Vektörler

1. Tabloda iki nicelik türü karşılaştırılmış, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan örnekler hangileridir?

• A) Hacim, yoğunluk
• B) Kuvvet, hız, ivme
• C) Sıcaklık, süre
• D) Kütle, uzunluk
• E) Enerji, güç

Doğru cevap: B — Kuvvet, hız ve ivmenin tam olarak belirtilmesi için yön bilgisi zorunludur. "10 N kuvvet" eksik bir ifadedir; hangi yönde uygulandığı da söylenmelidir.

1. Vektörel nicelikte yön bilgisi gerekir.
2. Kuvvet, hız ve ivme yön taşır.
3. Bunlar vektörel niceliklerdir.

2. Vektörlerin çizimle gösterilmesinde okun uzunluğu ve yönünün neyi ifade ettiği sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

• A) Uzunluk büyüklüğü, ok ucu yönü gösterir
• B) Uzunluk yönü, ok ucu büyüklüğü gösterir
• C) İkisi de büyüklüğü gösterir
• D) İkisi de yönü gösterir
• E) Çizimde bilgi taşınmaz

Doğru cevap: A — Ok uzunluğu vektörün büyüklüğünü, ok ucunun baktığı taraf ise yönünü gösterir.

1. Vektörel nicelik iki bilgi taşır: bir sayısal büyüklük ve bir yön. Çizimde bu iki bilginin ikisi de görünmelidir.
2. Çizimde tek bir uzunluk ölçüsü vardır: okun boyu. Seçilen ölçekle (örneğin 1 cm = 2 N) okun boyu büyüklüğü verir.
3. Geriye yön bilgisi kalır; onu da okun sivri ucunun baktığı taraf taşır.
4. Denetleyelim: 4 N’luk kuvvet, 2 N’luk kuvvetin iki katı uzunlukta ve ok ucu uygulandığı yöne bakacak biçimde çizilir ✓ — tek çizim iki bilgiyi birden veriyor.

3. Bir cisme aynı doğrultuda ve aynı yönde 8 N ile 5 N’luk iki kuvvet uygulanmaktadır. Bileşke kuvvet kaç N’dur?

aynı yönlü: R = F_1 + F_2

• A) 3
• B) 13
• C) 40
• D) 6,5
• E) 1,6

Doğru cevap: B — Aynı doğrultuda ve aynı yönde uygulanan kuvvetler doğrudan toplanır; bileşke 13 N’dur.

1. İki kuvvet aynı doğrultuda ve aynı yöndedir; biri ötekinin etkisini azaltmaz, ikisi de cismi aynı tarafa iter.
2. Böyle vektörlerde büyüklükler doğrudan toplanır: $R = F_1 + F_2 = 8 + 5 = 13$ N.
3. Bileşkenin yönü de kuvvetlerin ortak yönüdür.
4. Denetleyelim: bileşke, kuvvetlerin büyüğünden (8 N) daha büyük çıktı ✓ — aynı yönlü kuvvetlerde beklenen sonuç budur.

4. Bir cisme aynı doğrultuda ancak zıt yönlerde 12 N ile 7 N’luk iki kuvvet uygulanmaktadır. Bileşkenin büyüklüğü kaç N’dur ve yönü nedir?

zıt yönlü: R = |F_1 - F_2|

• A) 19 N, büyük kuvvet yönünde
• B) 5 N, küçük kuvvet yönünde
• C) 5 N, büyük kuvvet yönünde
• D) 19 N, küçük kuvvet yönünde
• E) 0

Doğru cevap: C — Zıt yönlü kuvvetlerde büyüklükler çıkarılır: bileşke 5 N’dur ve büyük kuvvetin yönündedir.

