Nicelikler ve Değişimler (1)

1. Yukarıda derece ile radyan arasındaki bağıntı verilmiştir. 45° açının radyan karşılığı sorulmaktadır. Buna göre bu değer hangisidir?

180° = π radyan

• A) π/4
• B) π/2
• C) π/3
• D) π/6
• E) 2π/3

Doğru cevap: A — 45° açının radyan karşılığı $\frac{\pi}{4}$’tür.

1. Bağıntıyı yazalım: $180° = \pi$ radyan, öyleyse $1° = \frac{\pi}{180}$ radyandır.
2. Çarpalım: $45 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{45\pi}{180}$.
3. Kesri 45 ile sadeleştirelim: $\frac{45}{180} = \frac{1}{4}$, sonuç $\frac{\pi}{4}$ radyan.
4. Denetleyelim: $\frac{\pi}{4}$ radyanı dereceye geri çevirirsek $\frac{1}{4} \cdot 180° = 45°$ ✓.

2. Yukarıda radyan cinsinden bir açı verilmiştir. Bu açının derece karşılığı sorulmaktadır. Buna göre bu değer kaç derecedir?

5π/6 radyan

• A) 120
• B) 150
• C) 135
• D) 210
• E) 30

Doğru cevap: B — $\frac{5\pi}{6}$ radyan 150° eder.

1. Radyanı dereceye çevirmek için $\pi$ yerine 180° yazmak yeter.
2. Yerine koyalım: $\frac{5 \cdot 180°}{6}$.
3. Hesaplayalım: $5 \cdot 180 = 900$ ve $900 \div 6 = 150$; açı 150°’dir.
4. Denetleyelim: 150°’yi geri çevirelim, $150 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$ ✓.

3. Yukarıda bir yönlü açı verilmiştir. Bu açının esas ölçüsü sorulmaktadır. Buna göre esas ölçü kaç derecedir?

750° açısı

• A) 60
• B) 390
• C) 30
• D) 110
• E) 210

Doğru cevap: C — 750° açısının esas ölçüsü 30°’dir.

1. Esas ölçü, açının $[0°, 360°)$ aralığındaki karşılığıdır ve tam turlar atılarak bulunur.
2. 750’yi 360’a bölelim: $750 = 2 \cdot 360 + 30$, yani bölüm 2 ve kalan 30.
3. İki tam tur açının bitiş ışınını değiştirmez; geriye kalan 30° esas ölçüdür.
4. Denetleyelim: $2 \cdot 360 + 30 = 720 + 30 = 750$ ✓ ve 30° sayısı $[0°, 360°)$ aralığındadır.

4. Tabloda açılar ve bulundukları bölgeler eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan bilgi hangisidir?

• A) IV. bölge
• B) I. bölge
• C) II. bölge
• D) III. bölge
• E) Eksen üzerinde

Doğru cevap: D — 200° açısı III. bölgededir.

1. Bölge sınırlarını yazalım: I. bölge 0°-90°, II. bölge 90°-180°, III. bölge 180°-270°, IV. bölge 270°-360° arasıdır.
2. 200° sayısını yerleştirelim: $180 < 200 < 270$.
3. Bu aralık üçüncü bölgeye karşılık geliyor.
4. Denetleyelim: tablodaki ilk satır 120° için II. bölge diyor ve gerçekten $90 < 120 < 180$ ✓; aynı ölçüt 200° için III. bölgeyi veriyor.

5. Tabloda birim çemberde işaretler verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Dördüncü bölgedeki koordinatlar dikkate alındığında bu boşluğa gelmesi gereken işaret hangisidir?

• A) Değişken
• B) +
• C) 0
• D) Belirsiz
• E) −

Doğru cevap: E — Boşluğa eksi işareti gelir; IV. bölgede sinüs negatiftir.

