'den küçükken yönü korumak. $\left(\frac12\right)^{x} > \frac18$ için $x > 3$ yazan öğrenci $x = 4$'ü denesin: $\frac{1}{16} > \frac18$ yanlış.

Tanım koşulunu en sona bırakmak: $\log_{1/3}(x - 2) \ge -2$ çözümünde yalnız $x \le 11$ yazmak, $x = 0$ gibi logaritmayı tanımsız yapan değerleri de çözüme katar.

$\log_a x^{n}$ ile $(\log_a x)^{n}$ ifadesini karıştırmak: $\log_2 4^{3} = 6$, ama $(\log_2 4)^{3} = 8$.

Değişken tabanda negatif kökü kabul etmek: $\log_x 16 = 2$ denkleminde $x = -4$ cebirsel olarak tutuyor gibi görünür ama taban negatif olamaz.

AYT ipucu: Şıklarda hem $x > 3$ hem $x < 3$ varsa soru tabanın 1'den küçük olup olmadığını ölçüyordur. "Çözüm kümesi" isteyen logaritma sorusunda önce tanım aralığını yazın, şıkların yarısı orada elenir. Mini soru: $3^{x} < \frac{1}{27}$ eşitsizliğinin çözümü? $3^{x} < 3^{-3}$, taban 1'den büyük, $x < -3$.

Sık sorulanlar