1. Kuvvetler aynı doğrultuda ama zıt yönlüdür; biri ötekinin etkisini kısmen götürür.
2. Büyüklükler çıkarılır: $R = |12 - 7| = 5$ N.
3. 7 N’luk kuvvet, 12 N’luk kuvvetin 7 N’luk bölümünü dengeler; dengelenmeden kalan 5 N’luk bölüm büyük kuvvetin yönündedir.
4. Denetleyelim: 5 N, kuvvetlerin küçüğünden bile küçük çıktı ✓ — zıt yönlü kuvvetlerde bileşke hep böyle küçülür.

5. Uç uca ekleme yöntemiyle vektör toplamanın nasıl yapıldığı sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

• A) Vektörler aynı noktadan çizilir
• B) Vektörler yan yana çizilir
• C) Vektörler üst üste çizilir
• D) Bir vektörün ucuna diğerinin başlangıcı yerleştirilir; bileşke ilk vektörün başlangıcından son vektörün ucuna çizilir
• E) Vektörler ters çevrilir

Doğru cevap: D — Uç uca eklemede bir vektörün ucuna ötekinin başlangıcı konur; bileşke ilk başlangıçtan son uca çizilir.

1. Önce birinci vektör kendi yönünde ve ölçeğinde çizilir.
2. İkinci vektör, yönü ve boyu korunarak birincinin ok ucundan başlatılır. Vektör kaydırılırken doğrultusu değiştirilmez.
3. İlk vektörün başlangıç noktasından son vektörün ok ucuna çizilen ok bileşkedir.
4. Denetleyelim: üç, dört vektörde de aynı yol izlenir ve ekleme sırası değişse bile son nokta aynı yerde kalır ✓ — bileşke değişmez.

6. Paralelkenar yönteminde bileşke vektörün nasıl bulunduğu sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

• A) İki vektör aynı noktadan çizilip paralelkenar tamamlanır; bileşke ortak başlangıçtan çıkan köşegendir
• B) Vektörler uç uca eklenir
• C) Vektörler çıkarılır
• D) Vektörler ters çevrilir
• E) Vektörlerin ortalaması alınır

Doğru cevap: A — Paralelkenar yönteminde iki vektör aynı noktadan çizilir, paralelkenar tamamlanır ve ortak başlangıçtan çıkan köşegen bileşkeyi verir.

1. İki vektör, aralarındaki açı korunarak aynı başlangıç noktasından çizilir.
2. Her vektörün ucundan ötekine paralel birer doğru çizilerek paralelkenar tamamlanır.
3. Ortak başlangıç noktasından karşı köşeye giden köşegen bileşkedir; öteki köşegen ise iki vektörün farkını verir.
4. Denetleyelim: aynı iki vektör uç uca eklendiğinde oluşan üçgenin kapanış kenarı bu köşegenle aynı boyda ve yöndedir ✓ — iki yöntem tek sonuç veriyor.

7. Birbirine dik 6 N ile 8 N’luk iki kuvvetin bileşkesi kaç N’dur?

dik vektörler: R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}

• A) 2
• B) 7
• C) 14
• D) 10
• E) 48

Doğru cevap: D — Birbirine dik iki kuvvetin bileşkesi Pisagor bağıntısıyla bulunur ve 10 N çıkar.

1. Kuvvetler dik olduğu için uç uca eklendiğinde dik üçgen oluşur; dik kenarlar 6 N ve 8 N’dur.
2. Bileşke bu üçgenin hipotenüsüdür: $R=\sqrt{6^2+8^2}$.
3. $R=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ N bulunur.
4. Denetleyelim: bileşke, en büyük kuvvetten (8 N) büyük ama büyüklüklerin toplamından (14 N) küçük çıktı ✓ — dik vektörlerde beklenen aralık budur.

8. Büyüklükleri 9 N ve 4 N olan iki kuvvetin bileşkesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerler sorulmaktadır. Doğru yanıt hangisidir?

R_{max}=F_1+F_2,\; R_{min}=|F_1-F_2|

• A) 13 N ve 5 N
• B) 13 N ve 0
• C) 5 N ve 0
• D) 36 N ve 5 N
• E) 9 N ve 4 N

Doğru cevap: A — Aynı yönlü olduklarında toplam, zıt yönlü olduklarında fark elde edilir. Bileşke bu iki değer arasındaki her değeri alabilir.

