Fonksiyonlarla Dört İşlem ve Fonksiyonların Bileşkesi

1. Kartta iki fonksiyon verilmiştir. Buna göre (f + g)(2) değeri kaçtır?

f(x) = 2x + 1, g(x) = x² − 3

• A) 5
• B) 1
• C) 10
• D) 6
• E) 4

Doğru cevap: D — (f + g)(2) = f(2) + g(2) = 5 + 1 = 6.

1. Ne soruluyor: iki fonksiyonun toplamının x = 2'deki değeri. Kural: (f + g)(x) = f(x) + g(x).
2. f(2) = 2 × 2 + 1 = 5.
3. g(2) = 2² − 3 = 1. Toplam 5 + 1 = 6.
4. Denetleme: (f + g)(x) = x² + 2x − 2; x = 2 için 4 + 4 − 2 = 6 ✓.
5. Sık yapılan hata: 5 demek. Yalnız f(2) hesaplanıp g(2) eklenmemiştir; toplam fonksiyonu iki değeri birden kullanır.

2. f(x) = 3x + 4 ve g(x) = x − 2 fonksiyonları veriliyor. (f − g)(x) fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 2x + 2
• B) 2x + 6
• C) 4x + 2
• D) 3x + 2
• E) 2x − 6

Doğru cevap: B — (f − g)(x) = (3x + 4) − (x − 2) = 3x + 4 − x + 2 = 2x + 6.

1. Ne soruluyor: iki fonksiyonun farkının kuralı.
2. g(x) parantez içinde çıkarılır: (3x + 4) − (x − 2).
3. Parantez açılınca işaretler değişir: 3x + 4 − x + 2 = 2x + 6.
4. Denetleme: x = 1 için f(1) − g(1) = 7 − (−1) = 8 ve 2 × 1 + 6 = 8 ✓.
5. Sık yapılan hata: 2x + 2 demek. g(x)'in sabit terimi −2 çıkarılırken işareti değiştirilmemiştir; −(−2) = +2 olur.

3. Karttaki fonksiyonların çarpımı olan (f × g)(x) fonksiyonu yazılacaktır. Bu fonksiyonun kuralı hangisidir?

f(x) = x + 3, g(x) = x − 3

• A) x² + 9
• B) 2x
• C) x² − 6x − 9
• D) 2x² − 9
• E) x² − 9

Doğru cevap: E — (f × g)(x) = (x + 3)(x − 3) = x² − 9 (iki kare farkı).

1. Ne soruluyor: iki fonksiyonun çarpımının kuralı. Kural: (f × g)(x) = f(x) × g(x).
2. (x + 3)(x − 3) çarpımı dağıtılır: x² − 3x + 3x − 9.
3. Orta terimler birbirini götürür: x² − 9.
4. Denetleme: x = 4 için f(4) × g(4) = 7 × 1 = 7 ve 4² − 9 = 7 ✓.
5. Sık yapılan hata: 2x demek. Bu, fonksiyonları çarpmak yerine toplamaktır: (x + 3) + (x − 3) = 2x.

4. f(x) = x + 1 ve g(x) = x − 4 fonksiyonları gerçek sayılarda tanımlıdır. (f/g)(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi hangisidir?

• A) ℝ − {4}
• B) ℝ − {−1}
• C) ℝ − {−4}
• D) ℝ
• E) ℝ − {−1, 4}

Doğru cevap: A — Bölüm fonksiyonunda payda sıfır olamaz: x − 4 ≠ 0, x ≠ 4. Tanım kümesi ℝ − {4}.

1. Ne soruluyor: (f/g)(x) = (x + 1)/(x − 4) ifadesinin tanımsız olduğu noktalar.
2. f ve g her gerçek sayıda tanımlı; tek kısıt paydanın sıfır olmamasıdır.
3. x − 4 = 0 ise x = 4; bu değer tanım kümesinden çıkarılır: ℝ − {4}.
4. Denetleme: x = −1 için (f/g)(−1) = 0/(−5) = 0 tanımlıdır ✓; x = 4 için 5/0 tanımsızdır ✓.
5. Sık yapılan hata: ℝ − {−1, 4} demek. Payın sıfır olması bölümü tanımsız yapmaz; bölüm yalnız 0 olur.

