10. Sınıf Koşullu Olasılık ve Olay Türleri — Konu Anlatımı

Servis Yağmurda Neden Daha Çok Gecikiyor?

Bir öğrenci okul servisini 40 gün boyunca not etmiş:

Rastgele bir günde servisin geç kalma olasılığı $\dfrac{12}{40} = 0{,}3$. Peki sabah pencereden bakıp yağmur yağdığını gördünüz. Olasılık hâlâ 0,3 mü?

Hayır. Artık 40 günün hepsine değil, yalnız yağmurlu 10 güne bakmanız gerekir. Bu 10 günün 6'sında servis gecikmiş:

$P(\text{geç} \mid \text{yağmur}) = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$

Yağmursuz günlerde ise $\dfrac{6}{30} = 0{,}2$. Aynı servis, aynı yol; ama "yağmur yağıyor" bilgisi olasılığı iki katına çıkardı. Koşullu olasılık tam olarak budur: yeni bir bilgi gelince hesabı güncellemek.

Koşul Örnek Uzayı Küçültür

$B$ olayının gerçekleştiği biliniyorsa $A$'nın olasılığı:

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Servis tablosunda $P(\text{yağmur} \cap \text{geç}) = \dfrac{6}{40}$ ve $P(\text{yağmur}) = \dfrac{10}{40}$; oran yine $\dfrac{6}{10}$. Formül, tabloda yaptığımız "yalnız yağmurlu satıra bak" işinin kısaltmasıdır.

Bir zar atıldı ve sonucun çift olduğu söylendi. Sonucun 4'ten büyük olma olasılığı nedir? Örnek uzay $\{1, \dots, 6\}$ değil, artık $\{2, 4, 6\}$. Bunların içinde 4'ten büyük olan yalnız 6: $\dfrac{1}{3}$. İlginç olan şu: koşul olmasaydı da $\{5, 6\}$ için $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ bulurduk. Koşul örnek uzayı değiştirdi ama olasılığı değiştirmedi; birazdan bunun adının "bağımsızlık" olduğunu göreceğiz.

Sayılarla: $P(A \cap B) = 0{,}12$ ve $P(B) = 0{,}4$ ise $P(A \mid B) = 0{,}3$. Aynı koşul altında $A$'nın gerçekleşmeme olasılığı $1 - P(A \mid B)$'dir; $P(A \mid B) = 0{,}7$ ise $0{,}3$.

Hatalı Ürün Hangi Makineden Geldi?

Formülü çevirince çarpma kuralı çıkar: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$. $P(A) = 0{,}6$ ve $P(B \mid A) = 0{,}5$ ise ikisinin birlikte olma olasılığı $0{,}3$'tür.

Bir fabrikada üretimin %60'ını I. makine, %40'ını II. makine yapıyor. I. makinenin hata oranı %2, II. makineninki %5. Ağacı dallara ayırın:

• I. makine ve hatalı: $0{,}6 \cdot 0{,}02 = 0{,}012$
• II. makine ve hatalı: $0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}020$

Rastgele bir ürünün hatalı olma olasılığı $0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032$.

Şimdi ters soru: elinizdeki ürün hatalı. I. makineden gelmiş olma olasılığı nedir? Koşul "hatalı" olduğu için payda $0{,}032$ olur:

$P(\text{I} \mid \text{hatalı}) = \dfrac{0{,}012}{0{,}032} = 0{,}375$

I. makine üretimin çoğunu yapıyor, ama hatalı ürünlerin yalnız %37,5'i ondan geliyor.

Sık yapılan hata: $P(A \mid B)$ ile $P(B \mid A)$ aynı sanılıyor. $P(\text{hatalı} \mid \text{I}) = 0{,}02$ iken $P(\text{I} \mid \text{hatalı}) = 0{,}375$. Servis tablosunda da $P(\text{geç} \mid \text{yağmur}) = 0{,}6$ ama $P(\text{yağmur} \mid \text{geç}) = \dfrac{6}{12} = 0{,}5$. Dikey çizginin sağı "bildiğimiz", solu "sorduğumuz"dur.

Top Geri Konursa Ne Değişir?

Torbada 3 kırmızı, 2 mavi top var; art arda iki top çekiliyor. İkisinin de kırmızı olma olasılığı nedir?

• İadeli: Çekilen top geri konur, torba hep aynıdır. $\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}$. İki çekiliş bağımsızdır.
• İadesiz: İlk kırmızı çıkınca torbada 2 kırmızı, toplam 4 top kalır. $\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$. İkinci çekiliş birincinin sonucuna bağlıdır.

İadesiz çekilişte ikinci kesrin hem payı hem paydası değişir. Paydayı 5 bırakan öğrenci $\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5}$ yazar ve yanlış sonuca varır.

Bağımsız ile Ayrık Aynı Şey Değil

$P(A \mid B) = P(A)$ ise $B$'yi bilmek $A$ hakkında hiçbir şey değiştirmez; olaylar bağımsızdır. Bu durumda $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$: $P(A) = 0{,}5$ ve $P(B) = 0{,}4$ ise birlikte gerçekleşme olasılığı $0{,}2$. Her biri 0,5 olasılıklı üç bağımsız olayın hepsinin gerçekleşmesi $0{,}5^3 = 0{,}125$'tir. Servis örneğinde gecikme yağmura bağımlıydı, çünkü $0{,}6 \neq 0{,}3$.

Ayrık olaylar ise aynı anda gerçekleşemez. Tek zar atışında "1 gelir" ile "6 gelir" ayrıktır: $P(A \cap B) = 0$. Bu olaylar bağımsız mı? $P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{36}$ ama $P(A \cap B) = 0$; eşit değiller. 1 geldiğini bilmek, 6 gelme olasılığını $\dfrac{1}{6}$'dan 0'a indirir. Ayrık olaylar (olasılıkları sıfırdan büyükse) birbirine en çok bağlı olaylardır.

Birleşim için $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ kullanılır. $P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}45$, $P(A \cap B) = 0{,}1$ ise $P(A \cup B) = 0{,}65$. Kesişim çıkarılmazsa ortak kısım iki kez sayılır.

"En Az Bir" İçin Tersinden Gitmek

Bir para üç kez atılıyor; en az bir yazı gelme olasılığı nedir? "En az bir yazı" olmayan tek durum üçünün de tura gelmesidir: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$. İstenen $1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$.

Olasılık deneyle de tahmin edilir. 300 denemenin 180'i başarılıysa başarı olasılığının deneysel tahmini $\dfrac{180}{300} = 0{,}6$'dır. Deneme sayısı arttıkça tahmin gerçek değere yaklaşır; servis tablosu da 40 değil 400 günlük olsaydı 0,6'ya daha çok güvenirdik.

Sınav ipucu: Soru metninde "olduğu bilindiğine göre", "... ise" ya da "seçilenin kız olduğu biliniyor" gibi bir ifade varsa payda tüm küme değil, o bilgiyi sağlayan kümedir. İki yönlü tabloda bu, yalnız ilgili satıra ya da sütuna bakmak demektir: gözlük tablosunda 40 kızın 12'si gözlüklüyse $P(\text{gözlük} \mid \text{kız}) = 0{,}3$.

Sık sorulanlar