Bölmeden Bilmek
Bir okulda 936 öğrenci var ve bunları 4'erli sıralar hâlinde dizmek istiyorsunuz. Kalan kalır mı?
Bölme işlemi yapmadan da cevabı verebilirsiniz: son iki basamağa bakın. 36, 4'e tam bölünüyor → 936 da bölünür.
Bölünebilme kuralları tam olarak bunun için var: bölme yapmadan bölünüp bölünmediğini anlamak. Sınavda saniye kazandırır, asal çarpanlara ayırırken yolunuzu gösterir.
Kurallar
- 2 ile: son rakam çift (0, 2, 4, 6, 8). → 174 ✔
- 5 ile: son rakam 0 veya 5. → 245 ✔
- 10 ile: son rakam 0. → 380 ✔
- 4 ile: son iki basamağın oluşturduğu sayı 4'e bölünüyorsa. → 1.732 (32 ✔)
- 3 ile: rakamlar toplamı 3'e bölünüyorsa. → 471 ($4+7+1=12$ ✔)
- 9 ile: rakamlar toplamı 9'a bölünüyorsa. → 738 ($7+3+8=18$ ✔)
- 6 ile: hem 2 hem 3 kuralını sağlıyorsa. → 342 (çift ✔, $3+4+2=9$ ✔)
6 kuralı diğerlerinden farklı: kendi başına bir kural değil, iki kuralın birleşimi. Çünkü $6 = 2 \cdot 3$ ve 2 ile 3 aralarında asaldır.
Bir deneme: 4.518 sayısı 6'ya bölünür mü?
Cevap: Son rakam 8, çift ✔. Rakamlar toplamı $4+5+1+8 = 18$, 3'e bölünür ✔. Evet, 6'ya bölünür.
Kalanı Bulmak
Kurallar yalnız "bölünür mü" demez, kalanı da verir.
3 ve 9'da rakamlar toplamının kalanı, sayının kalanına eşittir.
527'nin 3'e bölümünden kalan: $5+2+7 = 14$; 14'ün 3'e bölümünden kalan 2. Demek ki 527'nin de kalanı 2.
2, 5 ve 10'da son rakama bakılır.
348'in 5'e bölümünden kalan: son rakam 8, $8 : 5$'ten kalan 3.
Bu yöntem dört basamaklı sayılarda bile saniyeler alır; uzun bölme yapmaya gerek yok.
Daha Zor Bir Örnek: Eksik Rakam
"$34A$ üç basamaklı sayısı 3 ile tam bölünüyorsa, A yerine hangi rakamlar gelebilir?"
Rakamlar toplamı: $3 + 4 + A = 7 + A$. Bunun 3'e bölünmesi gerekiyor.
- $A = 2$ → 9 ✔
- $A = 5$ → 12 ✔
- $A = 8$ → 15 ✔
Cevap: 2, 5 veya 8.
Dikkat edin, A bir rakam olduğu için 0-9 arasında olmalı. $A = 11$ gibi bir değer $7+11 = 18$ verirdi ama rakam olmadığı için geçersizdir.
Sınır durum — hem 2 hem 3'e bölünen her sayı 6'ya bölünür, ama hem 2 hem 4'e bölünen her sayı 8'e bölünmez. 12 sayısı hem 2'ye hem 4'e bölünür, 8'e bölünmez. Sebep: 2 ile 3 aralarında asal, 2 ile 4 değil. Kuralları birleştirirken çarpanların aralarında asal olması gerekir.
Sınav ipucu: Asal çarpanlara ayırırken bu kurallarla başlayın: sayı çiftse 2'ye, rakam toplamı 3'ün katıysa 3'e bölün. Deneme yanılma yapmadan doğru asalı seçersiniz.
Sık yapılan hata 1: 4 kuralında yalnız son rakama bakmak. Son İKİ basamak incelenir: 132 → 32, 4'e bölünür ✔; 122 → 22, bölünmez ✘.
Sık yapılan hata 2: 9'a bölünen her sayının 3'e de bölündüğünü unutmak. 9'un katları 3'ün de katıdır, tersi doğru değildir.
Sık yapılan hata 3: Eksik rakam sorularında A'nın rakam olduğunu gözden kaçırmak; A yalnız 0-9 arası değer alabilir.
Özet: 2/5/10 son rakama, 4 son iki basamağa, 3/9 rakam toplamına bakar. 6 kuralı 2 ve 3'ün birleşimidir. Kuralları birleştirmek için çarpanlar aralarında asal olmalı.
Şimdi kendiniz deneyin.
- 2.736 sayısı 4'e bölünür mü?
- $51A$ sayısının 9 ile bölünmesi için A kaç olmalıdır?
- 4.512 sayısı 6'ya bölünür mü?
Cevaplar: (1) Son iki basamak 36, 4'e bölünür → evet · (2) $5+1+A = 6+A$, 9'a bölünmesi için $A = 3$ · (3) Çift ✔, rakam toplamı 12 ✔ → evet.
Sık sorulanlar
Bir sayının 3'e bölünüp bölünmediği nasıl anlaşılır?
Rakamları toplanır; toplam 3'e bölünüyorsa sayı da bölünür. 471 için $4+7+1=12$, bölünür.
6 ile bölünebilme kuralı nedir?
Sayı hem 2 hem 3 kuralını sağlamalıdır, çünkü $6 = 2 \cdot 3$ ve bu iki çarpan aralarında asaldır.
Hem 2'ye hem 4'e bölünen sayı 8'e de bölünür mü?
Hayır. 12 buna örnektir. Kuralları çarparak birleştirmek için çarpanların aralarında asal olması gerekir; 2 ile 4 değildir.