11. Sınıf Düzgün Çembersel Hareket — Konu Anlatımı

Sıkma Programında Tambur

Çamaşır makinesinin tamburu sıkma programında dakikada 1200 tur atıyor. Yarıçapı 25 cm. Çamaşırdaki su neden deliklerden dışarı çıkıyor da çamaşır içeride kalıyor?

Önce sayıları çıkaralım:

• Frekans (saniyedeki tur sayısı): $f = 1200/60 = 20$ Hz.
• Periyot (bir turun süresi): $T = 1/f = 0{,}05$ s.
• Açısal hız: $\omega = 2\pi f = 40\pi \approx 126$ rad/s.
• Çizgisel hız: $v = \omega r \approx 126 \cdot 0{,}25 \approx 31$ m/s.
• Merkezcil ivme: $a = \omega^2 r \approx 126^2 \cdot 0{,}25 \approx 3{,}9 \times 10^3$ m/s².

Bu ivme $g$'nin yaklaşık 400 katı. Çamaşırı bu ivmeyle çembersel yolda tutan kuvveti tamburun duvarı sağlar. Su damlası ise deliğin üstüne geldiği anda duvardan destek alamaz; onu çembersel yolda tutacak bir şey kalmaz ve o andaki hızının doğrultusunda, yani teğet boyunca delikten çıkar.

Hız Teğet, İvme Merkeze

Düzgün çembersel harekette cisim eşit zamanlarda eşit yaylar tarar; hızın büyüklüğü sabittir. Ama hız bir vektördür ve yönü her an değişir. Vektör değişiyorsa ivme vardır.

• Hız her an çembere teğettir.
• İvme her an merkeze doğrudur: $a = \dfrac{v^2}{r} = \omega^2 r$.
• Bu ivmeyi doğuran net kuvvet $F = m\dfrac{v^2}{r}$'dir ve yönü ivmeyle aynıdır.

İvme hızın karesiyle artar. Grafikte de öyle: ivme-hız eğrisi doğru değil, yukarı kıvrılan bir paraboldür: hız 2 katına çıkınca ivme 4, 3 katına çıkınca 9 katına çıkar. Yarıçap sabitken ivme-$v^2$ grafiği ise doğrudur ve eğimi $1/r$'dir.

Bisiklet Dişlileri: Hangi Hız Eşit?

Sınavların en sevdiği karışıklık burada. İki kural var:

• Aynı mile bağlı (ya da aynı katı cismin üstündeki) noktalarda açısal hız eşittir. Merkezden uzak nokta daha büyük çizgisel hızla döner; ekvatordaki bir şehrin kutba yakın bir şehirden hızlı dönmesi bundandır.
• Zincir ya da kayışla bağlı dişlilerde, ya da birbirine değerek dönen tekerlerde, çizgisel hız eşittir.

Örnek: Pedal dişlisi 48, arka dişli 16 dişli. İki dişliyi zincir aynı çizgisel hızla sürer; küçük dişli 3 kat hızlı döner. Pedalı saniyede 1 tur çevirirseniz arka dişli, onunla aynı mildeki arka tekerlek de saniyede 3 tur atar. Tekerlek yarıçapı 0,35 m ise $v = 2\pi \cdot 0{,}35 \cdot 3 \approx 6{,}6$ m/s, yaklaşık 24 km/h.

Daha Zor Örnek: Virajı Kaç km/h ile Alabilirsin?

Yatay bir virajda aracı çembersel yolda tutan kuvvet lastik ile yol arasındaki sürtünmedir. Sürtünmenin sınırı $k m g$ olduğuna göre:

$\dfrac{m v^2}{r} \le k m g \quad\Rightarrow\quad v_{max} = \sqrt{k g r}$

Yarıçapı 50 m olan virajda kuru asfalt ($k = 0{,}8$) için $v_{max} = \sqrt{0{,}8 \cdot 10 \cdot 50} = 20$ m/s, yani 72 km/h. Yağmurda $k = 0{,}4$ olursa $\sqrt{200} \approx 14$ m/s, yaklaşık 51 km/h. Kütle yine sadeleşti; kamyon ve otomobil için sınır aynı. Sürtünme katsayısı yarıya inince hız sınırı yarıya değil, $\sqrt{2}$'ye bölünür.

Düşey Çember: Kovadaki Su Neden Dökülmüyor?

İçinde su olan bir kovayı kolunuzla düşey bir çemberde hızla çevirirseniz kova tepedeyken ağzı yere baktığı hâlde su dökülmez. Neden?

Kovanın dönme yarıçapı 1 m, içindeki su 0,5 kg ve tepedeki hız 4 m/s olsun. Suyu bu çemberde tutmak için gereken merkezcil kuvvet $m v^2 / r = 0{,}5 \cdot 16 / 1 = 8$ N. Tepede merkez aşağıdadır; ağırlık ($5$ N) zaten merkeze doğru bakar ve bu 8 N'un bir kısmını karşılar. Kalan $8 - 5 = 3$ N'u kovanın tabanı suya aşağı doğru bastırarak sağlar. Böylece su tabana yaslanmış durur.

Hız düşürülürse gereken kuvvet küçülür. Tam $mg = m v^2 / r$ olduğunda tabana hiç iş kalmaz; bu en küçük hızdır: $v_{min} = \sqrt{g r} = \sqrt{10} \approx 3{,}2$ m/s. Daha yavaş çevirirseniz ağırlık, çember için gerekenden fazla gelir ve su kovadan ayrılıp düşer.

En altta durum tersine döner: merkez yukarıdadır, taban suyu yukarı iter ve $N - mg = 8$ N olur, yani $N = 13$ N. Kovanın dibindeki su kendini ağırlığından daha ağır hisseder. Lunaparktaki dönme dolaplarda en altta koltuğa gömülme, en üstte hafifleme hissi aynı hesaptan gelir.

Merkezcil Kuvvet Bir Görevin Adıdır

Doğada "merkezcil kuvvet" diye ayrı bir kuvvet türü yoktur. Merkeze doğru hangi kuvvet etkiyorsa o, bu görevi üstlenir: ipteki taşta ip gerilmesi, virajdaki araçta sürtünme, tamburdaki çamaşırda duvarın tepkisi, Dünya çevresindeki uyduda kütle çekimi.

Kuvvet ortadan kalkarsa cisim çemberde kalamaz ve teğet boyunca gider. İp kopunca taş merkezden dışarı doğru fırlamaz.

Yanılgılar

1. "Sürat sabitse ivme yoktur." Sabit olan hızın büyüklüğüdür; yön değiştiği için ivme vardır.

2. Su damlasının "merkezkaç kuvvetiyle" dışarı itildiğini sanmak. Damlayı dışarı iten bir kuvvet yoktur; onu içeri çeken kuvvet eksik kalmıştır.

3. Zincirli dişlilerde açısal hızı eşit sanmak. Bağlantı zincirse çizgisel hız, ortak milse açısal hız eşittir.

4. Merkezcil ivmeyi kütleye bağlamak. $a = v^2/r$ içinde kütle yok; kütle yalnız gereken kuvveti değiştirir.

Soru: Tamburun dönme sayısı 1200'den 600 tur/dakikaya inerse merkezcil ivme ne olur? $\omega$ yarıya iner, $a = \omega^2 r$ dörtte birine iner: yaklaşık $990$ m/s².

Sık sorulanlar