1. Birim çemberde bir açının sinüsü, çember üzerindeki noktanın $y$ koordinatıdır; kosinüsü ise $x$ koordinatıdır.
2. IV. bölgeye bakalım: orada $x$ pozitif, $y$ negatiftir.
3. $y$ negatif olduğu için sinüs de negatiftir; tabloda aynı satırda kosinüsün artı yazılması da $x$’in pozitif olmasıyla uyuşuyor.
4. Denetleyelim: 300° açısı IV. bölgededir ve $\sin 300° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓, gerçekten negatif.

6. Yukarıda bir trigonometrik fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun periyodu sorulmaktadır. Buna göre periyot hangisidir?

f(x) = sin x

• A) 2π
• B) π
• C) π/2
• D) 4π
• E) 1

Doğru cevap: A — $\sin x$ fonksiyonunun periyodu $2\pi$’dir.

1. Periyot, fonksiyonun kendini tekrar etmeye başladığı en küçük pozitif sayıdır: $\sin(x+T) = \sin x$ eşitliğini sağlayan en küçük $T$.
2. Sinüs, birim çember üzerindeki noktanın $y$ koordinatıdır; nokta çember üzerinde bir tam tur attığında aynı yere döner ve koordinatları yinelenir.
3. Bir tam tur $2\pi$ radyan olduğuna göre $T = 2\pi$’dir.
4. Denetleyelim: $\sin 0 = 0$ ile $\sin 2\pi = 0$ ve $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ ile $\sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\right) = 1$ ✓.

7. Yukarıda bir trigonometrik fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun periyodu sorulmaktadır. Buna göre periyot değeri hangisidir?

f(x) = tan x

• A) 2π
• B) π
• C) π/2
• D) 4π
• E) 3π

Doğru cevap: B — $\tan x$ fonksiyonunun periyodu $\pi$’dir.

1. Tanjant, sinüsün kosinüse oranıdır: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
2. Yarım tur ilerleyelim: $\sin(x+\pi) = -\sin x$ ve $\cos(x+\pi) = -\cos x$; iki değer de işaret değiştirir.
3. Oranda iki eksi birbirini götürür: $\tan(x+\pi) = \frac{-\sin x}{-\cos x} = \tan x$, öyleyse periyot $\pi$’dir.
4. Denetleyelim: $\tan 45° = 1$ ve $\tan 225° = 1$ ✓; iki açı arasındaki fark tam olarak 180°, yani $\pi$ radyandır.

8. Yukarıda katsayılı bir trigonometrik fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun periyodu sorulmaktadır. Buna göre periyot hangisidir?

f(x) = sin 3x

• A) 3π
• B) 2π
• C) 2π/3
• D) π/3
• E) 6π

Doğru cevap: C — $\sin 3x$ fonksiyonunun periyodu $\frac{2\pi}{3}$’tür.

1. Kuralı yazalım: $\sin(kx)$ fonksiyonunun periyodu $\frac{2\pi}{|k|}$’dir; içerideki katsayı grafiği yatayda sıkıştırır.
2. Nedenini görelim: bir turun tamamlanması için sinüsün içindeki ifadenin $2\pi$ kadar artması gerekir, yani $3x$ ifadesi $2\pi$ artmalıdır; bu da $x$’in $\frac{2\pi}{3}$ artması demektir.
3. Burada $k = 3$ olduğuna göre periyot $\frac{2\pi}{3}$’tür.
4. Denetleyelim: $x = 0$ için $\sin 0 = 0$ ve $x = \frac{2\pi}{3}$ için $\sin 2\pi = 0$ ✓; arada fonksiyon bütün değerlerini bir kez almıştır.

9. Yukarıda bir fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

f(x) = 3 sin x

• A) En büyük 6, en küçük −6
• B) En büyük 1, en küçük −1
• C) En büyük 3, en küçük 0
• D) En büyük 3, en küçük −3
• E) En büyük 0, en küçük −3

Doğru cevap: D — $3\sin x$ fonksiyonunun en büyük değeri 3, en küçük değeri $-3$’tür.

