Fonksiyonlarla Dört İşlem Nedir?
İki fonksiyonun aynı $x$ için verdiği çıktılar toplanır, çıkarılır, çarpılır ya da bölünür. Yeni fonksiyonun $x$’teki değeri, eski iki değerin işlemidir:
| İşlem | Tanım | Ek koşul |
|---|---|---|
| Toplam | $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ | — |
| Fark | $(f - g)(x) = f(x) - g(x)$ | — |
| Çarpım | $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ | — |
| Bölüm | $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$ | $g(x) \neq 0$ |
| Sabitle çarpım | $(c \cdot f)(x) = c \cdot f(x)$ | — |
Hepsinde tanım kümesi, iki fonksiyonun ortak tanımlı olduğu yerdir, yani tanım kümelerinin kesişimi. Bölümde buna ek olarak paydayı sıfır yapan noktalar çıkarılır.
Toplama ve çarpma değişmelidir: $(f + g)(x) = (g + f)(x)$ ve $(f \cdot g)(x) = (g \cdot f)(x)$ her zaman doğrudur. Fark ve bölüm değişmeli değildir.
Kuraldan Değer Bulma: İki Yol
$f(x) = x^2 + 1$ ve $g(x) = 3x - 2$ olsun.
Yol 1 — Önce değerler, sonra işlem: $f(2) = 5$, $g(2) = 4$ → $(f + g)(2) = 5 + 4 = 9$.
Yol 2 — Önce kural, sonra değer: $(f + g)(x) = x^2 + 3x - 1$ → $(f + g)(2) = 4 + 6 - 1 = 9$.
İki yol aynı sonucu verir. Tek bir değer isteniyorsa Yol 1 daha kısadır; kural isteniyorsa Yol 2 zorunludur.
Farkta parantez şart. $f(x) = 2x + 1$, $g(x) = x - 5$ için:
$(f - g)(x) = (2x + 1) - (x - 5) = 2x + 1 - x + 5 = x + 6$
Parantezi unutup $2x + 1 - x - 5 = x - 4$ yazmak, bu konudaki en yaygın hatadır: eksi, $g$’nin bütün terimlerine dağılmalıdır.
Çözümlü örnek 1. $f(x) = x^2 - x$, $g(x) = 4 - x$ ise $(2f - g)(3)$ kaçtır?
- $f(3) = 9 - 3 = 6$, $g(3) = 4 - 3 = 1$.
- $(2f - g)(3) = 2 \cdot f(3) - g(3) = 2 \cdot 6 - 1 = 11$.
Çözümlü örnek 2 (parametre). $f(x) = ax + 1$, $g(x) = x - 2$ ve $(f \cdot g)(4) = 18$ ise $a$ kaçtır?
- $f(4) = 4a + 1$, $g(4) = 2$.
- $(4a + 1) \cdot 2 = 18 \Rightarrow 4a + 1 = 9 \Rightarrow a = 2$.
Tablodan Değer Okuma
Fonksiyonlar kural yerine tabloyla verilebilir. Her değer tablodan ayrı ayrı okunur, sonra işlem yapılır.
| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | 2 | 4 | −1 | 3 |
| $g(x)$ | 1 | 0 | 3 | 2 |
- $(f + g)(2) = -1 + 3 = 2$
- $(f \cdot g)(3) = 3 \cdot 2 = 6$
- $\left(\dfrac{f}{g}\right)(1) = \dfrac{4}{0}$ → tanımsız; $x = 1$ bölüm fonksiyonunun tanım kümesinde değildir.
- $(f \circ g)(1) = f(g(1)) = f(0) = 2$
- $(g \circ f)(3) = g(f(3)) = g(3) = 2$
Bileşkede tabloya iki kez bakılır: önce içteki fonksiyonun satırından çıktı okunur, o çıktı bu kez $x$ satırında aranır.
Tanım Kümesi
Kesişim kuralı: $f$ yalnız $[-1, 6]$ aralığında, $g$ yalnız $[2, 8]$ aralığında tanımlıysa $f + g$, $f - g$ ve $f \cdot g$ yalnız $[2, 6]$ aralığında tanımlıdır. Bir değeri hesaplamak için iki çıktının da var olması gerekir.
