Çarpanlar ve Katlar

1. Şemada 36 sayısı için bir çarpan ağacı çizilmiştir. Ağacın en alt basamağına göre 36 sayısının asal çarpanları hangileridir?

• A) 2 ve 4
• B) 2 ve 3
• C) 3 ve 9
• D) 4 ve 9

Doğru cevap: B — Ağacın uçlarında 2, 2, 3, 3 vardır; asal çarpanlar 2 ve 3'tür.

1. Ağaçta 36 sayısı 4 ve 9 olarak ayrılmış.
2. 4 = 2 × 2 ve 9 = 3 × 3
3. Uçlardaki sayılar asal olanlardır: 2 ve 3

2. 24 sayısının kaç tane doğal sayı çarpanı vardır?

• A) 4
• B) 6
• C) 7
• D) 8

Doğru cevap: D — 24 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24 olmak üzere 8 tanedir.

1. Çarpanları bulmak için 24’ü iki sayının çarpımı olarak yazalım ve 1’den başlayalım: $1 \cdot 24$, $2 \cdot 12$, $3 \cdot 8$, $4 \cdot 6$.
2. Sıradaki sayı 5’tir ama 24, 5’e tam bölünmez. 6’ya geldiğimizde eşi olan 4 zaten listede; demek ki çiftler tamamlandı.
3. Bulduklarımızı sıraya dizelim: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Bu 4 çift eder, yani $4 \cdot 2 = 8$ çarpan.
4. Denetleyelim: her çarpan 24’ü kalansız bölüyor ✓ — örneğin $24 \div 8 = 3$ ve $24 \div 12 = 2$.

3. Kartlarda dört sayı yazılıdır. Bu sayılardan hangisi 6'nın katı değildir?

• A) 15
• B) 12
• C) 18
• D) 24

Doğru cevap: A — 15 sayısı 6’ya tam bölünmediği için 6’nın katı değildir.

1. Bir sayının 6’nın katı olması, 6’ya kalansız bölünmesi demektir. Önce 6’nın katlarını yazalım: 6, 12, 18, 24, 30.
2. Kartlardaki sayıları bu listeyle karşılaştıralım: 12 var, 18 var, 24 var.
3. 15 listede yok. Bölerek de görelim: $15 \div 6 = 2$ ve kalan 3; tam bölünmüyor.
4. Denetleyelim: $6 \cdot 2 = 12$ ve $6 \cdot 3 = 18$; 15 bu iki katın arasında kalıyor ✓ — bu yüzden 6’nın katı olamaz.

4. Çarpan ağacına göre 60 sayısının asal çarpanlara ayrılmış biçimi hangisidir?

• A) 2 × 30
• B) 4 × 15
• C) 2² × 3 × 5
• D) 2 × 3 × 10

Doğru cevap: C — Çarpan ağacının uçlarında 2, 2, 3 ve 5 vardır; bu da 60 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi olan $2^2 \cdot 3 \cdot 5$ demektir.

1. Asal çarpanlara ayırmak, sayıyı yalnız asal sayıların çarpımı olarak yazmaktır. Ağacın uçlarındaki sayıları okuyalım: 2, 3, 2, 5.
2. Bu sayıları küçükten büyüğe dizelim: 2, 2, 3, 5. İki tane 2 olduğu için üslü yazarız: $2^2$.
3. Çarpımı kuralım: $2^2 \cdot 3 \cdot 5$.
4. Denetleyelim: $2^2 = 4$, sonra $4 \cdot 3 = 12$ ve $12 \cdot 5 = 60$ ✓ — başladığımız sayıya geri döndük.

5. Bir öğretmen 18 kalem ile 24 defteri hiç artmayacak biçimde eşit olarak öğrencilere dağıtacaktır. En fazla kaç öğrenciye dağıtabilir?

• A) 3
• B) 4
• C) 5
• D) 6

Doğru cevap: D — Hiç artmadan eşit dağıtım istendiği için EBOB(18, 24) = 6 bulunur; en fazla 6 öğrenciye dağıtılabilir.

1. Her öğrenciye eşit sayıda kalem ve eşit sayıda defter düşecek, hiç artmayacak. Demek ki öğrenci sayısı hem 18’i hem 24’ü tam bölmeli.
2. 18’in çarpanları: 1, 2, 3, 6, 9, 18. 24’ün çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
3. Ortak çarpanlar 1, 2, 3 ve 6’dır. Soru "en fazla" dediği için en büyüğünü alırız: 6.
4. Denetleyelim: $18 \div 6 = 3$ kalem ve $24 \div 6 = 4$ defter ✓ — ikisi de tam bölündü, artan yok.

