9. Sınıf Temel ve Türetilmiş Nicelikler — Konu Anlatımı

Birim Yüzünden Kaybolan Sonda

1999'da NASA'nın Mars Climate Orbiter sondası Mars'a vardığında planlanandan çok daha alçak bir yörüngeye girdi ve kayboldu. Soruşturma, yazılımın bir bölümünün itme verisini İngiliz birimi olan pound-kuvvet·saniye ile ürettiğini, diğer bölümün ise bu sayıları newton·saniye sandığını ortaya çıkardı. Bir pound-kuvvet yaklaşık 4,45 N olduğu için her düzeltme yaklaşık 4,45 kat küçük hesaplandı. Yaklaşık 125 milyon dolarlık araç, doğru ama birimsiz okunmuş sayılar yüzünden yitirildi.

Bilimde herkesin aynı birim sistemini kullanmasının nedeni budur: bir sonucun başkaları tarafından sınanabilmesi, ölçümlerin karşılaştırılabilmesine bağlıdır. Uluslararası Birim Sistemi (SI) bu ortak dili kurar.

Yedi Temel Nicelik

SI yedi niceliği bağımsız olarak tanımlar; bunlar başka niceliklerden türetilmez:

• uzunluk — metre (m) · kütle — kilogram (kg) · zaman — saniye (s)
• elektrik akımı — amper (A) · sıcaklık — kelvin (K)
• madde miktarı — mol (mol) · ışık şiddeti — kandela (cd)

İki tanesi sık karıştırılır. Mol kütleyi değil tanecik sayısını ölçer: 1 mol, $6{,}02 \cdot 10^{23}$ tanecik demektir. Kelvin ölçeğinin sıfırı mutlak sıfırdır ($0\ \text{K} = -273{,}15\ ^\circ\text{C}$); negatif değer almaz. Dönüşüm $T(\text{K}) = t(^\circ\text{C}) + 273$ ile yapılır: 27 °C, 300 K eder.

Ya sıcaklık farkı? Su 20 °C'den 50 °C'ye ısınırsa fark 30 °C; kelvinle 293 K'den 323 K'ye, fark yine 30 K. İki ölçeğin bölmeleri aynı büyüklükte olduğu için fark iki ölçekte aynı sayıyla yazılır.

Birimlerden Yeni Birim Kurmak

Temel dışında kalan her nicelik türetilmiştir; birimi temel birimlerden kurulur:

• Hız = yol / zaman → m/s
• İvme = hız değişimi / zaman → m/s²
• Kuvvet = kütle × ivme → kg·m/s², kısa adı newton (N)
• İş = kuvvet × yol → N·m = kg·m²/s², kısa adı joule (J)
• Basınç = kuvvet / alan → N/m², kısa adı pascal (Pa)
• Güç = iş / zaman → J/s, kısa adı watt (W)

Newton'un kendine ait bir adı olması onu temel yapmaz. Kısa ad, uzun bir birim bileşiminin kolay söylenen hâlidir.

Çözümlü Örnek: Bağıntıyı Birimiyle Sınamak

Bir öğrenci, durgun hâlden sabit ivmeyle hızlanan bir aracın aldığı yolu $x = v \cdot t^2$ diye yazıyor. Hesap yapmadan yanlış olduğunu gösterebilir miyiz?

Sağ tarafın birimi: $\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \text{s}^2 = \text{m} \cdot \text{s}$

Sol taraf yol, birimi m. Bir eşitliğin iki yanı aynı türde nicelik olmak zorunda; m ile m·s eşitlenemez. Bağıntı kesinlikle yanlış.

Doğru bağıntı $x = \frac{1}{2} a t^2$: $\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \text{s}^2 = \text{m}$. Birimler tutuyor.

Dikkat: birim tutması bağıntının doğru olduğunu kanıtlamaz; $\frac{1}{2}$ gibi birimsiz sayıları bu yöntem yakalayamaz. Ama birim tutmuyorsa bağıntı kesinlikle yanlıştır.

Grafiklerde de aynı mantık işler. Yol-zaman grafiğinin eğimi $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ birimindedir, yani hızı verir. Hız-zaman grafiğinin eğimi $\frac{\text{m/s}}{\text{s}} = \text{m/s}^2$, yani ivmeyi verir.

Ön Ekler ve Alan-Hacim Tuzağı

kilo (k) $= 10^3$, santi (c) $= 10^{-2}$, mili (m) $= 10^{-3}$, mikro (µ) $= 10^{-6}$, nano (n) $= 10^{-9}$.

• Işığın dalga boyu 500 nm: $500 \cdot 10^{-9} = 5 \cdot 10^{-7}$ m
• 2,5 km: $2{,}5 \cdot 10^3 = 2500$ m
• 72 km/h: $72 \cdot \dfrac{1000}{3600} = 20$ m/s

Alan ve hacimde çarpan üslü girer. 1 m = 100 cm olduğu için $1\ \text{m}^2 = 100^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$; 3 m² bu yüzden 30 000 cm² eder, 300 değil. Hacimde $1\ \text{m}^3 = 10^3\ \text{dm}^3 = 1000$ litre; 2 m³'lük bir su deposu 2000 litre alır.

Bileşik birimlerde her parça ayrı çevrilir. Suyun yoğunluğu 1 g/cm³; bunu kg/m³'e çevirelim. Pay: 1 g = $10^{-3}$ kg. Payda: 1 cm³ = $10^{-6}$ m³. Oran:

$1\ \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} = \dfrac{10^{-3}\ \text{kg}}{10^{-6}\ \text{m}^3} = 1000\ \dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

Alüminyumun 2,7 g/cm³'lük yoğunluğu bu yüzden 2700 kg/m³ olarak da yazılır. Mini soru: 13,6 g/cm³ yoğunluklu cıva kaç kg/m³'tür? (Cevap: 13 600.)

Sık Yapılan Hata

• Temel/türetilmiş ile skaler/vektörel ayrımını eşleştirmek. İki ayrı sınıflandırmadır. Kütle temel ve skaler, kuvvet türetilmiş ve vektörel, enerji türetilmiş ama skalerdir. "Türetilmiş olan vektöreldir" diye bir kural yok.
• Alanı uzunluk gibi çevirmek. 1 m² = 100 cm² yazan öğrenci 100 kat hata yapar.
• Kısa adı olan birimi temel sanmak. Newton, joule, pascal, watt türetilmiştir.
• Sayıyı birimsiz yazmak. "Uzunluk 5" hiçbir şey söylemez; 5 m ile 5 cm yüz kat farklıdır.

Sınav ipucu: "Hangisi temel niceliktir?" sorusunda şıklarda hız, kuvvet, enerji varsa elenir; madde miktarı ve ışık şiddeti unutulan iki temel niceliktir.

Sık sorulanlar