1. En büyük: aynı yönlü → $9 + 4 = 13$ N
2. En küçük: zıt yönlü → $9 - 4 = 5$ N
3. Bileşke 5 ile 13 arasındadır.

9. Büyüklükleri eşit olmayan iki kuvvetin bileşkesinin sıfır olamayacağı belirtilmektedir. Bu durumun gerekçesi nedir?

• A) Kuvvetlerin büyük olması
• B) Kuvvetlerin dik olması
• C) Bileşkenin sıfır olması için iki kuvvetin eşit büyüklükte ve zıt yönlü olması gerekmesi
• D) Kuvvetlerin aynı yönlü olması
• E) Kuvvetlerin ölçülememesi

Doğru cevap: C — Bileşkenin sıfır olması için kuvvetlerin zıt yönlü VE eşit büyüklükte olması gerekir; büyüklükler farklıysa geriye hep bir artık kalır.

1. Bileşkenin sıfır olması, iki kuvvetin etkisinin birbirini tam olarak götürmesi demektir.
2. Tam götürme için önce yönler zıt olmalıdır: aynı yönlü iki kuvvet birbirini götürmez, toplanır.
3. Zıt yönlü kuvvetlerde bileşke $|F_1-F_2|$ kadardır; bu farkın sıfır olması ancak $F_1=F_2$ iken olur.
4. Denetleyelim: 9 N ile 4 N zıt yönlü uygulansa bile geriye 5 N’luk bir bileşke kalır ✓ — eşit olmayan iki kuvvet birbirini dengeleyemez.

10. Akıntılı bir nehirde karşı kıyıya dik yönelen bir tekne, hedeflediği noktanın akıntı yönünde ilerisine varmaktadır. Bu sonucun açıklaması nedir?

• A) Teknenin yavaş olması
• B) Suyun derin olması
• C) Ölçüm hatası
• D) Rüzgârın etkisi
• E) Teknenin kendi hızı ile akıntı hızının vektörel olarak toplanması ve bileşkenin eğik olması

Doğru cevap: E — Teknenin kendi hızı ile akıntı hızı vektörel toplandığı için bileşke eğik olur ve tekne hedefin akıntı yönünde ilerisine varır.

1. Teknenin motorundan gelen hız kıyıya dik yöndedir.
2. Akıntının hızı ise kıyıya paralel, akış yönündedir. Tekne suyun üstünde taşındığı için bu hız da ona eklenir.
3. İki hız birbirine dik olduğundan uç uca eklendiğinde bileşke eğik çıkar; teknenin yere göre gerçek yolu bu bileşkenin doğrultusundadır.
4. Denetleyelim: akıntı dursaydı bileşke yalnız dik hızdan ibaret olur ve tekne tam karşıya varırdı ✓ — sapmanın kaynağı akıntı vektörüdür.

11. Halat çekme yarışında iki takım eşit kuvvetle çektiğinde halatın hareketsiz kaldığı gözlenmektedir. Bu durumun açıklaması nedir?

• A) Kuvvetlerin yok olması
• B) Halatın kopması
• C) Kuvvetlerin eşit büyüklükte ve zıt yönlü olması nedeniyle bileşkenin sıfır olması
• D) Kuvvetlerin toplanması
• E) Yerin kaygan olması

Doğru cevap: C — İki takımın kuvvetleri eşit büyüklükte ve zıt yönlü olduğu için bileşke sıfırdır ve halat hareketsiz kalır.

1. Her iki takım da halatı kendi tarafına, yani zıt yönlere çeker.
2. Büyüklükler eşit olduğundan zıt yönlü toplamda $F-F=0$ çıkar; halata etki eden net kuvvet sıfırdır.
3. Net kuvveti sıfır olan cismin hızı değişmez; duran halat durmayı sürdürür.
4. Denetleyelim: takımlardan biri biraz daha güçlü çeker çekmez bileşke sıfırdan farklı olur ve halat o tarafa kayar ✓ — gözlemle uyumlu.