5. Tabloda f ve g fonksiyonlarının bazı değerleri verilmiştir. Buna göre (2f − g)(2) değeri kaçtır?

• A) 13
• B) 6
• C) 15
• D) 8
• E) −15

Doğru cevap: C — (2f − g)(2) = 2 × f(2) − g(2) = 2 × 7 − (−1) = 15.

1. Ne soruluyor: 2f − g fonksiyonunun x = 2'deki değeri.
2. Tablodan f(2) = 7 ve g(2) = −1 okunur.
3. 2 × 7 − (−1) = 14 + 1 = 15.
4. Denetleme: negatif bir değeri çıkarmak toplamaktır; 14'ün 1 fazlası 15 ✓.
5. Sık yapılan hata: 13 demek. g(2) = −1 çıkarılırken 14 − 1 yazılmış; eksi ile eksi artı verir.

6. Bir atölyede x adet ürünün satışından elde edilen gelir G(x) = 45x TL, üretim maliyeti M(x) = 20x + 500 TL'dir. Kâr fonksiyonu K = G − M olduğuna göre 60 ürün satıldığında kâr kaç TL olur?

• A) 1500
• B) 2200
• C) 700
• D) 2700
• E) 1000

Doğru cevap: E — K(x) = 45x − (20x + 500) = 25x − 500; K(60) = 1500 − 500 = 1000 TL.

1. Ne soruluyor: fark fonksiyonu olarak tanımlanan kârın x = 60'taki değeri.
2. K(x) = G(x) − M(x) = 45x − 20x − 500 = 25x − 500.
3. K(60) = 25 × 60 − 500 = 1500 − 500 = 1000 TL.
4. Denetleme: G(60) = 2700 ve M(60) = 1700; 2700 − 1700 = 1000 ✓.
5. Sık yapılan hata: 1500 demek. 25 × 60 bulunduktan sonra sabit gider olan 500 TL düşülmemiştir.

7. f(x) = x² − 1 ve g(x) = x + 1 fonksiyonları veriliyor. (f/g)(3) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 2
• B) 4
• C) 8
• D) 3
• E) 1/2

Doğru cevap: A — (f/g)(3) = f(3)/g(3) = 8/4 = 2; kısaca (x² − 1)/(x + 1) = x − 1 olduğundan 3 − 1 = 2.

1. Ne soruluyor: bölüm fonksiyonunun x = 3'teki değeri.
2. f(3) = 9 − 1 = 8 ve g(3) = 3 + 1 = 4.
3. 8 ÷ 4 = 2.
4. Denetleme: x² − 1 = (x − 1)(x + 1) olduğundan x ≠ −1 için bölüm x − 1; x = 3 için 2 ✓.
5. Sık yapılan hata: 8 demek. Yalnız pay hesaplanıp paydaya bölünmemiştir.

8. f(x) = 2x + a ve g(x) = x − 1 fonksiyonları için (f + g)(2) = 10 olduğu biliniyor. Buna göre a kaçtır?

• A) 9
• B) 1
• C) 5
• D) 6
• E) −5

Doğru cevap: C — (f + g)(2) = (4 + a) + 1 = 5 + a = 10, buradan a = 5.

1. Ne soruluyor: toplam fonksiyonun değeri verildiğinde bilinmeyen katsayı (ters soru).
2. f(2) = 2 × 2 + a = 4 + a; g(2) = 2 − 1 = 1.
3. (4 + a) + 1 = 10 → a = 5.
4. Denetleme: a = 5 için f(2) = 9 ve 9 + 1 = 10 ✓.
5. Sık yapılan hata: 6 demek. 4 + a = 10 yazılıp g(2) = 1 unutulmuştur.

9. Karttaki fonksiyonlar kullanılarak (f ∘ g)(1) + (g ∘ f)(1) toplamı hesaplanacaktır. Bu toplam kaçtır?

f(x) = x + 2, g(x) = 3x

• A) 10
• B) 12
• C) 18
• D) 14
• E) 16

Doğru cevap: D — (f ∘ g)(1) = f(3) = 5 ve (g ∘ f)(1) = g(3) = 9; toplam 14.