1. Sinüsün değer aralığı bellidir: $-1 \leq \sin x \leq 1$.
2. Eşitsizliğin her yanını 3 ile çarpalım; 3 pozitif olduğu için eşitsizliğin yönü değişmez: $-3 \leq 3\sin x \leq 3$.
3. Öyleyse en büyük değer 3, en küçük değer $-3$’tür; baştaki katsayı genliktir ve grafiği dikeyde üç katına uzatır.
4. Denetleyelim: $x = 90°$ için $3 \cdot 1 = 3$ ve $x = 270°$ için $3 \cdot (-1) = -3$ ✓.

10. Yukarıda bir fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun değer aralığı sorulmaktadır. Buna göre aralık hangisidir?

f(x) = sin x + 2

• A) [−2, 2]
• B) [−1, 1]
• C) [0, 2]
• D) [2, 4]
• E) [1, 3]

Doğru cevap: E — sin x ∈ [−1, 1] olduğundan sin x + 2 ∈ [1, 3]'tür.

1. sin x en az −1, en fazla 1'dir.
2. Her iki uca 2 eklenir.
3. Aralık [1, 3] olur.

11. Tabloda trigonometrik fonksiyonların özellikleri eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Bu boşluğu hangi seçenek tamamlar?

• A) Tek fonksiyon
• B) Çift fonksiyon
• C) Sabit fonksiyon
• D) Ne tek ne çift
• E) Birim fonksiyon

Doğru cevap: A — Boşluğa "tek fonksiyon" gelir; çünkü $\sin(-x) = -\sin x$’tir.

1. Ölçütü yazalım: $f(-x) = f(x)$ ise fonksiyon çift, $f(-x) = -f(x)$ ise tektir.
2. Birim çemberde $-x$ açısı, $x$ açısının yatay eksene göre yansımasıdır; bu yansımada $x$ koordinatı korunur, $y$ koordinatı işaret değiştirir.
3. Kosinüs $x$ koordinatı olduğundan $\cos(-x) = \cos x$ ile çifttir; tablodaki ilk satır bunu söylüyor. Sinüs ise $y$ koordinatı olduğundan $\sin(-x) = -\sin x$ ile tektir.
4. Denetleyelim: $\sin 30° = \frac{1}{2}$ ve $\sin(-30°) = -\frac{1}{2}$ ✓, değerler birbirinin ters işaretlisi.

12. Yukarıda temel özdeşlik ve bir kosinüs değeri verilmiştir. Birinci bölgedeki açı için sinüs değeri sorulmaktadır. Buna göre bu değer hangisidir?

sin²x + cos²x = 1, cos x = 5/13

• A) 5/13
• B) 12/13
• C) 8/13
• D) 13/12
• E) 1/13

Doğru cevap: B — $\sin x = \frac{12}{13}$’tür; temel özdeşlikte $\cos x = \frac{5}{13}$ yerine konur.

1. Özdeşliği yazalım: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ve verilen değer $\cos x = \frac{5}{13}$.
2. Kosinüsün karesini alalım: $\left(\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{25}{169}$.
3. Sinüsün karesini yalnız bırakalım: $\sin^2 x = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$; karekök alınca $\pm\frac{12}{13}$ çıkar ve açı birinci bölgede olduğu için pozitifi alınır.
4. Denetleyelim: $\frac{144}{169} + \frac{25}{169} = \frac{169}{169} = 1$ ✓; 5, 12 ve 13 sayıları bir Pisagor üçlüsüdür.

13. Yukarıda bir trigonometrik ifade verilmiştir. Bu ifadenin sadeleşmiş biçimi sorulmaktadır. Buna göre sonuç hangisidir?

sin(180° − x)

• A) cos x
• B) −sin x
• C) sin x
• D) −cos x
• E) 0

Doğru cevap: C — $\sin(180° - x) = \sin x$’tir.