Köklü ve kesirli kurallarda iki koşul birlikte yazılır: kök içi negatif olamaz, payda sıfır olamaz.
Çözümlü örnek 3. $f(x) = \sqrt{x + 2}$, $g(x) = x - 3$ için $\dfrac{f}{g}$ ve $\dfrac{g}{f}$ fonksiyonlarının tanım kümelerini bulun.
- $f$ için $x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$; $g$ her yerde tanımlı.
- $\dfrac{f}{g}$: payda $g(x) = x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$. Tanım kümesi $[-2, \infty) - \{3\}$.
- $\dfrac{g}{f}$: payda $f(x) = \sqrt{x + 2} \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$. Tanım kümesi $(-2, \infty)$.
Aynı iki fonksiyon, bölümün yönü değişince farklı tanım kümesi verdi: sıfırı dışlanan fonksiyon, paydadaki fonksiyondur.
Gerçek Hayat Modelleri: Gelir, Maliyet, Kâr
Ekonomi soruları dört işlemin en sık görülen uygulamasıdır:
- Kâr = Gelir − Maliyet: $K(x) = G(x) - M(x)$
- Gelir = Birim fiyat × Satış adedi: $G(x) = F(x) \cdot S(x)$
- Toplam üretim: iki makinenin üretimi $(A + B)(t) = A(t) + B(t)$
Çözümlü örnek 4. Bir atölyenin $x$ tane çanta için maliyeti $M(x) = 15x + 800$ TL, geliri $G(x) = 40x$ TL’dir. 50 çantada kâr kaç TL’dir, atölye kaçıncı çantadan sonra kâra geçer?
- $K(x) = 40x - (15x + 800) = 25x - 800$.
- $K(50) = 1250 - 800 = 450$ TL.
- Başa baş noktası: $25x - 800 = 0 \Rightarrow x = 32$. 32 çantada kâr sıfırdır; 33. çantadan itibaren kâr pozitif olur.
Çözümlü örnek 5. Bir ürünün $t$. haftadaki birim fiyatı $F(t) = 60 + 2t$ TL, satış adedi $S(t) = 100 - 5t$ olsun. 4. haftanın geliri?
- $F(4) = 68$, $S(4) = 80$.
- $G(4) = (F \cdot S)(4) = 68 \cdot 80 = 5440$ TL.
Bileşke Fonksiyon
Bileşkede bir fonksiyonun çıktısı ötekinin girdisi olur:
$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ — "f bileşke g", önce $g$ uygulanır.
Okuma yönü sağdan soladır: $f \circ g$ yazılışında $g$ sağda durur ve ilk o çalışır.
Çözümlü örnek 6. $f(x) = 2x + 1$ ve $g(x) = x^2$ için $(f \circ g)(x)$ ve $(g \circ f)(x)$ kurallarını bulun.
- $(f \circ g)(x) = f(x^2) = 2x^2 + 1$
- $(g \circ f)(x) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$
- $x = 3$ için: $(f \circ g)(3) = 19$, $(g \circ f)(3) = 49$.
Sonuçlar farklı: bileşke genel olarak değişmeli değildir, $f \circ g \neq g \circ f$. Sıra, bileşkede her şeydir.
Bileşkenin tanım kümesi: $x$ önce $g$’nin tanım kümesinde olmalı, ardından $g(x)$ değeri $f$’nin tanım kümesine düşmelidir.
Çarpım mı, Bileşke mi?
$(f \cdot g)(2)$ ile $(f \circ g)(2)$ birbirine çok benzer görünür ama bambaşka işlemlerdir.
$f(x) = x + 1$, $g(x) = 3x$ için:
| İfade | Anlamı | Sonuç |
|---|---|---|
| $(f \cdot g)(2)$ | $f(2) \cdot g(2) = 3 \cdot 6$ | 18 |
| $(f \circ g)(2)$ | $f(g(2)) = f(6)$ | 7 |
| $(g \circ f)(2)$ | $g(f(2)) = g(3)$ | 9 |
Hata bulma sorularında öğrencinin çözümünde $f(2) \cdot g(2)$ yerine $f(g(2))$ hesaplanmış olur ya da tersi. Sembole bak: nokta ($\cdot$) çarpım, halka ($\circ$) bileşkedir.
