9. Sınıf Sayma ve Olasılık — Konu Anlatımı

Raptiye Hangi Yüzüne Düşer?

Bir raptiyeyi masaya attığınızda ya sivri ucu yukarı bakar ya da yan yatar. İki sonuç var; öyleyse ucun yukarı gelme olasılığı $\frac{1}{2}$ mi? Hayır. Raptiyenin şekli iki sonucu eşit şanslı yapmıyor, bu yüzden hesapla bulamayız. Tek yol denemek.

200 atışta sivri uç 124 kez yukarı gelmiş olsun. Deneysel olasılık:

$\dfrac{124}{200} = 0{,}62$

Bu sayı bir tahmindir; 200 atış daha yapsak 0,62'ye yakın ama farklı bir oran çıkabilir. Deneme sayısı arttıkça tahmin sağlamlaşır.

Bunu parayla gözleyebiliriz. Bir sınıf para attı ve tura oranını not etti:

Deneme sayısı büyüdükçe deneysel oran, hesapla bulunan teorik olasılığa ($\frac{1}{2}$) yaklaşıyor. 20 atışta 12 tura gelmesi paranın hileli olduğunu göstermez; az denemede sapma olağandır.

Örnek Uzayı Saymak

Teorik olasılık için önce bütün olası sonuçları, yani örnek uzayı bilmemiz gerekir. Liste uzunsa çarpma yoluyla sayma kullanılır: art arda yapılan seçimlerin sayıları çarpılır.

• Bir para: 2 sonuç · bir zar: 6 sonuç
• Bir para ve bir zar birlikte: $2 \cdot 6 = 12$ sonuç (Y1, Y2, …, T6)
• İki zar: $6 \cdot 6 = 36$ sonuç
• Bir para üç kez: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ sonuç

Seçenekler "ya o ya bu" biçimindeyse toplanır (toplama yoluyla sayma): 3 roman ve 4 hikâye kitabından bir kitap seçilecekse $3 + 4 = 7$ seçenek vardır. Bir roman ve bir hikâye seçilecekse $3 \cdot 4 = 12$.

Oranı Kurmadan Önce: Sonuçlar Eşit Şanslı mı?

Sonuçlar eşit olasılıklıysa bir $A$ olayının olasılığı

$P(A) = \dfrac{s(A)}{s(E)}$

ile bulunur. Zarda çift gelmesi: $\{2, 4, 6\}$, yani $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. Bir torbada 5 kırmızı, 3 mavi ve 2 sarı top varsa mavi çekme olasılığı $\dfrac{3}{10}$.

İki zarın toplamının 7 olması: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Altı durum, $\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$. (3,4) ile (4,3)'ün ayrı sayıldığına dikkat edin; iki zar birbirinden ayırt edilebilir.

Sık yapılan hata: Dilimleri farklı büyüklükte olan altı dilimli bir çarkta her dilime $\frac{1}{6}$ vermek. Formül yalnız eşit şanslı sonuçlarda geçerlidir; çarkta olasılık dilimin alanına (ya da merkez açısına) göre bulunur. $120^\circ$'lik bir dilimin olasılığı $\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$'tür. Raptiyeyi hesapla çözemememizin sebebi de buydu.

Sıra Önemli mi? Permütasyon ve Kombinasyon

Zarlarda sıra kendiliğinden belliydi: birinci zar, ikinci zar. Torbadan aynı anda iki top çektiğimizde ise öyle bir sıra yok. Saymaya başlamadan önce sorulacak soru şu: seçilenlerin yeri değişince yeni bir sonuç oluşuyor mu?

Sıra önemliyse (permütasyon). 5 farklı kitaptan 3'ü rafa yan yana dizilecek. Birinci yere 5, ikinciye kalan 4, üçüncüye 3 kitap: $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ diziliş. Genel adı permütasyon: $P(n, r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}$, burada $P(5, 3) = \dfrac{120}{2} = 60$. ($n!$, 1'den $n$'ye kadar sayıların çarpımıdır; $0! = 1$ kabul edilir.) Tekrara izin varsa çarpanlar küçülmez: 0-9 rakamlarıyla 3 haneli bir kilit $10^3 = 1000$ şifre alır, rakamlar farklı olmalıysa $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$.