1. $x$ dar açı iken $180° - x$ açısı II. bölgededir ve birim çemberde $x$ açısının dikey eksene göre yansımasıdır.
2. Bu yansımada $y$ koordinatı korunur, $x$ koordinatı işaret değiştirir.
3. Sinüs $y$ koordinatı olduğu için değişmez: $\sin(180° - x) = \sin x$; kosinüs ise $x$ koordinatı olduğundan $\cos(180° - x) = -\cos x$ olur.
4. Denetleyelim: $x = 30°$ alalım, $\sin 150° = \frac{1}{2}$ ve $\sin 30° = \frac{1}{2}$ ✓, ikisi eşit.

14. Tabloda sinüs fonksiyonunun değerleri verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Tablodaki boşluk nasıl doldurulmalıdır?

• A) 2
• B) 1
• C) 0
• D) −1
• E) −2

Doğru cevap: D — Boşluğa $-1$ gelir; $\sin\frac{3\pi}{2} = -1$’dir.

1. Tabloyu okuyalım: $\sin 0 = 0$, $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ ve $\sin\pi = 0$; sinüs bir tur boyunca önce yükselip sonra alçalıyor.
2. $\frac{3\pi}{2}$ radyan 270° eder; birim çemberde burası çemberin en alt noktasıdır ve koordinatları $(0, -1)$’dir.
3. Sinüs $y$ koordinatı olduğundan değer $-1$ olur; bu, sinüsün alabileceği en küçük değerdir.
4. Denetleyelim: $\frac{\pi}{2}$’de en büyük değer olan 1 alınmıştı ve yarım tur sonra en küçük değere inilmesi beklenir ✓.

15. Yukarıda bir trigonometrik denklem ve aralık verilmiştir. Bu aralıktaki çözümler sorulmaktadır. Buna göre çözümler hangileridir?

sin x = 1/2, 0° ≤ x ≤ 180°

• A) 45° ve 135°
• B) Yalnızca 30°
• C) 60° ve 120°
• D) Yalnızca 150°
• E) 30° ve 150°

Doğru cevap: E — Çözümler 30° ve 150°’dir; verilen aralıkta sinüsü $\frac{1}{2}$ olan iki açı bulunur.

1. Temel çözümü bulalım: $\sin 30° = \frac{1}{2}$, bu I. bölgedeki çözümdür.
2. Sinüs II. bölgede de pozitiftir ve $\sin(180° - x) = \sin x$ eşitliği geçerlidir; ikinci çözüm $180° - 30° = 150°$ olur.
3. Verilen aralık $0° \leq x \leq 180°$ olduğundan her iki açı da geçerlidir; III. ve IV. bölgedeki çözümler aralığın dışında kalır.
4. Denetleyelim: $\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}$ ✓, ikisi de denklemi sağlıyor.

16. Yukarıda birim çemberdeki bir noktanın koordinatları verilmiştir. Bu koordinatların sağladığı bağıntı sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

Birim çemberde açıya karşılık gelen nokta (cos α, sin α)

• A) x² + y² = 1
• B) x + y = 1
• C) x² − y² = 1
• D) x × y = 1
• E) x = y

Doğru cevap: A — Birim çemberin yarıçapı 1'dir; her nokta x² + y² = 1 bağıntısını sağlar.

1. Birim çemberin yarıçapı 1'dir.
2. Çember denklemi x² + y² = r²'dir.
3. r = 1 için x² + y² = 1 olur.

17. Yukarıdaki modelin periyodu sorulmaktadır. Buna göre bu değer kaç saattir?

• A) 6
• B) 12
• C) 24
• D) 2
• E) 5

Doğru cevap: B — Modelin periyodu 12 saattir.

1. Modelde sinüsün içindeki $t$ katsayısını bulalım: $h(t) = 2\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 5$ ifadesinde katsayı $\frac{\pi}{6}$’dır.
2. Periyot formülünü yazalım: $T = \frac{2\pi}{|k|}$, yani $T = \frac{2\pi}{\pi/6}$.
3. Kesirle bölmek tersiyle çarpmaktır: $2\pi \cdot \frac{6}{\pi} = 12$; $\pi$’ler sadeleşir ve periyot 12 saat çıkar.
4. Denetleyelim: $t = 0$ için $\sin 0 = 0$ ve $t = 12$ için $\sin 2\pi = 0$ ✓; su seviyesi 12 saatte bir aynı duruma dönüyor.