1. Ne soruluyor: iki bileşkenin değerlerinin toplamı; bileşkede içteki fonksiyon önce uygulanır.
2. (f ∘ g)(1) = f(g(1)) = f(3) = 3 + 2 = 5.
3. (g ∘ f)(1) = g(f(1)) = g(3) = 9. Toplam 5 + 9 = 14.
4. Denetleme: f ∘ g = 3x + 2 ve g ∘ f = 3x + 6; x = 1 için 5 + 9 = 14 ✓.
5. Sık yapılan hata: 10 demek. İki bileşkeyi eşit sanıp 5 + 5 yazmak; bileşkede sıra değişirse sonuç genellikle değişir.

10. Gerçek sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları için bazı eşitlikler yazılmıştır. Bu eşitliklerden hangisi her zaman doğrudur?

• A) f ∘ g = g ∘ f
• B) f + g = g + f
• C) f − g = g − f
• D) f/g = g/f
• E) (f × g)(x) = f(g(x))

Doğru cevap: B — (f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x); gerçek sayılarda toplama değişmeli olduğundan her zaman doğrudur.

1. Ne soruluyor: fonksiyon işlemlerinden hangisinin değişme özelliği taşıdığı.
2. Toplamda her x için f(x) + g(x) = g(x) + f(x); sayılarda toplama değişmelidir.
3. Fark ve bölüm değişmeli değildir; bileşke de genel olarak değildir. Çarpım bileşkeyle aynı şey değildir.
4. Denetleme: f(x) = x + 2, g(x) = 3x için f ∘ g = 3x + 2 ama g ∘ f = 3x + 6; eşit değil ✓.
5. Sık yapılan hata: f ∘ g = g ∘ f demek. Bazı özel fonksiyonlarda tutsa da "her zaman" doğru değildir.

11. Tabloda f ve g fonksiyonlarının bazı değerleri görülmektedir. (f × g)(0) + (f/g)(2) işleminin sonucu kaçtır?

• A) 6
• B) 10
• C) 8
• D) 4
• E) 15

Doğru cevap: C — (f × g)(0) = 1 × 3 = 3 ve (f/g)(2) = 5/1 = 5; toplam 8.

1. Ne soruluyor: iki farklı noktada çarpım ve bölüm fonksiyonlarının değerleri.
2. x = 0 sütunu: f(0) = 1, g(0) = 3; çarpım 3.
3. x = 2 sütunu: f(2) = 5, g(2) = 1; bölüm 5. Toplam 3 + 5 = 8.
4. Denetleme: iki ara sonuç da tablodaki tek sütundan okundu, karışma yok ✓.
5. Sık yapılan hata: 4 demek. (f × g)(0) yerine f(0) + g(0) = 4 almak; çarpım fonksiyonu değerleri çarpar.

12. Karttaki fonksiyonlarla (f/g)(x) fonksiyonu oluşturulacaktır. Bu fonksiyonun gerçek sayılardaki en geniş tanım kümesi hangisidir?

f(x) = √(x − 2), g(x) = x − 5

• A) [2, ∞)
• B) (2, ∞)
• C) ℝ − {5}
• D) [2, ∞) − {5}
• E) (5, ∞)

Doğru cevap: D — Kök içi negatif olamaz (x ≥ 2) ve payda sıfır olamaz (x ≠ 5); iki koşul birlikte: [2, ∞) − {5}.

1. Ne soruluyor: bölüm fonksiyonunun tanım kümesi; hem f'nin hem paydanın kısıtı birlikte düşünülür.
2. f için x − 2 ≥ 0, yani x ≥ 2.
3. Payda için x − 5 ≠ 0, yani x ≠ 5. Kesişim: [2, ∞) − {5}.
4. Denetleme: x = 2 için 0/(−3) = 0 tanımlı ✓; x = 5 için √3/0 tanımsız ✓.
5. Sık yapılan hata: (2, ∞) demek. x = 2'de kök içi 0 olur ve √0 = 0 tanımlıdır; sınır dahildir.

13. İki makinenin t saatte ürettiği parça sayıları A(t) = 40t ve B(t) = 25t + 30 fonksiyonlarıyla veriliyor. İki makine birlikte 4 saat çalışırsa toplam kaç parça üretilir?

• A) 260
• B) 290
• C) 320
• D) 160
• E) 130

Doğru cevap: B — (A + B)(4) = A(4) + B(4) = 160 + 130 = 290 parça.

