11. Sınıf Dairesel Hareket ve Kütle Çekim — Konu Anlatımı

Ay Neden Üstümüze Düşmüyor?

Elinizdeki elmayı bırakırsanız düşer. Ay da Dünya tarafından çekiliyor; o hâlde neden düşmüyor? Newton'ın cevabı şaşırtıcıdır: Ay düşüyor. Yalnız aynı anda yana doğru öyle hızlı gidiyor ki düştüğü kadar Dünya'nın yüzeyi de "kaçıyor". Sonuç, bitmeyen bir düşüş: yörünge.

Bunu sayıyla sınayalım. Ay, Dünya'nın merkezinden yaklaşık $r = 3{,}84 \times 10^8$ m uzakta ve bir turunu $T = 27{,}3$ günde, yani yaklaşık $2{,}36 \times 10^6$ s'de tamamlıyor. Çembersel hareketin merkezcil ivmesi:

$a = \dfrac{4\pi^2 r}{T^2} = \dfrac{39{,}5 \cdot 3{,}84 \times 10^8}{(2{,}36 \times 10^6)^2} \approx 2{,}7 \times 10^{-3} \text{ m/s}^2$

Ay, Dünya yarıçapının yaklaşık 60 katı uzakta. Çekim uzaklığın karesiyle azalıyorsa Ay'daki ivme yeryüzündekinin $60^2 = 3600$'de biri olmalı: $9{,}8 / 3600 \approx 2{,}7 \times 10^{-3}$ m/s². İki sayı tutuyor. Elmayı düşüren kuvvetle Ay'ı döndüren kuvvet aynı kuvvettir.

Genel Çekim Yasası

$F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2} \qquad G = 6{,}67 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2/\text{kg}^2$

Üç şeye dikkat:

• $r$ iki cismin merkezleri arasındaki uzaklıktır, yüzeyler arası değil.
• Kuvvet kütlelerin çarpımıyla doğru, uzaklığın karesiyle ters orantılıdır. Uzaklık 3 katına çıkarsa kuvvet 9'da birine iner.
• Kuvvetler karşılıklıdır. Dünya Ay'ı ne kadar çekiyorsa Ay da Dünya'yı o kadar çeker (yaklaşık $2 \times 10^{20}$ N). Bu, Newton'ın üçüncü yasasıdır; Dünya'nın az hareket etmesinin nedeni kuvvetin küçüklüğü değil, kütlesinin büyüklüğüdür.

$G$ neden bu kadar küçük? İki 70 kg'lık öğrenci 1 m arayla otururken birbirini $6{,}67 \times 10^{-11} \cdot 4900 \approx 3{,}3 \times 10^{-7}$ N ile çeker. Bu, kabaca tek bir tuz tanesinin ağırlığı kadardır. Kütle çekimi ancak gezegen büyüklüğündeki kütlelerde fark edilir.

Yükseldikçe g Ne Olur?

Yüzeydeki çekim ivmesi $g = \dfrac{GM}{R^2}$'dir. Merkezden $r$ uzaklıkta ise $g_r = g\left(\dfrac{R}{r}\right)^2$ olur.

Örnek: Yüzeyden bir Dünya yarıçapı kadar yukarıda ($r = 2R$) çekim ivmesi $10 / 4 = 2{,}5$ m/s² olur. Uluslararası Uzay İstasyonu ise yalnızca 400 km yukarıda: $R = 6400$ km, $r = 6800$ km.

$g_r = 9{,}8 \cdot \left(\dfrac{6400}{6800}\right)^2 \approx 9{,}8 \cdot 0{,}886 \approx 8{,}7 \text{ m/s}^2$

Yani istasyonda yer çekimi yüzeydekinin yaklaşık %89'u kadar. Peki astronotlar neden süzülüyor? Buna birazdan döneceğiz.

Yörüngede Kalmanın Koşulu

Uydunun çembersel yörüngede kalması için gereken merkezcil kuvveti kütle çekimi sağlar:

$\dfrac{GMm}{r^2} = \dfrac{mv^2}{r} \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{g_r \cdot r}$

Uydunun kütlesi $m$ sadeleşti. Aynı yükseklikte bir vida ile koca bir istasyon aynı hızla dolanır.