12. Bir cisme aynı doğrultuda sağa doğru 15 N ve 5 N, sola doğru 12 N kuvvet uygulanmaktadır. Bileşke kaç N’dur ve yönü nedir?

• A) 32 N, sağa
• B) 8 N, sağa
• C) 8 N, sola
• D) 2 N, sağa
• E) 22 N, sola

Doğru cevap: B — Aynı yönlüler önce toplanır, sonra zıt yönlüyle çıkarılır: bileşke 8 N’dur ve sağa doğrudur.

1. Sağa doğru olan iki kuvvet aynı yönlüdür, doğrudan toplanır: $15+5=20$ N sağa.
2. Sola doğru tek bir kuvvet vardır: 12 N.
3. 20 N ile 12 N zıt yönlüdür, çıkarılır: $20-12=8$ N. Büyük olan sağa doğru olduğu için bileşke de sağa doğrudur.
4. Denetleyelim: cisme sola 8 N’luk bir kuvvet daha eklenirse sağ toplam 20 N, sol toplam $12+8=20$ N olur ve denge kurulur ✓ — bileşke gerçekten 8 N sağa.

13. Tabloda iki nicelik karşılaştırılmış, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan açıklama hangisidir?

• A) Başlangıç ile bitiş noktası arasındaki yönlü uzaklık
• B) Aynı güzergâh uzunluğu
• C) Geçen süre
• D) Ortalama hız
• E) Toplam zaman

Doğru cevap: A — Yer değiştirme, başlangıç ile bitiş noktası arasındaki yönlü uzaklıktır; vektörel olmasının sebebi bu yön bilgisidir.

1. Tablonun dolu satırı ölçüyü veriyor: yol, izlenen bütün güzergâhın uzunluğudur ve yön bilgisi taşımaz, skalerdir.
2. Boş satırdaki nicelik vektörel olarak işaretlenmiş; öyleyse tanımında bir yön bilgisi bulunmak zorundadır.
3. Yer değiştirme yalnız iki noktaya bakar: nereden başlandı, nerede bitildi. Arada izlenen yol ne kadar dolambaçlı olursa olsun hesaba girmez.
4. Denetleyelim: 400 m’lik pistte bir tur atan koşucunun yolu 400 m, yer değiştirmesi 0’dır ✓ — ancak “yönlü uzaklık” tanımı bu sonucu verir.

14. Bir kişi önce doğuya 40 m, sonra kuzeye 30 m yürümüştür. Aldığı yol ve yer değiştirmesi kaç metredir?

yer degistirme = \sqrt{x^2+y^2}

• A) 70 m ve 70 m
• B) 50 m ve 70 m
• C) 70 m ve 10 m
• D) 70 m ve 50 m
• E) 50 m ve 50 m

Doğru cevap: D — Yol 70 m, yer değiştirme ise dik iki adımın hipotenüsü olan 50 m’dir.

1. Yol, izlenen güzergâhın toplam uzunluğudur: $40+30=70$ m.
2. Doğu ile kuzey birbirine dik yönlerdir; başlangıç ile bitiş noktası, dik kenarları 40 m ve 30 m olan bir dik üçgenin hipotenüsüyle birleşir.
3. $\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50$ m bulunur.
4. Denetleyelim: yer değiştirme (50 m) yoldan (70 m) küçük çıktı ✓ — doğrultu değiştiren her harekette böyle olmalıdır.

15. Grafikte büyüklükleri sabit iki vektörün bileşkesinin, aralarındaki açıya göre değişimi verilmiştir. Grafikten çıkarılan sonuç nedir?

• A) Açı arttıkça bileşkenin büyüdüğü
• B) Bileşkenin açıdan bağımsız olduğu
• C) Ölçümün hatalı olduğu
• D) Bileşkenin sabit olduğu
• E) Açı arttıkça bileşkenin küçüldüğü; en büyük değer aynı yönde, en küçük değer zıt yöndedir

Doğru cevap: E — Grafik, aralarındaki açı büyüdükçe bileşkenin küçüldüğünü gösterir: en büyük değer 0°, en küçük değer 180°’dedir.

