7. Sınıf Çember ve Daire — Konu Anlatımı

Bir Deneyle Başlayalım

Elinize yuvarlak bir şey alın: bardak altlığı, konserve kutusu, saat. Çevresini bir iple sarıp ipin boyunu ölçün. Sonra çapını ölçün. İki ölçümü bölün: çevre ÷ çap.

Hangi nesneyi seçerseniz seçin, sonuç hep aynı civarda çıkar: yaklaşık 3,14. Bardak da olsa, tekerlek de olsa, Dünya'nın ekvatoru da olsa.

İşte bu değişmeyen sayıya $\pi$ (pi) diyoruz. $\pi$ bir formülün parçası olarak ezberlenecek bir şey değil; her çemberde saklı olan bir orandır. Bu yüzden çevre bağıntısı şaşırtıcı değildir:

$\text{Çevre} = \pi \cdot \text{çap} = 2\pi r$

İşlemlerde genellikle $\pi \approx 3$ ya da $\pi \approx 3,14$ alınır; soru hangisini istiyorsa o kullanılır.

Çember mi, Daire mi?

Bu ikisi günlük dilde karıştırılır ama matematikte farklıdır:

• Çember: yalnızca kenar çizgisi. Bir bisiklet jantı gibi. Uzunluğu vardır, alanı yoktur.
• Daire: çember ve içinin tamamı. Bir madenî para gibi. Alanı vardır.

Bu yüzden "çemberin alanı" diye bir şey yoktur; "dairenin alanı" vardır:

$\text{Alan} = \pi r^2$

Yarıçapı 5 cm olan bir dairede ($\pi = 3$ alalım):

• Çevre: $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ cm
• Alan: $3 \cdot 5^2 = 75$ cm²

Birimlere dikkat: çevre cm, alan cm². Sonucun birimi, doğru bağıntıyı kullanıp kullanmadığınızın en hızlı kontrolüdür.

Daire Dilimi: Pizza Mantığı

Bir daireyi tam tur döndüğünüzde 360° dönmüş olursunuz. O hâlde 90°'lik bir dilim, dairenin $\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$'üdür.

Buradan iki bağıntı birden çıkar:

$\text{Yay uzunluğu} = \frac{\alpha}{360} \cdot 2\pi r$

$\text{Daire dilimi alanı} = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2$

Her ikisinde de aynı oran var: $\frac{\alpha}{360}$. Ezberlemeniz gereken tek şey bu kesir; gerisi zaten bildiğiniz çevre ve alan bağıntısı.

Örnek: Yarıçapı 6 cm olan dairede 60°'lik dilimin alanı nedir? ($\pi = 3$)

$\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$. Tam daire alanı $3 \cdot 36 = 108$ cm². Dilim: $108 : 6 = 18$ cm².

Şimdi siz deneyin: aynı dairede 60°'lik yayın uzunluğu kaç cm'dir?

Cevap: Tam çevre $2 \cdot 3 \cdot 6 = 36$ cm; altıda biri 6 cm.

Daha Zor Bir Örnek: Taralı Alan

Sınavda daire tek başına pek gelmez; bir karenin içine ya da iki daire iç içe konur ve aradaki taralı alan sorulur.

Kenar uzunluğu 10 cm olan bir karenin içine, kareye tam oturan bir daire çizilmiştir. Karenin içinde kalan taralı (daire dışı) alan kaç cm²'dir? ($\pi = 3$)

1. Kare tam oturduğuna göre dairenin çapı karenin kenarına eşittir: 10 cm. Demek ki yarıçap 5 cm.
2. Kare alanı: $10 \cdot 10 = 100$ cm²
3. Daire alanı: $3 \cdot 5^2 = 75$ cm²
4. Taralı alan: $100 - 75 = 25$ cm²

Birinci adım bu tip soruların tamamının anahtarıdır: verilen uzunluk çap mı yarıçap mı? "Kareye tam oturmuş daire" her zaman çap = kenar demektir.

Sınır durum — iç içe iki daire (halka). Dış yarıçap 8, iç yarıçap 5 ise halkanın alanı $\pi(8^2 - 5^2) = \pi(64 - 25) = 39\pi$'dir. Dikkat: $\pi(8-5)^2 = 9\pi$ değildir. Kareler önce ayrı ayrı alınır, sonra çıkarılır — bu iki ifade birbirine eşit değildir.

Sık Yapılan Hatalar ve Sınav İpucu

Sık yapılan hata 1: Yarıçap yerine çapın formüle konması. Soruda "çapı 10 cm" diyorsa alan $\pi \cdot 10^2$ değil, $\pi \cdot 5^2$'dir. Bu tek harf farkı sonucu dört katına çıkarır.

Sık yapılan hata 2: Alan bağıntısında $r^2$ yerine $2r$ yazmak. $\pi r^2$ ile $2\pi r$ karıştırılınca alan, çevreye dönüşür.

Sık yapılan hata 3: Daire diliminde $\frac{\alpha}{360}$ oranını yalnız alana uygulayıp yay uzunluğunda unutmak. Aynı oran ikisinde de kullanılır.

Sınav ipucu: Yarıçapı iki katına çıkan dairede çevre 2 katına, alan 4 katına çıkar. "Yarıçap iki katına çıkarsa alan kaç katı olur?" sorusu her yıl farklı kılıkta sorulur; cevabı hesap yapmadan bilirsiniz.

Özet: $\pi$, çevrenin çapa oranıdır. Çevre $2\pi r$, alan $\pi r^2$. Dilimde her şey $\frac{\alpha}{360}$ ile çarpılır. Formüle giren yarıçaptır, çap değil.

Sık sorulanlar