12. Sınıf Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar — 12. Sınıf Konu Anlatımı — Konu Anlatımı

Bir Kâğıdı Kaç Kez Katlayabilirsiniz?

Bir A4 kâğıdının kalınlığı yaklaşık 0,1 mm. İkiye katladığınızda kalınlık 0,2 mm, bir daha katladığınızda 0,4 mm olur. Her katlamada kalınlık ikiyle çarpılıyor. $n$ katlamadan sonraki kalınlık:

$k(n) = 0{,}1 \cdot 2^{n}$ mm

7 katlamada $0{,}1 \cdot 128 = 12{,}8$ mm, yani bir defter kalınlığı. 10 katlamada $0{,}1 \cdot 1024 \approx 102$ mm. Şimdi soruyu tersine çevirelim: kalınlığın 1 metreyi (1000 mm) geçmesi için kaç katlama gerekir?

$0{,}1 \cdot 2^{n} = 1000 \Rightarrow 2^{n} = 10\,000$

2'yi hangi kuvvete yükseltince 10 000 olur? İşte bu sorunun cevabına logaritma diyoruz: $n = \log_2 10\,000 \approx 13{,}3$. Katlama sayısı tam sayı olduğundan 14 katlama gerekir. Kontrol: $2^{13} = 8192$ ile kalınlık 819,2 mm, $2^{14} = 16\,384$ ile 1638,4 mm.

Aynı durumda iki fonksiyon saklı: katlama sayısından kalınlığa giden üstel fonksiyon, kalınlıktan katlama sayısına geri dönen logaritmik fonksiyon. Mini soru: kâğıdı 42 kez katlayabilseydik kalınlık Ay'a ulaşır mıydı? Cevap aşağıda.

Üstel Fonksiyonun Kimlik Kartı

$f(x) = a^{x}$ biçimindeki fonksiyona üstel fonksiyon denir. Taban için iki şart var: $a > 0$ ve $a \neq 1$. Neden? $a = 1$ olsaydı $1^{x}$ her $x$ için 1 verir, fonksiyon sabit kalırdı. $a$ negatif olsaydı $(-4)^{1/2}$ gibi değerler gerçek sayı olmazdı.

Tablodan dört özellik okunuyor:

• Her üstel fonksiyon $(0, 1)$ noktasından geçer: $3^{0} = 1$, $7^{0} = 1$.
• Değer kümesi $(0, \infty)$: $x$ ne kadar küçülürse küçülsün $2^{x}$ sıfıra yaklaşır ama hiçbir zaman sıfır ya da negatif olmaz. $y = 0$ doğrusu grafiğin yatay asimptotudur.
• $a > 1$ ise fonksiyon artan, $0 < a < 1$ ise azalandır.
• $\left(\frac12\right)^{x} = 2^{-x}$ olduğundan iki grafik $y$ eksenine göre birbirinin simetriğidir.

Değer hesabı bu kadar kolay: $f(x) = 2^{x}$ için $f(5) = 32$, $f(x) = 3^{x}$ için $f(0) = 1$.

Logaritma: Üssü Soran Fonksiyon

$\log_a x = y \Leftrightarrow a^{y} = x$. Logaritma üssü bulur; bu yüzden üstel fonksiyonun tersidir. Ters fonksiyonların grafikleri $y = x$ doğrusuna göre simetrik olduğundan $y = \log_2 x$ grafiği $(1, 0)$ noktasından geçer ve $x = 0$ doğrusunu (yani $y$ eksenini) dikey asimptot olarak kullanır. Üstelde tanım kümesi $\mathbb{R}$, değer kümesi $(0,\infty)$ idi; logaritmada ikisi yer değiştirir.

Birkaç hızlı değer:

• $\log_2 8 = 3$, çünkü $2^{3} = 8$. Aynı mantıkla $\log_4 64 = 3$.
• $\log 10\,000 = 4$ (taban yazılmamışsa 10'dur).
• $\ln e^{5} = 5$ ($\ln$, tabanı $e \approx 2{,}718$ olan doğal logaritmadır).
• $\log_3 x = -2 \Rightarrow x = 3^{-2} = \frac19$.

Son örnek önemli: logaritmanın değeri negatif olabilir. Pozitif olmak zorunda olan, logaritmanın içindeki sayıdır.

Gerçek hayattan bir logaritma: kimyadaki pH değeri $\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$ ile tanımlanır. Limon suyunun pH'ı yaklaşık 2, saf suyunki 7. Fark 5 birim ama asitlik farkı $10^{5} = 100\,000$ kattır. Logaritmik ölçek, çok geniş bir aralığı küçük sayılarla anlatır.

