Saate Bakın
Saat 03:00'ı gösterdiğinde akrep ve yelkovan arasındaki açı 90°'dir. 06:00'da 180°. 12:00'da 0°.
Açı, iki ışının ortak başlangıç noktasından ayrılma miktarıdır. Önemli bir ayrıntı: bu miktar kolların uzunluğuyla ilgili değildir.
Saatin yelkovanı akrepten uzun ama 03:00'taki açı yine 90°. Kolları iki katına uzatsanız açı değişmez. Açı bir dönme ölçüsüdür, uzunluk ölçüsü değil.
Bu yüzden sorulardaki şekiller yanıltıcı olabilir: uzun kollu bir açı geniş görünür ama ölçüsü küçük olabilir.
Açı Türleri
- Dar açı: 0° ile 90° arasında
- Dik açı: tam 90°
- Geniş açı: 90° ile 180° arasında
- Doğru açı: tam 180° (düz bir çizgi)
- Tam açı: 360° (tam tur)
Ölçü birimi derecedir ve bir tam tur 360°'ye bölünmüştür. Neden 360? Babilliler 60 tabanlı sayı sistemi kullanıyordu ve 360 çok sayıda böleni olan pratik bir sayı — 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12… hepsine bölünür.
Bu yüzden daireyi eşit parçalara bölmek kolaydır: yarım 180°, çeyrek 90°, altıda bir 60°.
Birbiriyle İlişkili Açılar
Üç ilişkiyi bilmek soruların çoğunu açar:
- Tümler açılar: toplamı 90° olan iki açı. 30°'nin tümleri 60°'dir.
- Bütünler açılar: toplamı 180° olan iki açı. 110°'nin bütünleri 70°'dir.
- Ters açılar: iki doğru kesiştiğinde karşılıklı oluşan açılar eşittir.
Bir doğru üzerindeki açıların toplamı 180°, bir noktanın etrafındaki açıların toplamı 360°'dir.
Örnek: Bir doğru üzerinde üç açı var; ikisi 45° ve 70°. Üçüncüsü kaç derecedir?
$180 - 45 - 70 = 65°$
Şimdi siz deneyin: 25°'nin tümleri ve bütünleri kaçtır?
Cevap: Tümleri $90-25 = 65°$, bütünleri $180-25 = 155°$.
Daha Zor Bir Örnek: Bilinmeyenli Açı
"İki açı bütünlerdir. Büyük açı küçüğün 3 katından 20° fazla ise açılar kaç derecedir?"
- Küçük açıya $x$ diyelim. Büyük açı: $3x + 20$
- Bütünler oldukları için toplamları 180: $x + 3x + 20 = 180$
- $4x = 160 \Rightarrow x = 40$
- Açılar: 40° ve $3 \cdot 40 + 20 = 140°$
Kontrol: $40 + 140 = 180$. ✔
Bu tip soruda iki şey kritik: bilinmeyeni küçük açı seçmek (büyüğü seçerseniz kesirli sayılarla uğraşırsınız) ve "3 katından 20 fazla" ifadesini $3x + 20$ diye yazmak — $3(x+20)$ değil.
Sınır durum — 90°'den büyük açının tümleri yoktur. 120°'nin tümlerini sorarsanız $90 - 120 = -30$ çıkar; negatif açı olmadığı için böyle bir açı yoktur. Bütünleri ise vardır: 60°. Soruda "tümler" geçiyorsa açının 90°'den küçük olması gerekir.
Sık yapılan hata 1: Tümler ile bütünleri karıştırmak. Tümler 90°, bütünler 180° toplar; "tüm" daha kısa, 90 daha küçük diye hatırlayabilirsiniz.
Sık yapılan hata 2: Şeklin görüntüsüne güvenmek. Ölçüler verilmişse işlem yapın; çizimler ölçekli olmak zorunda değildir ve geniş görünen açı dar olabilir.
Sık yapılan hata 3: "3 katından 20 fazla" ifadesini $3(x+20)$ yazmak. Doğrusu $3x + 20$'dir.
Özet: Açı dönme ölçüsüdür, kol uzunluğuna bağlı değildir. Tümler 90°, bütünler 180° toplar. Ters açılar eşittir. Doğru üzerinde 180°, nokta etrafında 360°.
Günlük hayatta nerede karşımıza çıkar? Açı; rampa eğiminde, çatı meyilinde, merdiven basamağında ve top oyunlarında paslaşma yönünde karşımıza çıkar. Bir bilardo topunun bandadan sekme açısı, geliş açısına eşittir. Güneş panelleri en çok ışığı alacak açıyla yerleştirilir. Navigasyon "300 m sonra sağa dönün" derken bir dönme açısı tarif eder. Açıyı ölçmek, yönü ve eğimi sayıyla ifade etmektir.
Şimdi kendiniz deneyin.
- 35°'nin tümleri ve bütünleri kaçtır?
- Bir doğru üzerinde iki açı var; biri 118° ise diğeri kaç derecedir?
- İki açı tümlerdir ve biri diğerinin 4 katıdır. Açılar kaç derecedir?
Cevaplar: (1) 55° ve 145° · (2) 62° · (3) $x + 4x = 90$ → 18° ve 72°.
Sık sorulanlar
Açının kolları uzarsa ölçüsü değişir mi?
Hayır. Açı bir dönme ölçüsüdür; saatin kollarını uzatsanız da 03:00'taki açı 90° kalır.
Tümler ve bütünler açı ne demektir?
Toplamı 90° olan iki açı tümler, toplamı 180° olan iki açı bütünlerdir. 25°'nin tümleri 65°, bütünleri 155°'dir.
120°'nin tümleri var mıdır?
Yoktur. $90-120$ negatif çıkar ve negatif açı olmaz. Tümlerden söz edilebilmesi için açının 90°'den küçük olması gerekir.