1. Yatay eksen iki vektör arasındaki açıyı, düşey eksen bileşkenin büyüklüğünü veriyor; eğri soldan sağa sürekli alçalıyor.
2. Açı 0° iken vektörler aynı yönlüdür ve büyüklükler doğrudan toplanır; bu, bileşkenin alabileceği en büyük değerdir.
3. Açı 180°’ye vardığında vektörler zıt yönlüdür ve büyüklükler çıkarılır; bu da en küçük değerdir. Aradaki bütün açılarda bileşke bu iki uç arasında kalır.
4. Denetleyelim: eğrinin soldaki başlangıç değeri sağdaki bitiş değerinden büyük ✓ — grafik, toplamdan farka inişi gösteriyor.

16. Pilotların rüzgârlı havada uçarken burnu hedefin biraz yanına çevirdiği bilinmektedir. Bu tekniğin gerekçesi nedir?

• A) Uçağın hızlanması
• B) Yakıt tasarrufu
• C) Uçağın kendi hızı ile rüzgâr hızının bileşkesinin hedefe yönelmesini sağlamak
• D) Görüşün artması
• E) Gürültünün azalması

Doğru cevap: C — Uçağın kendi hızı ile rüzgâr hızının bileşkesi hedefe yönelsin diye burun hedefin biraz yanına çevrilir.

1. Uçağın havaya göre bir hızı, havanın da yere göre bir hızı vardır; uçağın yere göre gerçek hızı bu iki vektörün toplamıdır.
2. Burun doğrudan hedefe çevrilirse rüzgâr vektörü eklenir ve bileşke hedefin yanına kayar; uçak rotadan sapar.
3. Burun, rüzgârın geldiği tarafa doğru bir miktar eğilirse eklenen rüzgâr vektörü bu eğikliği tam olarak götürür ve bileşke hedefi gösterir.
4. Denetleyelim: rüzgâr kesilseydi düzeltmeye gerek kalmaz, burun doğrudan hedefe çevrilirdi ✓ — düzeltmenin ölçüsü rüzgâr vektörü kadardır.

17. Büyüklükleri eşit iki vektörün bileşkesinin, vektörlerden birinin büyüklüğüne eşit çıkması istenmektedir. Bu durumda aralarındaki açı için ne söylenir?

• A) 0° olmalıdır
• B) 90° olmalıdır
• C) 180° olmalıdır
• D) 120° olmalıdır
• E) Böyle bir durum mümkün değildir

Doğru cevap: D — Eşit büyüklükteki iki vektörün bileşkesi, ancak aralarındaki açı 120° iken tek bir vektörün büyüklüğüne eşit olur.

1. İki vektörün büyüklüğü de $F$ olsun. Aralarındaki açı $\theta$ iken bileşke $R=\sqrt{F^2+F^2+2F^2\cos\theta}$ bağıntısıyla bulunur.
2. İstenen $R=F$ olduğuna göre iki tarafın karesi alınır: $F^2=2F^2+2F^2\cos\theta$.
3. $F^2$ sadeleştirilir: $1=2+2\cos\theta$, buradan $\cos\theta=-\frac{1}{2}$ ve $\theta=120°$ bulunur.
4. Denetleyelim: 0°’de bileşke $2F$, 180°’de 0 çıkar; aranan $F$ değeri bu iki ucun arasındaki bir açıya düşmeli ✓ — 120° tam bu aralıkta.

18. Üç vektörün uç uca eklenerek toplanmasında ekleme sırasının değiştirilmesi durumunda ne olacağı sorulmaktadır. Doğru yanıt hangisidir?