Hesap Makinesi Yokken: Özelliklerle Tahmin

Özellikler çarpmayı toplamaya çevirir:

$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \qquad \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y \qquad \log_a x^{n} = n \log_a x$

$\log 2 \approx 0{,}30$ ve $\log 3 \approx 0{,}48$ biliniyorsa:

• $\log 6 = \log 2 + \log 3 \approx 0{,}78$
• $\log 5 = \log \frac{10}{2} = 1 - 0{,}30 = 0{,}70$
• $\log 2 + \log 5 = \log 10 = 1$ (tablo bile gerekmez)

$\log_2 5 \approx 2{,}32$ ise $\log_2 20 = \log_2 4 + \log_2 5 \approx 2 + 2{,}32 = 4{,}32$ olur. $\log_3 81 - \log_3 3 = 4 - 1 = 3$.

Daha zor bir örnek: $2^{30}$ kaç basamaklıdır? $\log 2^{30} = 30 \cdot 0{,}301 = 9{,}03$. Logaritması 9 ile 10 arasında olan sayı $10^{9}$ ile $10^{10}$ arasındadır, yani 10 basamaklıdır. Gerçekten $2^{30} = 1\,073\,741\,824$.

Taban değiştirme kuralı $\log_a b = \frac{\log b}{\log a}$ hesap makinesinin yalnız $\log$ ve $\ln$ tuşu olduğu durumda işe yarar: $\log_2 10\,000 = \frac{4}{0{,}301} \approx 13{,}3$. Katlama sorusundaki sayı buradan geliyor.

Ay sorusunun cevabı: $0{,}1 \cdot 2^{42}$ mm $\approx 4{,}4 \cdot 10^{11}$ mm $\approx 440\,000$ km. Ay ortalama 384 000 km uzakta; yani evet, geçerdi.

Karşılaştırma Sorularında Grafik Düşünmek

$a = 2^{1{,}5}$ ile $b = 2^{1{,}2}$ hangisi büyük? Taban 2, fonksiyon artan; büyük üs büyük değer verir, $a > b$. Taban $\frac13$ olsaydı sıra ters dönerdi: $\left(\frac13\right)^{1{,}5} < \left(\frac13\right)^{1{,}2}$.

Logaritmada da aynısı: $\log_2 5$ sayısı $\log_2 4 = 2$ ile $\log_2 8 = 3$ arasındadır. Taban 1'den küçükse logaritma azalandır: $\log_{1/2} 8 = -3$, $\log_{1/2} 2 = -1$.

Kaydırılmış grafik: $f(x) = 2^{x} - 3$ grafiği $2^{x}$ grafiğinin 3 birim aşağı kaymış hâlidir. Asimptotu $y = -3$ olur, $y$ eksenini $f(0) = 1 - 3 = -2$ noktasında keser. Mini soru: $g(x) = 3^{x-1} + 2$ fonksiyonunun yatay asimptotu hangi doğrudur?

Öğrencilerin Takıldığı Dört Yer

Sık yapılan hata 1: $\log(x + y) = \log x + \log y$ sanmak. Deneyin: $\log(2 + 8) = \log 10 = 1$, oysa $\log 2 + \log 8 = \log 16 \approx 1{,}20$. Toplama kuralı çarpımın logaritması içindir.

Hata 2: $2^{-3}$ ifadesini negatif sanmak. Eksi üs "ters çevir" demektir: $2^{-3} = \frac18$, pozitif.

Hata 3: $\log_3 \frac19 = -2$ sonucunu görüp "logaritma negatif olamaz, tanımsız" demek. Negatif olamayan şey içerideki sayıdır, sonuç değil.

Hata 4: Üstel grafiğin $(0,1)$ noktasından, logaritmik grafiğin $(1,0)$ noktasından geçtiğini karıştırmak. Hatırlatma yolu: $a^{0} = 1$ ve $\log_a 1 = 0$.

Modeller ve Sınav İpucu

Her saat ikiye katlanan 100 bakteri: $N(t) = 100 \cdot 2^{t}$, 5 saat sonra $100 \cdot 32 = 3200$. Yıllık %20 bileşik faizle 1000 TL: $A = 1000 \cdot 1{,}2^{t}$, 2 yıl sonra $1000 \cdot 1{,}44 = 1440$ TL. Yarılanma ömrü 8 gün olan 80 g madde: 24 gün üç yarılanma demektir, $80 \cdot \frac18 = 10$ g kalır.

AYT ipucu: Grafiği verilen $f(x) = a^{x} + b$ sorusunda önce asimptotu okuyun; asimptot $y = b$'yi hemen verir. Sonra grafiğin geçtiği bir noktayı yerine koyup $a$'yı bulun. Mini sorunun cevabı da buradan: $g(x) = 3^{x-1} + 2$ için asimptot $y = 2$.

Sık sorulanlar