İstasyon için: $v = \sqrt{8{,}7 \cdot 6{,}8 \times 10^6} \approx 7{,}7 \times 10^3$ m/s, yani saniyede 7,7 km. Bir tur $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi \cdot 6{,}8 \times 10^6}{7{,}7 \times 10^3} \approx 5{,}5 \times 10^3$ s, yaklaşık 92 dakika. Astronotlar günde 15-16 kez güneş doğuşu görür.

Şimdi süzülme sorusu: istasyon da astronot da aynı ivmeyle, $8{,}7$ m/s² ile Dünya'ya doğru düşüyor. Birlikte düşen cisimler birbirine bastırmaz; tartı sıfır gösterir. Buna ağırlıksızlık denir, ama çekimsizlik değildir.

Kepler'in Üçüncü Yasası

$v = 2\pi r / T$ ifadesini yukarıdaki eşitliğe koyarsak:

$\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM} = \text{sabit}$

Aynı merkezi cismin çevresinde dolanan bütün uydular için bu oran aynıdır.

Daha zor örnek: A uydusu merkezden $r$, B uydusu $4r$ uzaklıkta. Periyotlar oranı nedir? $T_B^2 / T_A^2 = 4^3 = 64$, buradan $T_B = 8\,T_A$. Hız ise $v \propto 1/\sqrt{r}$ olduğundan B'nin hızı A'nınkinin yarısıdır. Uzaktaki uydu hem yavaş gider hem de daha uzun yol alır; periyot bu yüzden 4 değil 8 kat büyür.

Sınır durum, yerdurgun uydu: Periyodu Dünya'nın dönüşüne eşit (yaklaşık 24 saat) olan uydu gökte hep aynı noktada durur. Kepler bağıntısı bu yörüngenin merkezden yaklaşık 42 200 km, yüzeyden yaklaşık 35 800 km yukarıda olması gerektiğini verir. Türksat gibi iletişim uyduları bu kuşaktadır; çanak antenleri bu yüzden sabit bir yöne bakar.

Sık Yapılan Hata: "Uzayda Yer Çekimi Yok"

1. "İstasyonda yer çekimi olmadığı için astronotlar süzülüyor." Yanlış; yukarıda hesapladık, $g$ yaklaşık 8,7 m/s². Süzülmenin nedeni sürekli serbest düşüştür.

2. Yüksekliği $r$ yerine koymak. 400 km yüksekteki uydu için $r = 400$ km değil, $6400 + 400 = 6800$ km'dir. AYT'de "yüzeyden $h$ yükseklikte" ifadesi görünce ilk iş $r = R + h$ yazmaktır.

3. Ağır uydu daha hızlı dolanmalı. Hız formülünde uydunun kütlesi yok; hız yalnız merkezdeki kütleye ve yörünge yarıçapına bağlı.

4. "Merkezkaç kuvveti çekimi dengeliyor." Yörüngedeki uyduya etki eden tek kuvvet çekimdir ve net kuvvet sıfır değildir. Sıfır olsaydı uydu düz bir çizgide uzaklaşırdı.

Kendin dene: Dünya'nın kütlesi iki katına çıksaydı istasyon aynı yörüngede kaç kat hızlı dolanmak zorunda kalırdı? $v \propto \sqrt{M}$ olduğu için $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ katı.

Ünite Testiyle Bağlantı: Newton'ın Üç Yasası

Bu ünitenin testi serbest düşme, sürtünme, çembersel hareket ve Newton yasalarını soruyor. İlk üçü ayrı sayfalarda ayrıntılı anlatıldı; Newton yasaları ise kütle çekiminin de temelidir:

• Birinci yasa (eylemsizlik): Net kuvvet sıfırsa cisim durumunu korur. İp kopunca taşın teğet boyunca gitmesi bundandır.
• İkinci yasa: $F_{net} = m \cdot a$. 5 kg'lık cisme 30 N net kuvvet etkirse $a = 30/5 = 6$ m/s² olur. Yörüngede ise net kuvvet çekimdir, ivme de merkezcil ivmedir.
• Üçüncü yasa (etki-tepki): Kuvvetler çift hâlinde, eşit büyüklükte ve zıt yönde oluşur, ama farklı cisimlere etki eder. Masadaki kitapta ağırlık ile normal kuvvet eşittir ama bir etki-tepki çifti değildir; ikisi de kitaba etki eder. Ağırlığın tepkisi, kitabın Dünya'yı çekmesidir.

Sık sorulanlar