18. Yukarıda bir gelgit modeli verilmiştir. Su seviyesinin en yüksek değeri sorulmaktadır. Buna göre bu değer kaçtır?

h(t) = 2 sin(πt/6) + 5

• A) 2
• B) 5
• C) 7
• D) 3
• E) 10

Doğru cevap: C — Su seviyesinin en yüksek değeri 7’dir; sinüs en fazla 1 değerini alır.

1. Modelde değişen tek parça sinüstür: $h(t) = 2\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 5$; 2 genlik, 5 ise ortalama seviyedir.
2. Sinüsün alabileceği en büyük değer 1’dir ve bu değere ulaşıldığında $h$ da en büyük olur.
3. Yerine koyalım: $2 \cdot 1 + 5 = 7$.
4. Denetleyelim: $\frac{\pi t}{6} = \frac{\pi}{2}$ olduğunda, yani $t = 3$ saatte sinüs 1 olur ve $h(3) = 7$ ✓; en düşük seviye ise $2 \cdot (-1) + 5 = 3$’tür.

19. Yukarıdaki çıkarımda yapılan hata sorulmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) Açı negatif olmalıdır.
• B) Açı 360°'den büyük olamaz.
• C) Birim çember kullanılamaz.
• D) Esas ölçü alınarak her açı birim çemberde gösterilebilir.
• E) Açı ölçülemez.

Doğru cevap: D — Öğrencinin hatası, 360°’den büyük bir açının birim çemberde gösterilemeyeceğini sanmasıdır; esas ölçü alınarak her açı gösterilebilir.

1. Birim çemberde açı, başlangıç ışınından itibaren dönülerek belirlenir; 360°’yi aşan dönüşler yasak değildir, yalnızca bir tam turun tamamlandığını gösterir.
2. 400° için tam turları atalım: $400 - 360 = 40$, yani esas ölçü 40°’dir.
3. 400° ile 40° birim çemberde aynı noktayı gösterir; öyleyse açı çemberde I. bölgede, 40°’lik konumda işaretlenir.
4. Denetleyelim: $\sin 400° = \sin 40°$ ve $\cos 400° = \cos 40°$ ✓; trigonometrik değerler de aynı çıkıyor, çünkü çember üzerindeki nokta aynı noktadır.

20. Kartlarda bu temanın üç temel düşüncesi verilmiştir. Kartlar birlikte değerlendirildiğinde ulaşılabilecek en kapsayıcı sonuç hangisidir?

• A) Kartlar birbirinden bağımsızdır.
• B) Esas ölçü gereksizdir.
• C) Bölge işareti belirlemez.
• D) Periyot tekrar getirmez.
• E) Trigonometrik fonksiyonlar; esas ölçü, bölge işareti ve periyot üzerinden okunur.

Doğru cevap: E — Kartlar birlikte; trigonometrik fonksiyonların esas ölçü, bölge işareti ve periyot üzerinden okunduğunu söyler.

1. Birinci kart esas ölçüyü veriyor: büyük ya da negatif açılar tam turlar atılarak $[0°, 360°)$ aralığına indirgenir.
2. İkinci kart bölge işaretini ekliyor: indirgenen açının hangi bölgede olduğu, sinüs ile kosinüsün işaretini belirler.
3. Üçüncü kart periyodu getiriyor: fonksiyon belirli aralıklarla aynı değerleri tekrarladığı için tek bir turda bulunan sonuç bütün açılara taşınabilir.
4. Denetleyelim: üç kart sırayla uygulandığında herhangi bir açının değeri bulunuyor ✓; örneğin 750° açısı 30°’ye indirgenir, I. bölgede işaret artıdır ve $\sin 30° = \frac{1}{2}$ çıkar.