6. İki gemi bugün limandan birlikte hareket etmiştir. Tabloya göre bu gemiler en az kaç gün sonra yeniden birlikte yola çıkar?

• A) 16
• B) 24
• C) 32
• D) 48

Doğru cevap: B — İki geminin yeniden birlikte yola çıkması için EKOK(8, 12) = 24 gün geçmelidir.

1. A gemisi 8 günde bir, B gemisi 12 günde bir yola çıkıyor. Birlikte çıkacakları gün hem 8’in hem 12’nin katı olmalı.
2. 8’in katları: 8, 16, 24, 32. 12’nin katları: 12, 24, 36.
3. İki listede ilk kez birlikte görünen sayı 24’tür; "en az" istendiği için ortak katların en küçüğünü alırız.
4. Denetleyelim: $24 \div 8 = 3$ ve $24 \div 12 = 2$ ✓ — A gemisi 3, B gemisi 2 sefer tamamlamış oluyor.

7. Venn şemasında 12 ile 18 sayısının asal çarpanları yerleştirilmiştir. Buna göre bu iki sayının EBOB'u kaçtır?

• A) 2
• B) 3
• C) 6
• D) 12

Doğru cevap: C — Ortak bölgedeki çarpanların çarpımı EBOB'u verir: 2 × 3 = 6.

1. 12 = 2 × 2 × 3 ve 18 = 2 × 3 × 3
2. Ortak bölgede 2 ve 3 bulunur.
3. EBOB = 2 × 3 = 6

8. Aşağıdakilerden hangisi 45 sayısının çarpanı değildir?

• A) 6
• B) 9
• C) 15
• D) 5

Doğru cevap: A — 45 sayısı 6’ya tam bölünmediği için 6, 45’in çarpanı değildir.

1. 45’in çarpanlarını çiftler hâlinde bulalım: $1 \cdot 45$, $3 \cdot 15$, $5 \cdot 9$. Liste: 1, 3, 5, 9, 15, 45.
2. Seçeneklerdeki 9, 15 ve 5 bu listede bulunuyor; üçü de 45’in çarpanıdır.
3. 6 ise listede yok. Bölelim: $45 \div 6 = 7$ ve kalan 3. Kalan sıfır olmadığı için 6 çarpan değildir.
4. Denetleyelim: 45 tek sayıdır, 6 ise çifttir; tek bir sayı çift bir sayıya hiçbir zaman tam bölünmez ✓.

9. Şekilde 36 birim kareden oluşan bir dikdörtgen verilmiştir. 36 birim kare kullanılarak oluşturulacak dikdörtgenin kenarları aşağıdakilerden hangisi olamaz?

• A) 4 ve 9
• B) 6 ve 6
• C) 3 ve 12
• D) 5 ve 7

Doğru cevap: D — 36 birim kareyle kenarları 5 ve 7 olan bir dikdörtgen kurulamaz; çünkü $5 \cdot 7 = 35$ eder, 36 etmez.

1. Birim karelerle kurulan dikdörtgenin alanı kenar uzunluklarının çarpımına eşittir. Öyleyse kenarlar 36’nın çarpan çifti olmalıdır.
2. 36’nın çarpan çiftlerini yazalım: $1 \cdot 36$, $2 \cdot 18$, $3 \cdot 12$, $4 \cdot 9$, $6 \cdot 6$.
3. Seçeneklerden 4 ve 9, 6 ve 6, 3 ve 12 bu listede var. 5 ile 7 yok: $5 \cdot 7 = 35$ eder, bir kare eksik kalır.
4. Denetleyelim: 36 sayısı 5’e tam bölünmüyor ($36 \div 5 = 7$ kalan 1) ✓ — 5 bir çarpan olmadığı için o kenar kurulamaz.

10. 18 sayısının katları aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

• A) 18, 36, 54, 72
• B) 1, 2, 3, 6, 9, 18
• C) 18, 27, 36, 45
• D) 2, 3, 18, 36

Doğru cevap: A — Bir sayının katları onun 1, 2, 3 ... ile çarpımlarıdır; 18’in katları 18, 36, 54, 72 biçiminde ilerler.

