6. Sınıf Çarpanlar ve Katlar — Konu Anlatımı

Masaları Nasıl Dizeriz?

Sınıfta 12 sıra var ve bunları eşit sayıda sütun hâlinde dizmek istiyorsunuz. Kaç farklı şekilde dizebilirsiniz?

• 1 sütun × 12 sıra
• 2 × 6
• 3 × 4
• 4 × 3
• 6 × 2
• 12 × 1

Kullandığınız sayılar: 1, 2, 3, 4, 6, 12. İşte bunlar 12'nin çarpanları (bölenleri). 12'yi kalansız bölen sayılar.

Kat ise ters yönde: 12'nin katları 12, 24, 36, 48… yani 12'yi bir tam sayıyla çarparak elde ettikleriniz.

Kısaca: çarpan sayıyı böler, kat sayıdan büyür. Bir sayının çarpanları sonludur, katları sonsuzdur.

Çarpanları Şaşırmadan Bulmak

Çarpan ararken ikişerli gidin: 1'den başlayın, her seferinde "bununla çarpınca sayıyı ne verir" diye sorun. İki sayı ortada buluşunca durursunuz.

36'nın çarpanları:

• $1 \times 36$
• $2 \times 18$
• $3 \times 12$
• $4 \times 9$
• $6 \times 6$ → burada buluştuk, dururuz

Çarpanlar: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Toplam 9 tane.

Dikkat: $6 \times 6$'da 6 bir kez yazılır, iki kez değil.

Bir deneme: 20'nin çarpanları kaç tanedir?

Cevap: $1\times20$, $2\times10$, $4\times5$ → 1, 2, 4, 5, 10, 20 → 6 tane.

Daha Zor Bir Örnek: Ortak Çarpan ve Ortak Kat

İki sayıyla çalışınca iş ilginçleşir.

"Bir pastacı 18 çikolatalı ve 24 vanilyalı kurabiyeyi, her kutuda aynı sayıda ve tek tür olacak şekilde kutulayacak. En büyük kaçlı kutular kullanabilir?"

Aranan şey ikisini de kalansız bölen en büyük sayı, yani en büyük ortak çarpan:

• 18'in çarpanları: 1, 2, 3, 6, 9, 18
• 24'ün çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
• Ortak olanlar: 1, 2, 3, 6 → en büyüğü 6

6'lı kutular: 3 kutu çikolatalı, 4 kutu vanilyalı.

Şimdi ters tip: "Bir otobüs 12 dakikada, diğeri 18 dakikada bir kalkıyor. İkisi aynı anda kalktıktan kaç dakika sonra yine birlikte kalkar?"

Burada aranan ikisinin de katı olan en küçük sayı, yani en küçük ortak kat:

• 12'nin katları: 12, 24, 36, 48…
• 18'in katları: 18, 36, 54…

Cevap 36 dakika.

Ayırt etme kuralı: "Parçalara bölüyorsak, paylaştırıyorsak" ortak çarpan; "tekrar ediyorsa, birlikte olacaksa" ortak kat aranır.

Sık Yapılan Hatalar ve Sınav İpucu

Sık yapılan hata 1: Çarpan ile katı karıştırmak. 3, 12'nin çarpanıdır; 12, 3'ün katıdır. Cümledeki yön önemlidir.

Sık yapılan hata 2: 1'i ve sayının kendisini çarpan listesine yazmayı unutmak. Her sayı 1'e ve kendisine bölünür.

Sık yapılan hata 3: Problemde EBOB gerekirken EKOK hesaplamak. "En fazla kaç kişiye paylaştırılır" EBOB'dur; "en az kaç dakika sonra buluşur" EKOK'tur.

Sınır durum — 1 ve 0. 1'in tek çarpanı kendisidir. Sıfır ise her sayının katıdır ($5 \cdot 0 = 0$) ama hiçbir sayının çarpanı değildir, çünkü sıfıra bölme tanımsızdır.

Sınav ipucu: Ortak çarpan sorularında sayıları asal çarpanlarına ayırmak listelemekten hızlıdır: $18 = 2 \cdot 3^2$, $24 = 2^3 \cdot 3$; ortak olanların en küçük üslüsü $2 \cdot 3 = 6$.

Özet: Çarpan böler, kat büyütür. Çarpan sonlu, kat sonsuzdur. Paylaştırma → EBOB, tekrar/buluşma → EKOK.

Günlük hayatta nerede karşımıza çıkar? Çarpan ve kat, farkında olmadan sürekli kullandığınız iki fikir. Bir sınıfı eşit gruplara ayırırken çarpanlara bakarsınız: 24 kişilik sınıf 2, 3, 4, 6, 8 ve 12'şerli gruplara bölünebilir ama 5'erli bölünemez. Takvim de katlarla çalışır: her 7 günde bir aynı gün tekrarlar, bu yüzden 7'nin katları haftaları verir. Kutu paketlemede, fayans döşemede, müzikte ritim kalıplarında hep aynı iki soru var — "kaça bölünür" ve "ne zaman tekrarlar".

Şimdi kendiniz deneyin.

1. 48'in kaç tane çarpanı vardır?
2. 16 ve 24'ün en büyük ortak çarpanı kaçtır?
3. Biri 8, diğeri 10 dakikada bir kalkan iki vapur, en az kaç dakika sonra birlikte kalkar?

Cevaplar: (1) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 → 10 tane  ·  (2) 8  ·  (3) EKOK(8,10) = 40 dakika.

Sık sorulanlar