• A) Bileşke değişir
• B) Bileşkenin yönü değişir
• C) Bileşke iki katına çıkar
• D) Bileşke sıfırlanır
• E) Bileşke değişmez; toplama işleminin sırası sonucu etkilemez

Doğru cevap: E — Vektör toplamasında ekleme sırası değişse de bileşke değişmez; toplama işlemi değişme özelliğine sahiptir.

1. Üç vektör uç uca eklendiğinde bileşke, ilk vektörün başlangıcından son vektörün ucuna çizilen oktur.
2. Sıra değiştirilirse ara noktalar başka yerlerden geçer; çizilen kırık çizginin biçimi değişir.
3. Ama her vektör kendi boyunu ve yönünü koruduğu için son nokta, başlangıç noktasına göre yine aynı yerde çıkar. Öyleyse bileşke de aynıdır.
4. Denetleyelim: sağa 3 birim ve yukarı 4 birimlik iki vektör hangi sırayla eklenirse eklensin son nokta, başlangıcın 3 birim sağında ve 4 birim yukarısındadır ✓.

19. Bir öğrenci vektörlerin toplanmasını deneyle göstermek istemektedir. En uygun düzenek hangisidir?

• A) Cisimleri tartmak
• B) Bir halkaya farklı yönlerden dinamometrelerle kuvvet uygulayıp halkayı dengede tutan üçüncü kuvveti ölçmek
• C) Cisimleri ısıtmak
• D) Cisimleri suya atmak
• E) Cisimleri boyamak

Doğru cevap: B — Bir halkaya farklı yönlerden uygulanan kuvvetler ile halkayı dengede tutan üçüncü kuvvet ölçülerek bileşke deneyle bulunur.

1. Halka üç dinamometreyle farklı yönlerden çekilip dengede tutulur; dengede olduğuna göre halkaya etki eden net kuvvet sıfırdır.
2. Net kuvvetin sıfır olması, üçüncü kuvvetin ilk ikisinin bileşkesiyle eşit büyüklükte ve tam zıt yönlü olması demektir.
3. Üçüncü dinamometrenin okunan değeri ve ipinin doğrultusu ölçülürse bileşkenin hem büyüklüğü hem yönü elde edilir.
4. Denetleyelim: ilk iki kuvvet kâğıt üzerinde paralelkenar yöntemiyle toplanır; çizimden bulunan bileşke, ölçülen üçüncü kuvvetle aynı büyüklükte ve zıt yönde çıkar ✓.

20. Vektörel niceliklerin belirtilmesi için yön bilgisi gerekir; aynı yönlü vektörler toplanır, zıt yönlüler çıkarılır ve bileşke uç uca ekleme ya da paralelkenar yöntemiyle bulunur. Bu bilgiye dayanarak aşağıdakilerden hangisi söylenemez?

• A) Kuvvet vektörel bir niceliktir.
• B) Zıt yönlü eşit kuvvetlerin bileşkesi sıfırdır.
• C) Dik vektörlerde bileşke Pisagor ile bulunur.
• D) Ekleme sırası bileşkeyi değiştirmez.
• E) İki vektörün bileşkesi her zaman büyüklüklerinin toplamına eşittir.

Doğru cevap: E — Bileşke aralarındaki açıya bağlıdır; büyüklüklerin toplamına eşit olması yalnız vektörler aynı yönlüyken geçerlidir.

1. Metin, aynı yönlü vektörlerin toplandığını, zıt yönlülerin çıkarıldığını söylüyor; öyleyse sonuç yöne bağlıdır.
2. Zıt yönlü eşit kuvvetlerde bileşke sıfır, dik kuvvetlerde Pisagor sonucu çıkar; ikisi de büyüklüklerin toplamından küçüktür.
3. Öyleyse “bileşke her zaman büyüklüklerin toplamına eşittir” yargısı metinden çıkarılamaz; bu eşitlik yalnız 0° açıda sağlanır.
4. Denetleyelim: 6 N ile 8 N dik uygulandığında bileşke 10 N’dur, toplam olan 14 N değil ✓ — yargı tek bir örnekle bile çürüyor.