1. Katları üretelim: $18 \cdot 1 = 18$, $18 \cdot 2 = 36$, $18 \cdot 3 = 54$, $18 \cdot 4 = 72$.
2. Bulduğumuz dizi seçeneklerden biriyle birebir aynı: 18, 36, 54, 72.
3. Öteki seçeneklerdeki sayılar ya 18’i bölenlerdir ya da içlerinde 18’e tam bölünmeyenler vardır; bu yüzden kat listesi olamazlar.
4. Denetleyelim: $36 \div 18 = 2$, $54 \div 18 = 3$, $72 \div 18 = 4$ ✓ — hepsi 18’e kalansız bölünüyor.

11. Şemada 72 sayısı asal çarpanlarına ayrılmıştır. Birbirinden farklı asal çarpanların toplamı kaçtır?

• A) 3
• B) 4
• C) 5
• D) 6

Doğru cevap: C — 72 = 2³ × 3² olduğundan farklı asal çarpanlar 2 ve 3'tür; 2 + 3 = 5.

1. Ağacın uçları: 2, 2, 2, 3, 3
2. Farklı asal çarpanlar 2 ve 3'tür.
3. 2 + 3 = 5

12. Bir sayının bütün çarpanları 1, 2, 4, 5, 10 ve 20'dir. Bu sayının en büyük asal çarpanı kaçtır?

• A) 2
• B) 5
• C) 10
• D) 20

Doğru cevap: B — Çarpanları 1, 2, 4, 5, 10 ve 20 olan sayı 20’dir; asal çarpanlarının en büyüğü 5’tir.

1. Bir sayının en büyük çarpanı kendisidir. Listedeki en büyük sayı 20 olduğuna göre sayımız 20’dir.
2. Şimdi listedekilerden asal olanları seçelim. Asal sayının yalnız iki çarpanı vardır: 1 ve kendisi. 1 asal değildir, 2 asaldır, 4 asal değildir ($4 = 2 \cdot 2$), 5 asaldır, 10 ile 20 de asal değildir.
3. Geriye asal olarak 2 ve 5 kalıyor; bunların büyüğü 5’tir.
4. Denetleyelim: $20 = 2^2 \cdot 5$ ✓ — asal çarpanlar yalnız 2 ile 5, en büyüğü de 5.

13. Bugün iki eczane de nöbetçidir. Tablodaki nöbet aralıklarına göre kaç gün sonra ilk kez yine birlikte nöbetçi olurlar?

• A) 8
• B) 10
• C) 24
• D) 12

Doğru cevap: D — İki eczanenin yeniden aynı gün nöbetçi olması için EKOK(4, 6) = 12 gün geçmelidir.

1. Şifa 4 günde bir, Umut 6 günde bir nöbet tutuyor. Birlikte nöbetçi oldukları gün hem 4’ün hem 6’nın katı olmalı.
2. 4’ün katları: 4, 8, 12, 16. 6’nın katları: 6, 12, 18.
3. İlk ortak kat 12’dir; "ilk kez" sorulduğu için bu sayıyı alırız.
4. Denetleyelim: $12 \div 4 = 3$ (Şifa’nın 3. nöbeti) ve $12 \div 6 = 2$ (Umut’un 2. nöbeti) ✓ — ikisi de aynı güne düşüyor.

14. Kartlardaki sayılardan hangisi hem 3'ün hem de 4'ün katıdır?

• A) 14
• B) 24
• C) 33
• D) 40

Doğru cevap: B — 24 sayısı hem 3’e hem 4’e kalansız bölündüğü için ikisinin de katıdır.

1. Kartlardaki sayıları 3’e bölelim: 14 kalanlı, $24 \div 3 = 8$ tam, $33 \div 3 = 11$ tam, 40 kalanlı. 3’ün katları 24 ile 33.
2. Şimdi 4’e bölelim: $24 \div 4 = 6$ tam, $40 \div 4 = 10$ tam. 4’ün katları 24 ile 40.
3. İki listede birden bulunan tek sayı 24’tür.
4. Denetleyelim: $3 \cdot 8 = 24$ ve $4 \cdot 6 = 24$ ✓ — 24 iki sayının da katı.

15. Bir marangoz 30 cm ve 45 cm uzunluğundaki iki çubuğu hiç artık kalmayacak biçimde eşit parçalara ayıracaktır. Bir parça en fazla kaç santimetre olabilir?

• A) 15
• B) 10
• C) 5
• D) 9

Doğru cevap: A — EBOB(30, 45) = 15 olduğundan en uzun parça 15 cm'dir.

1. 30 = 2 × 3 × 5 ve 45 = 3 × 3 × 5
2. Ortak çarpanlar: 3 ve 5
3. EBOB = 3 × 5 = 15 cm