Ters Soru: Bilinmeyen Fonksiyonu Bulma
Çözümlü örnek 7. $f(x) = 3x - 1$ ve $(f \circ g)(x) = 6x + 5$ ise $g(x)$ nedir?
- $f(g(x)) = 3g(x) - 1$ yazılır (f’nin kuralında $x$ yerine $g(x)$).
- $3g(x) - 1 = 6x + 5 \Rightarrow 3g(x) = 6x + 6 \Rightarrow g(x) = 2x + 2$.
- Denetleme: $f(2x + 2) = 3(2x + 2) - 1 = 6x + 5$ ✓
Çözümlü örnek 8 (denklem sistemi). $(f + g)(x) = 5x + 1$ ve $(f - g)(x) = x + 7$ ise $f$ ve $g$ nedir?
- İki eşitlik taraf tarafa toplanır: $2f(x) = 6x + 8 \Rightarrow f(x) = 3x + 4$.
- İlk eşitlikten: $g(x) = (5x + 1) - (3x + 4) = 2x - 3$.
- Denetleme: $f - g = (3x + 4) - (2x - 3) = x + 7$ ✓
Çözümlü örnek 9. $f(x) = x + a$, $g(x) = 2x$ ve $(f \circ g)(1) = 7$ ise $a$ kaçtır? $g(1) = 2$, $f(2) = 2 + a = 7 \Rightarrow a = 5$.
Sık Yapılan Hatalar
- Farkta parantezi unutmak. $f - g$ yazarken $g$’nin bütün terimleri işaret değiştirir.
- Çarpımla bileşkeyi karıştırmak. $(f \cdot g)(a) = f(a)g(a)$; $(f \circ g)(a) = f(g(a))$.
- Bileşkeyi soldan okumak. $f \circ g$’de önce $g$ çalışır.
- Bileşkeyi değişmeli sanmak. $f \circ g$ ile $g \circ f$ çoğunlukla farklıdır.
- Bölümde paydayı sıfır yapan noktayı atlamak. Tablo sorularında $g(x) = 0$ olan sütun tanımsızdır.
- Tanım kümesini birleşim almak. Doğrusu kesişimdir; iki fonksiyon da tanımlı olmalı.
Özet
- $(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x)$, $(f \cdot g)(x) = f(x)g(x)$, $(f/g)(x) = f(x)/g(x)$, $g(x) \neq 0$.
- Tanım kümesi kesişimdir; bölümde paydanın sıfırları çıkarılır.
- Kâr = Gelir − Maliyet; Gelir = Fiyat × Adet.
- $(f \circ g)(x) = f(g(x))$: önce içteki; bileşke değişmeli değildir.
- Bilinmeyen fonksiyon: bileşkeyi kurala dök, eşitle, çöz, geri yerleştirip denetle.
Sık sorulanlar
(f + g)(2) bulmak için önce kuralı mı yazmalıyım?
Gerekmez. f(2) ve g(2) ayrı ayrı hesaplanıp toplanabilir; iki yol da aynı sonucu verir. Kural yalnız soru onu istediğinde gereklidir.
f bileşke g ile g bileşke f aynı olabilir mi?
Bazı özel fonksiyon çiftlerinde olabilir (örneğin f(x) = x + 2, g(x) = x + 5), ama genel kural değildir. Soruda eşit olduklarını varsaymadan ikisini ayrı hesaplayın.
Bölüm fonksiyonunun tanım kümesi nasıl bulunur?
Önce iki fonksiyonun tanım kümelerinin kesişimi alınır, sonra paydadaki fonksiyonu sıfır yapan x değerleri bu kümeden çıkarılır.
Bileşkede tabloyu nasıl kullanırım?
İçteki fonksiyonun değerini tablodan okuyun, çıkan sayıyı bu kez x satırında bulup dıştaki fonksiyonun değerini okuyun. Tabloya iki kez bakılır.