Grafikler Yalan Söyleyebilir mi?
İki market aynı veriyi yayınlıyor: "Fiyatlarımız 100 TL'den 102 TL'ye çıktı."
Birinci market grafiğin dikey eksenini 0'dan başlatıyor: sütunlar neredeyse aynı yükseklikte görünüyor, artış göze çarpmıyor. İkinci market ekseni 99'dan başlatıyor: ikinci sütun birincinin üç katı yükseklikte görünüyor, sanki fiyat katlanmış.
Veri aynı, grafik farklı, izlenim tamamen zıt. Bu yüzden bir grafiği okurken ilk bakacağınız yer sütunlar değil, eksenin nereden başladığıdır.
Bu konu "hangi formül" konusu değil; "bu sayı bana ne söylüyor, neyi söylemiyor" konusudur.
İki Tür Veri, Farklı Grafikler
Kategorik veri sayılamaz, gruplanır: göz rengi, tutulan takım, favori ders. Nicel veri ölçülür veya sayılır: boy, sınav puanı, kardeş sayısı.
Hangi grafik nerede kullanılır?
- Sütun grafiği: kategorileri karşılaştırmak için. "Hangi ders daha çok seviliyor?"
- Daire grafiği: bütün içindeki payları göstermek için. Yüzdeler toplamı 100 olmalıdır.
- Çizgi grafiği: zamanla değişimi göstermek için. "Sıcaklık gün içinde nasıl değişti?"
Tutulan takım verisi çizgi grafiğiyle gösterilemez — takımlar arasında bir "zaman sırası" yoktur. Grafik seçimi süs değil, verinin türüne bağlı bir karardır.
Ortalama Her Zaman Doğruyu Söylemez
Bir iş yerinde 5 kişi çalışıyor. Maaşlar (bin TL): 20, 22, 24, 25, 129.
Aritmetik ortalama: $\frac{20+22+24+25+129}{5} = 44$ bin TL.
Ama beş kişiden dördü 25 binin altında kazanıyor. Ortalama burada kimseyi temsil etmiyor, çünkü tek bir uç değer (129) onu yukarı çekti.
Ortanca (medyan): sayılar sıralanır, ortadaki alınır → 24 bin TL. Bu sayı grubu çok daha dürüst anlatıyor.
Tepe değer (mod): en çok tekrar eden veridir. Burada yok; her maaş bir kez geçiyor.
Tekrar hatırlayalım: uç değer varsa ortanca daha güvenilirdir. Sınavda "hangisi veriyi daha iyi temsil eder?" diye sorulduğunda bakacağınız şey, listede aşırı büyük/küçük bir sayı olup olmadığıdır.
Küçük bir soru: 3, 5, 5, 7, 9, 11 verisinin ortancası kaçtır?
Cevap: Çift sayıda veri var; ortadaki ikisinin ortalaması alınır: $\frac{5+7}{2} = 6$.
Olasılık ve Tümleyen
Bir olayın olasılığı:
$P(\text{olay}) = \frac{\text{istenen durum sayısı}}{\text{tüm durum sayısı}}$
Bir torbada 4 kırmızı, 6 mavi bilye var. Kırmızı çekme olasılığı $\frac{4}{10} = 0,4$.
Bir olayın tümleyeni, o olayın gerçekleşmemesidir ve ikisinin olasılıkları toplamı daima 1'dir:
$P(\text{kırmızı değil}) = 1 - 0,4 = 0,6$
Bu kısa yol çok işe yarar. "En az bir tane" ifadesini gördüğünüzde doğrudan hesaplamak uzun sürer; "hiç yok" durumunu hesaplayıp 1'den çıkarmak genellikle tek satırda bitirir.
Olasılık her zaman 0 ile 1 arasındadır. 0 imkânsız olayı, 1 kesin olayı gösterir. Bir zarda 7 gelme olasılığı 0, 7'den küçük gelme olasılığı 1'dir.
Daha Zor Bir Örnek: Ortalamayı Geriye Doğru Kullanmak
Ortalama bulmak kolaydır; sınav genelde tersini sorar.
"Bir öğrencinin 4 sınav ortalaması 78'dir. Beşinci sınavdan kaç alırsa ortalaması 80 olur?"
Ortalamayı doğrudan kullanmak yerine toplam üzerinden gidin:
- Dört sınavın toplamı: $78 \cdot 4 = 312$
- Beş sınavda 80 ortalama için gereken toplam: $80 \cdot 5 = 400$
- Aradaki fark beşinci sınav notudur: $400 - 312 = 88$
"Ortalama 2 puan artacaksa 2 puan fazla alsın" diye düşünmek burada işe yaramaz; artış beş sınava birden dağılacağı için gereken not çok daha yüksektir.
Sınır durum — ortalama veri kümesinde olmayabilir. 3 ve 4'ün ortalaması 3,5'tir; oysa listede 3,5 diye bir veri yok. Aynı şekilde "sınıfın ortalama kardeş sayısı 2,3" cümlesi anlamlıdır — kimsenin 2,3 kardeşi olmasa bile. Ortalama bir veriyi değil, kümenin dengesini gösterir.
Şimdi siz deneyin: 5 sayının ortalaması 12 ise, bu sayılara 18 eklenirse yeni ortalama kaç olur?
Cevap: Toplam $12 \cdot 5 = 60$, yeni toplam $78$, altı sayı var: $78 : 6 = 13$.
Sık Yapılan Hatalar ve Sınav İpucu
Sık yapılan hata 1: Ortanca bulunurken verilerin sıralanmaması. Sıralamadan ortadakini almak, çoğu zaman yanlış sayıyı verir.
Sık yapılan hata 2: Çift sayıda veride tek bir ortanca aranması. Ortadaki iki değerin ortalaması alınır.
Sık yapılan hata 3: Olasılığın 1'den büyük yazılması. Pay paydadan büyük çıktıysa istenen durumları yanlış saymışsınızdır.
Sınav ipucu: Daire grafiği sorularında dilimin merkez açısı ile yüzdesi arasındaki köprü şudur: %100 ↔ 360°. Yani %25 ↔ 90°, %10 ↔ 36°. Bu tek satır, grafikli soruların çoğunu açar.
Özet: Grafiğin ekseni nereden başlıyor, ona bakın. Uç değer varsa ortanca daha dürüsttür. Tümleyen olasılığı 1'den çıkarma kısayolunu kullanın.
Sık sorulanlar
Ortalama mı ortanca mı daha güvenilir?
Veride aşırı büyük veya küçük bir uç değer varsa ortanca daha güvenilirdir; ortalamayı tek bir uç değer kolayca yanıltır.
Bir olayın tümleyeninin olasılığı nasıl bulunur?
1'den olayın olasılığı çıkarılır. Kırmızı çekme olasılığı 0,4 ise kırmızı çekmeme olasılığı 0,6'dır.
Daire grafiğinde yüzde ile açı nasıl ilişkilidir?
%100 tam daireye, yani 360°'ye karşılık gelir. Buradan %25 ↔ 90°, %10 ↔ 36° çıkar.