9. Sınıf Vektörler — Konu Anlatımı

Hazine Haritasındaki Üç Ok

Eski bir haritada şu yazıyor: "Kuyudan 30 adım kuzeye, sonra 40 adım doğuya, sonra 30 adım güneye yürü." Hazineyi arayan biri toplam 100 adım atar. Oysa kuzeye ve güneye atılan 30'ar adım birbirini götürür; hazine kuyunun tam 40 adım doğusundadır.

Haritayı çizen kişi hazineyi "40 adım doğu" diye tek okla da gösterebilirdi. İşte o tek ok, üç okun bileşkesidir. Toplam adım sayısı (100) skalerdir; bileşke ok (40 adım doğu) vektördür.

Bir niceliği tam belirtmek için yön de gerekiyorsa o nicelik vektöreldir: kuvvet, hız, ivme, yer değiştirme. Sayı ve birim yetiyorsa skalerdir: kütle, zaman, sıcaklık, enerji, alınan yol.

Bir Oku Okumak

Vektör okla çizilir ve okta üç bilgi vardır:

• Büyüklük: okun uzunluğu, seçilen ölçeğe göre (1 cm = 2 N gibi).
• Doğrultu: okun üzerinde durduğu çizgi (yatay, düşey, kuzeydoğu…).
• Yön: okun ucunun baktığı taraf. Aynı doğrultuda iki yön vardır.

Büyüklüğü, doğrultusu ve yönü aynı olan iki vektör, nerede çizilirse çizilsin eşittir. Büyüklüğü aynı, yönü ters olan vektör ise ilk vektörün negatifidir.

Ölçek 1 cm = 2 N ise 3,5 cm'lik bir ok kaç N'lik kuvveti gösterir? $3{,}5 \cdot 2 = 7$ N. Aynı kâğıtta 12 N'lik bir kuvveti çizmek için okun 6 cm olması gerekir. Bir çizimdeki bütün oklar aynı ölçekle çizilmelidir; yoksa uzunlukları karşılaştırmak anlamını yitirir.

Aynı Doğrultuda Toplamak

Bir kasaya sağa doğru 15 N ve 5 N, sola doğru 12 N kuvvet uygulanıyor. Bir yönü artı seçmek işi kolaylaştırır: sağ artı olsun.

$R = 15 + 5 - 12 = +8\ \text{N}$

Artı işaret bileşkenin sağa doğru olduğunu söyler. Sonuç eksi çıksaydı bileşke sola doğru olurdu. Halat çekmede iki takım 800'er N ile çekiyorsa bileşke sıfırdır; kuvvetler ortadan kalkmaz, vektörel toplamları sıfırdır ve halat kıpırdamaz.

Açılı Vektörler: Uç Uca ve Paralelkenar

Uç uca ekleme: ikinci vektörün başlangıcı birincinin ucuna taşınır; bileşke ilk başlangıçtan son uca çizilir. Üç ya da daha çok vektörde de aynı yöntem işler ve ekleme sırası sonucu değiştirmez: hazine haritasındaki adımları hangi sırayla atarsanız atın 40 adım doğuya varırsınız.

Paralelkenar: iki vektör aynı noktadan çizilir, kenarları tamamlanır; bileşke ortak noktadan çıkan köşegendir.

Çözümlü örnek: Bir kargo dronu kendi motoruyla kuzeye 8 m/s hızla uçuyor. Doğuya doğru 6 m/s'lik rüzgâr esiyor. Dronun yere göre hızı ve 30 saniyede doğuya ne kadar sürüklendiği?

Hızlar dik olduğu için bileşke dik üçgenin hipotenüsüdür:

$v = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\ \text{m/s}$

Doğu yönündeki sürüklenme yalnız rüzgârdan gelir: $6 \cdot 30 = 180$ m. Pilot bunu bildiği için dronun burnunu biraz batıya çevirir ki bileşke tam kuzeyi göstersin.

Özel Açılar ve Bileşkenin Sınırları

Büyüklüğü $F$ olan iki eşit vektörün bileşkesi aradaki açıyla değişir:

• 0° (aynı yön): $2F$
• 60°: $F\sqrt{3} \approx 1{,}73F$
• 90°: $F\sqrt{2} \approx 1{,}41F$
• 120°: $F$ — bileşke vektörlerden birine eşit
• 180° (zıt yön): 0

Açı büyüdükçe bileşke küçülür. Farklı büyüklükteki iki vektörde ise bileşke $|F_1 - F_2| \le R \le F_1 + F_2$ aralığındadır. 9 N ve 4 N için bileşke 5 N ile 13 N arasında bir değer alır; 3 N ya da 14 N olamaz. Büyüklükleri farklı iki kuvvetin bileşkesi bu yüzden hiçbir açıda sıfır olmaz.

Deneyle Görmek: Üç Dinamometre

Bir halkaya üç dinamometre bağlayın. Birini 3 N ile doğuya, ötekini 4 N ile kuzeye çekin. Halkayı yerinde tutmak için üçüncü dinamometrenin 5 N göstermesi ve güneybatı tarafında, bileşkenin tam tersi yönünde çekmesi gerekir. Deney iki şeyi aynı anda gösterir: dik 3 N ve 4 N'nin bileşkesi 5 N'dir ve bir cismi dengelemek için bileşkeye eşit büyüklükte, zıt yönlü bir kuvvet gerekir.

Sık Yapılan Hata

• Dik vektörlerin büyüklüklerini toplamak. 6 N ve 8 N dikse bileşke 14 değil 10 N'dir.
• Bileşkenin her zaman büyük vektörden büyük olduğunu sanmak. 9 N ve 4 N zıt yönlüyse bileşke 5 N'dir; 9'dan küçük.
• Alınan yol ile yer değiştirmeyi karıştırmak. Hazine avcısı 100 adım yol aldı, yer değiştirmesi 40 adım.

Sınav ipucu: "En büyük ve en küçük bileşke" soruluyorsa toplam ve farkı yazmak yeter. Şekilli sorularda önce aynı doğrultudakileri birleştirin, kalan dik iki vektöre Pisagor uygulayın; 3-4-5 ve 6-8-10 üçgenleri sık gelir.

Sık sorulanlar