10. Sınıf Vektörler, Bağıl Hareket ve Momentum — Konu Anlatımı

Havalimanındaki Yürüyen Bant

Havalimanında 60 m uzunluğundaki yürüyen bant yere göre 1 m/s ile ilerliyor. Bir yolcu bandın üstünde, banda göre 1,5 m/s ile aynı yönde yürüyor. Kenarda duran birine göre yolcu $1 + 1{,}5 = 2{,}5$ m/s ile gider ve bandı $60 / 2{,}5 = 24$ saniyede bitirir.

Bandın başında bir çocuk ise ters yöne, banda göre yine 1,5 m/s ile koşuyor. Yere göre hızı $1{,}5 - 1 = 0{,}5$ m/s olur; 60 m'yi 120 saniyede alır. Aynı çocuk banda göre 1 m/s ile koşsaydı yere göre hiç ilerlemezdi.

Hız her zaman bir gözlemciye göre söylenir. A'nın B'ye göre hızı:

$\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$

Yani B'deki gözlemci kendi hızını A'nınkinden vektörel olarak çıkarır. Aynı yönde giden iki araçta bağıl hızın büyüklüğü farka, zıt yönde gidenlerde toplama eşittir.

Takip Problemi: Bağıl Hızla Kısa Yol

Aynı şeritte öndeki kamyon 20 m/s, arkadaki otomobil 26 m/s ile gidiyor; aralarında 120 m var. Otomobil kamyona kaç saniyede yetişir?

Uzun yol: iki aracın konum denklemini yazıp eşitlemek. Kısa yol: kamyonun sürücüsünün gözünden bakmak. Ona göre otomobil $26 - 20 = 6$ m/s ile yaklaşıyor ve 120 m'yi kapatacak:

$t = \dfrac{120}{6} = 20\ \text{s}$

Araçlar birbirine doğru gelseydi bağıl hız $26 + 20 = 46$ m/s olurdu ve aynı mesafe yaklaşık 2,6 saniyede kapanırdı. Kafa kafaya çarpışmaların bu kadar ani olmasının nedeni budur.

Bileşenlere Ayırmak ve Nehirde Karşıya Geçmek

Bir vektörü birbirine dik iki bileşene ayırmak çoğu hesabı kolaylaştırır. Kızağı yatayla 37° açı yapan iple 50 N kuvvetle çekiyorsunuz ($\sin 37^\circ \approx 0{,}6$, $\cos 37^\circ \approx 0{,}8$):

$F_x = 50 \cdot 0{,}8 = 40\ \text{N}$ (kızağı ilerleten) · $F_y = 50 \cdot 0{,}6 = 30\ \text{N}$ (kızağı hafifçe kaldıran)

Çözümlü örnek: Genişliği 120 m olan nehirde akıntı 3 m/s. Kayıkçı burnu karşı kıyıya dik tutuyor ve suya göre 4 m/s ile kürek çekiyor.

• Karşıya geçiş süresi yalnız dik bileşenden gelir: $t = 120 / 4 = 30$ s.
• Bu sürede akıntı kayığı $3 \cdot 30 = 90$ m aşağı sürükler.
• Kıyıdaki birine göre hızı: $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ m/s.

Akıntı hızlansaydı süre değişmezdi, yalnız sürüklenme artardı. Dik bileşenler birbirini etkilemez; bu fikir yatay atışta da aynen işler.

Buz Pistinde İtişen İki Kişi: Momentum

60 kg'lık bir adam ile 40 kg'lık bir çocuk buz pistinde durgun hâlde karşı karşıya duruyor ve birbirini itiyor. Çocuk 3 m/s ile geri kayıyor. Adam ne olur?

Momentum $\vec{p} = m \vec{v}$, birimi kg·m/s ve vektöreldir. Dış kuvvetlerin toplamı sıfırsa sistemin toplam momentumu korunur. Başta toplam sıfır, sonda da sıfır olmalı:

$60 \cdot v = 40 \cdot 3 \Rightarrow v = 2\ \text{m/s}$ (ters yönde)

Hafif olan daha hızlı kayar; momentumların büyüklüğü eşit, yönleri zıttır.

Daha zor örnek: 1000 kg'lık otomobil 20 m/s ile, duran 1500 kg'lık bir araca arkadan çarpıyor ve ikisi kenetlenip birlikte gidiyor.

$1000 \cdot 20 = 2500 \cdot v \Rightarrow v = 8\ \text{m/s}$

Kinetik enerji önce $\frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 20^2 = 200\,000$ J, sonra $\frac{1}{2} \cdot 2500 \cdot 8^2 = 80\,000$ J. 120 000 J ezilen sac, ısı ve sese gitti. Momentum korundu, kinetik enerji korunmadı.

Momentum değişimi $F \cdot \Delta t$ ile de yazılır (itme). Hava yastığı durma süresini uzatarak aynı momentum değişimini daha küçük kuvvetle gerçekleştirir.

Testle Bağlantı: İvme ve Hız-Zaman Grafiği

Bu konunun testi vektörden çok hareketin kendisini sorar: sürat, ivme ve grafikler. Bağıl hareketteki hızlar da bu grafiklerden okunur.

• İvme: $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$. Durgun hâlden 8 s'de 24 m/s'ye çıkan araç: $a = 24 / 8 = 3$ m/s².
• Durgun hâlden sabit ivmeyle yol: $x = \frac{1}{2} a t^2$. 4 m/s² ile 5 s: $x = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 25 = 50$ m.
• Hız-zaman grafiğinin altındaki alan yoldur. 20 m/s ile giderken frene basıp 4 s'de duran aracın grafiği bir üçgendir: $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 20 = 40$ m.

Hız-zaman grafiğinin eğimi ivmeyi, konum-zaman grafiğinin eğimi hızı verir. İvme hızla aynı yöndeyse cisim hızlanır, zıt yöndeyse yavaşlar. İvmenin sıfır olması cismin durduğunu değil, hızının sabit olduğunu gösterir.

Sık Yapılan Hata

• "Akıntı karşıya geçiş süresini uzatır." Süreyi yalnız kıyıya dik hız belirler; akıntı sadece varış noktasını kaydırır.
• "Çarpışmada enerji korunduysa momentum da korunur, ya da tersi." İkisi ayrı yasadır. Kenetlenen araçlarda momentum korunur, kinetik enerji korunmaz.
• "Bağıl hız hep farktır." Zıt yönde giden araçlarda bağıl hızın büyüklüğü toplamdır.

Sınav ipucu: Soru "… e göre" diye soruyorsa önce o gözlemciyi durdurun: onun hızını herkesin hızından çıkarın, sonra kalan hareketi çözün.

Sık sorulanlar