1. Ne soruluyor: toplam fonksiyonun t = 4'teki değeri.
2. A(4) = 40 × 4 = 160.
3. B(4) = 25 × 4 + 30 = 130. Toplam 160 + 130 = 290.
4. Denetleme: (A + B)(t) = 65t + 30; t = 4 için 260 + 30 = 290 ✓.
5. Sık yapılan hata: 260 demek. 65 × 4 bulunup B'nin başlangıçtaki 30 parçası eklenmemiştir.

14. f(x) = x + 1 ve g(x) = x² fonksiyonları için bir öğrenci (f × g)(2) değerini tablodaki gibi hesaplamıştır. Bu çözümle ilgili hangisi doğrudur?

• A) Hata yoktur; sonuç 5 bulunur.
• B) g(2) yanlış hesaplanmıştır; g(2) = 2 olmalıdır.
• C) f(4) yanlış hesaplanmıştır; sonuç 4 olmalıdır.
• D) İşlem sırası yanlıştır; önce f(2) bulunmalı, sonuç 9 olmalıdır.
• E) Çarpım bileşke gibi hesaplanmıştır; doğrusu f(2) × g(2) = 12 olmalıdır.

Doğru cevap: E — (f × g)(2) = f(2) × g(2) = 3 × 4 = 12; öğrenci çarpımı bileşkeyle karıştırmıştır.

1. Ne soruluyor: çözümdeki kavram hatasını bulmak.
2. Çarpım fonksiyonu: (f × g)(x) = f(x) × g(x); bileşke ise f(g(x)).
3. Doğru hesap: f(2) = 3, g(2) = 4, çarpım 12.
4. Denetleme: öğrencinin 5 bulduğu değer (f ∘ g)(2)'dir; soru çarpımı soruyor ✓.
5. Sık yapılan hata: "Hata yoktur" demek. 2. ve 3. adımdaki işlemler kendi içinde doğrudur ama 1. adımda yanlış işlem seçilmiştir.

15. İki fonksiyon için (f + g)(x) = 5x + 1 ve (f − g)(x) = x + 7 eşitlikleri veriliyor. Buna göre f(x) fonksiyonu hangisidir?

• A) 3x + 4
• B) 2x − 3
• C) 6x + 8
• D) 4x − 6
• E) 3x − 4

Doğru cevap: A — İki eşitlik taraf tarafa toplanır: 2f(x) = 6x + 8, f(x) = 3x + 4.

1. Ne soruluyor: toplam ve farkı bilinen iki fonksiyondan f'yi bulmak (ters soru).
2. (f + g) + (f − g) = 2f olduğundan 2f(x) = (5x + 1) + (x + 7) = 6x + 8.
3. İki tarafı 2'ye bölünce f(x) = 3x + 4. Buradan g(x) = 2x − 3 bulunur.
4. Denetleme: f + g = 5x + 1 ✓ ve f − g = (3x + 4) − (2x − 3) = x + 7 ✓.
5. Sık yapılan hata: 6x + 8 demek. Bulunan ifade 2f(x)'tir; 2'ye bölmeyi unutmak sonucu iki katına çıkarır. 2x − 3 ise g(x)'tir.

16. Bir sinemanın indirim kampanyasının x. gününde bilet fiyatı F(x) = 200 − 2x TL, satılan bilet sayısı S(x) = 10 + x'tir. Günlük gelir G = F × S fonksiyonu olduğuna göre kampanyanın 5. günündeki gelir kaç TL'dir?

• A) 2850
• B) 2000
• C) 3000
• D) 2750
• E) 190

Doğru cevap: A — G(5) = F(5) × S(5) = 190 × 15 = 2850 TL.

1. Ne soruluyor: çarpım fonksiyonunun x = 5'teki değeri.
2. F(5) = 200 − 10 = 190 TL; S(5) = 10 + 5 = 15 bilet.
3. G(5) = 190 × 15 = 2850 TL.
4. Denetleme: 190 × 15 = 190 × 10 + 190 × 5 = 1900 + 950 = 2850 ✓.
5. Sık yapılan hata: 2000 demek. İndirimden önceki fiyat (200) ile ilk günün bilet sayısı (10) çarpılmıştır; iki fonksiyon da x = 5'te hesaplanmalı.