Sıra önemsizse (kombinasyon). Aynı 5 kitaptan 3'ü çantaya konacak. Çantada {A, B, C} ile {C, A, B} aynı seçimdir. Rafta her 3'lü grup $3! = 6$ kez sayılmıştı, o yüzden bölüyoruz: $C(5, 3) = \dfrac{60}{6} = 10$. Genel hâli $C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$.

Torbaya dönelim: 10 toptan (5 kırmızı, 3 mavi, 2 sarı) aynı anda 2 top çekiliyor; ikisinin de mavi olma olasılığı? Örnek uzay $C(10, 2) = \dfrac{10 \cdot 9}{2} = 45$, iki mavinin seçilişi $C(3, 2) = 3$, olasılık $\dfrac{3}{45} = \dfrac{1}{15}$. Sıralı sayarak da aynı sonuç çıkar: $\dfrac{3 \cdot 2}{10 \cdot 9} = \dfrac{6}{90} = \dfrac{1}{15}$.

Sık yapılan hata: Payı sırasız (3), paydayı sıralı (90) sayıp $\frac{1}{30}$ bulmak. Hangi yolu seçerseniz seçin, pay ile paydayı aynı yöntemle sayın. İki zarda (3,4) ile (4,3)'ü ayrı saymamız da bu kuraldandı: 36'lık örnek uzay sıralıydı.

Sıfır, Bir ve "En Az Bir"

Her olasılık 0 ile 1 arasındadır. Zarda 9 gelmesi imkânsızdır: $P = 0$. Zarda 7'den küçük bir sayı gelmesi kesindir: $P = 1$. $P = 0{,}5$ ise olayın gerçekleşmesi ile gerçekleşmemesi eşit olasılıklıdır.

Bir olayın gerçekleşmemesi tümleyen olaydır: $P(A') = 1 - P(A)$. $P(A) = 0{,}35$ ise $P(A') = 0{,}65$.

Tümleyen en çok "en az bir" sorularında işe yarar. Bir para üç kez atılıyor; en az bir tura gelme olasılığı kaçtır? En az bir tura; bir, iki ya da üç tura demektir, üç ayrı durumu saymak gerekir. Tersine bakmak daha kısa: "en az bir tura"nın tümleyeni "hiç tura yok", yani YYY. Tek bir sonuç: $\frac{1}{8}$. Buradan

$P(\text{en az bir tura}) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$

Toplamadan Önce Ortak Sonuç Var mı?

Aynı anda gerçekleşemeyen olaylara ayrık denir. Zarda 3 gelmesi ile 5 gelmesi ayrıktır. Ayrık olaylarda "ya o ya bu" olasılığı toplamdır: $P(A) = 0{,}4$, $P(B) = 0{,}3$ ve ayrıklarsa $P(A \cup B) = 0{,}7$.

Ayrık değilse? Zarda "çift gelmesi" $\{2, 4, 6\}$ ile "4'ten büyük gelmesi" $\{5, 6\}$ olaylarında 6 ortaktır. Toplarsanız $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ bulursunuz ama bu yanlış; 6 iki kez sayıldı. Doğrusu birleşimi yazmak: $\{2, 4, 5, 6\}$, olasılık $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Kümeler konusundaki "iki kez saydıysan bir kez çıkar" kuralı burada da geçerli.

Son bir yanılgı, adı bile konmuş: kumarbaz yanılgısı. Üst üste dört kez tura gelen bir parada "beşincide kesin yazı gelir" demek yanlıştır. Paranın hafızası yoktur; her atış bağımsızdır ve beşinci atışta da yazı olasılığı $\frac{1}{2}$'dir. İki atışta da tura gelmesi ise $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$'tür.

Sınav ipucu: Kökte "en az bir" görürseniz tümleyene bakın. "ya da / veya" görürseniz önce ortak sonuç olup olmadığını kontrol edin. Tabloda deneme sonuçları verilmişse sorulan deneysel olasılıktır; oranı tablodaki sayılarla kurun, $\frac{1}{2}$ gibi teorik değerle değil.

Sık sorulanlar