Eleyerek Bulalım
1'den 20'ye kadar sayıları yazın. Şimdi eleme yapalım:
2'yi bırakın, 2'nin diğer katlarını (4, 6, 8, 10…) çizin. 3'ü bırakın, 3'ün diğer katlarını (6, 9, 12…) çizin. 5 için aynısını yapın.
Ayakta kalanlar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
Bu sayıların ortak özelliği ne? Hiçbiri 1 ve kendisi dışında bir sayıya bölünmüyor. İşte bunlara asal sayı diyoruz.
Yaklaşık 2.200 yıl önce Eratosthenes adlı matematikçi tam olarak bu yöntemi kullanmış; bu yüzden yönteme "Eratosthenes kalburu" denir.
İki Özel Durum
1 asal değildir. Tanım iki farklı böleni ister (1 ve kendisi); 1'in bölenleri "1 ve 1", yani tek bir sayı. Bu yüzden 1 ne asaldır ne bileşik — kendi başına bir durumdur.
2 tek çift asaldır. Kulağa tuhaf gelir ama mantığı basit: 2 dışındaki bütün çift sayılar 2'ye bölünür, dolayısıyla üçüncü bir böleni olur ve asal olamaz. 2'nin ise 1 ve 2 dışında böleni yok.
Peki neden bunu ayrıca vurguluyoruz? Çünkü "asal sayılar tektir" diye yanlış bir genelleme çok yaygın. 2 bu genellemeyi tek başına çürütüyor.
Asal olmayan (1 dışındaki) sayılara bileşik sayı denir: 4, 6, 8, 9, 10…
Asal Çarpanlara Ayırma
Her bileşik sayı, asal sayıların çarpımı olarak tek bir şekilde yazılabilir. Bu, sayıların "parmak izi" gibidir.
60'ı ayıralım. En küçük asaldan başlayıp bölmeye devam edin:
- $60 : 2 = 30$
- $30 : 2 = 15$
- $15 : 3 = 5$
- $5 : 5 = 1$
$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
Hangi sırayla bölerseniz bölün sonuç aynı çıkar — bu yüzden "tek bir şekilde" diyoruz.
Siz deneyin: 84'ü asal çarpanlarına ayırın.
Cevap: $84 : 2 = 42$, $42 : 2 = 21$, $21 : 3 = 7$, $7 : 7 = 1$ → $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$.
Daha Zor Bir Örnek: Bu Sayı Asal mı?
"91 asal mıdır?"
İlk bakışta asal gibi durur: çift değil, 5'le bitmiyor, rakamları toplamı 10 olduğu için 3'e de bölünmüyor. Ama 91 asal değildir: $91 = 7 \cdot 13$.
Nereye kadar denemek gerekir? Sayının kareköküne kadar. $10^2 = 100 > 91$ olduğuna göre 10'a kadar olan asalları denemek yeter: 2, 3, 5, 7. Yedide bölünüyor, bulundu.
Neden karekök? Çünkü bir sayının iki çarpanı varsa bunlardan biri mutlaka karekökünden küçüktür. İkisi birden büyük olsaydı çarpımları sayıyı aşardı.
Aralarında asal: İki sayının 1'den başka ortak böleni yoksa bu sayılara aralarında asal denir. 8 ve 15 ikisi de asal değildir, ama ortak bölenleri yalnız 1 olduğu için aralarında asaldırlar.
Sınav ipucu: Bir sayının asal olup olmadığını sorulduğunda sırayla 2, 3, 5, 7, 11, 13 denemesi yapın ve karekökü geçince durun. Bölünebilme kuralları bu denemeyi saniyeler içinde bitirir.
Sık yapılan hata 1: 1'i asal saymak. Asallık iki farklı bölen ister; 1'in tek böleni kendisidir.
Sık yapılan hata 2: "Bütün asallar tektir" genellemesi. 2 hem çift hem asaldır ve bu genellemeyi tek başına çürütür.
Sık yapılan hata 3: Tek sayıların hepsini asal sanmak. 9, 15, 21, 25 tektir ama asal değildir — 9'un böleni 3, 25'in böleni 5'tir.
Sık yapılan hata 4: Asal çarpanlara ayırırken üsleri unutmak. $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ gösterimi doğrudur ama $2^2 \cdot 3$ diye yazmak hem kısa hem de EBOB-EKOK hesabında kullanılabilir olandır.
Özet: Asal sayının 1 ve kendisi dışında böleni yoktur. 1 asal değildir, 2 tek çift asaldır. Her sayının asal çarpan gösterimi tektir. Denemeler karekökte biter.
Şimdi kendiniz deneyin.
- 51 asal mıdır?
- 90'ı asal çarpanlarına ayırın.
- 20 ile 21 aralarında asal mıdır?
Cevaplar: (1) Hayır, $51 = 3 \cdot 17$ · (2) $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$ · (3) Evet; ortak bölenleri yalnız 1'dir.
Sık sorulanlar
1 asal sayı mıdır?
Hayır. Asallık 1 ve kendisi olmak üzere İKİ farklı bölen ister; 1'in tek böleni kendisidir. 1 ne asal ne bileşiktir.
Neden 2 tek çift asal sayıdır?
2 dışındaki her çift sayı 2'ye de bölünür, yani üçüncü bir böleni olur ve asal olamaz. 2'nin 1 ve 2 dışında böleni yoktur.
Bir sayının asal olduğunu nasıl hızlı anlarım?
Karekökünden küçük asallara (2, 3, 5, 7, 11…) bölünüp bölünmediğine bakılır. 91 için 10'a kadar denemek yeter ve 7'ye bölündüğü görülür.