17. Kartta verilen fonksiyonlar için (3f + g)(x) yazılacaktır. Bu ifadenin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

f(x) = x − 1, g(x) = 2x + 3

• A) 5x + 6
• B) 5x − 6
• C) 3x + 2
• D) x + 6
• E) 5x

Doğru cevap: E — (3f + g)(x) = 3(x − 1) + (2x + 3) = 3x − 3 + 2x + 3 = 5x.

1. Ne soruluyor: bir fonksiyonun katı ile başka bir fonksiyonun toplamı.
2. 3f(x) = 3(x − 1) = 3x − 3.
3. 3x − 3 + 2x + 3 = 5x; sabitler birbirini götürür.
4. Denetleme: x = 2 için 3 × f(2) + g(2) = 3 × 1 + 7 = 10 ve 5 × 2 = 10 ✓.
5. Sık yapılan hata: 5x + 6 demek. 3 yalnız x'e dağıtılıp −1'e dağıtılmamıştır; 3 × (−1) = −3 olur.

18. Karttaki fonksiyonlar için (f ∘ g)(x) − (g ∘ f)(x) farkı hesaplanacaktır. Bu fark neye eşittir?

f(x) = 2x − 1, g(x) = x + 4

• A) 0
• B) 2x + 4
• C) −4
• D) 4
• E) 8

Doğru cevap: D — (f ∘ g)(x) = 2x + 7 ve (g ∘ f)(x) = 2x + 3; farkları 4.

1. Ne soruluyor: iki bileşkenin farkı.
2. (f ∘ g)(x) = f(x + 4) = 2(x + 4) − 1 = 2x + 7.
3. (g ∘ f)(x) = g(2x − 1) = 2x − 1 + 4 = 2x + 3. Fark (2x + 7) − (2x + 3) = 4.
4. Denetleme: x = 0 için f(g(0)) = f(4) = 7 ve g(f(0)) = g(−1) = 3; 7 − 3 = 4 ✓.
5. Sık yapılan hata: 0 demek. İki bileşkenin eşit olduğunu varsaymak; sıra değişince içteki fonksiyon değişir.

19. Tabloda f ve g fonksiyonlarının tanım kümeleri verilmiştir. f + g fonksiyonunun tanım kümesi hangi aralıktır?

• A) [0, 9]
• B) [2, 6]
• C) [0, 2]
• D) [6, 9]
• E) [0, 6]

Doğru cevap: B — (f + g)(x) ancak hem f(x) hem g(x) tanımlıysa hesaplanır; tanım kümesi kesişimdir: [2, 6].

1. Ne soruluyor: toplam fonksiyonun hangi x değerlerinde hesaplanabildiği.
2. f(x) + g(x) yazabilmek için x iki tanım kümesinde birden bulunmalıdır.
3. [0, 6] ∩ [2, 9] = [2, 6].
4. Denetleme: x = 1 için g(1) tanımsız, x = 7 için f(7) tanımsız; ikisi de dışarıda ✓.
5. Sık yapılan hata: [0, 9] demek. Birleşim alınmıştır; oysa bir tarafın tanımsız olduğu yerde toplam hesaplanamaz.

20. f(x) = x + 2 ve g(x) = x − 5 fonksiyonları veriliyor. (f × g)(a) = 0 eşitliğini sağlayan a değerlerinin toplamı kaçtır?

• A) −3
• B) 10
• C) 3
• D) 7
• E) −10

Doğru cevap: C — (a + 2)(a − 5) = 0 ise a = −2 ya da a = 5; toplam 3.

1. Ne soruluyor: çarpım fonksiyonunu sıfır yapan değerler.
2. Çarpım sıfırsa çarpanlardan biri sıfırdır: f(a) = 0 ya da g(a) = 0.
3. a + 2 = 0 → a = −2; a − 5 = 0 → a = 5. Toplam −2 + 5 = 3.
4. Denetleme: (f × g)(−2) = 0 × (−7) = 0 ✓ ve (f × g)(5) = 7 × 0 = 0 ✓.
5. Sık yapılan hata: −3 demek. Kökleri +2 ve −5 almak, çarpanlardaki işaretleri ters okumaktır.