Nicelikler ve Değişimler (3)

1. Yukarıda iki fonksiyon verilmiştir. (f ∘ g)(1) değeri sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?

f(x) = 2x, g(x) = x + 3

• A) 8
• B) 5
• C) 6
• D) 4
• E) 9

Doğru cevap: A — Bileşkede içteki fonksiyon önce hesaplanır: $g(1)=4$, ardından $f(4)=8$ bulunur.

1. Tanımı yazalım: $(f\circ g)(x)=f(g(x))$. Yani önce $g$, sonra $f$ uygulanır.
2. İçteki değeri bulalım: $g(1)=1+3=4$.
3. Bu sonucu dıştaki fonksiyona verelim: $f(4)=2\cdot 4=8$.
4. Denetleyelim: bileşkeyi açıkça yazalım — $(f\circ g)(x)=2(x+3)=2x+6$ ve $x=1$ için $2+6=8$ ✓.

2. Yukarıda iki fonksiyon verilmiştir. (g ∘ f)(1) değeri sorulmaktadır. Buna göre bulunan değer kaçtır?

f(x) = 2x, g(x) = x + 3

• A) 8
• B) 5
• C) 6
• D) 4
• E) 2

Doğru cevap: B — Önce $f(1)=2$ hesaplanır, sonra $g(2)=5$ bulunur.

1. Tanımı yazalım: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$. Bu kez içteki fonksiyon $f$ dir.
2. İçteki değeri bulalım: $f(1)=2\cdot 1=2$.
3. Sonucu $g$ ye verelim: $g(2)=2+3=5$.
4. Denetleyelim: bileşkeyi açıkça yazalım — $(g\circ f)(x)=2x+3$ ve $x=1$ için $2+3=5$ ✓.

3. Tabloda aynı fonksiyonlarla iki bileşke sonucu verilmiştir. Bu sonuçların gösterdiği özellik sorulmaktadır. Tabloya göre doğru yargı hangisidir?

• A) İki sonuç eşittir.
• B) Bileşke değişmelidir.
• C) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
• D) Bileşke tanımsızdır.
• E) Fonksiyonlar terstir.

Doğru cevap: C — Aynı fonksiyonlarla sıra değişince sonuç $8$ den $5$ e düştüğüne göre bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.

1. Tablodaki iki satır aynı $f$ ve $g$ ile kurulmuş; aralarındaki tek fark hangisinin önce uygulandığıdır.
2. Sonuçları karşılaştıralım: $(f\circ g)(1)=8$ ama $(g\circ f)(1)=5$ ve $8\ne 5$.
3. Bir işlemde değişme özelliğinin bulunması için sıranın HİÇBİR durumda sonucu değiştirmemesi gerekir. Tek bir karşı örnek bu özelliği çürütmeye yeter.
4. Denetleyelim: $(f\circ g)(x)=2x+6$ ve $(g\circ f)(x)=2x+3$ ✓ — iki bileşke birbirinden farklı fonksiyonlar.

4. Yukarıda bire bir bir fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun tersi sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

f(x) = 3x − 6

• A) f⁻¹(x) = x/3 − 6
• B) f⁻¹(x) = 3x + 6
• C) f⁻¹(x) = (x − 6)/3
• D) f⁻¹(x) = (x + 6)/3
• E) f⁻¹(x) = 6 − 3x

Doğru cevap: D — $y=3x-6$ denkleminden $x$ çekilip değişkenler değiştirilince $f^{-1}(x)=\dfrac{x+6}{3}$ bulunur.

1. $y=f(x)=3x-6$ yazalım ve $x$ i yalnız bırakmaya başlayalım: $y+6=3x$.
2. İki yanı $3$ e bölelim: $x=\dfrac{y+6}{3}$.
3. Ters fonksiyonda değişkenlerin adları yer değiştirir: $f^{-1}(x)=\dfrac{x+6}{3}$.
4. Denetleyelim: $f(4)=3\cdot 4-6=6$ ve $f^{-1}(6)=\dfrac{6+6}{3}=4$ ✓ — ters fonksiyon işlemi gerçekten geri alıyor.

5. Yukarıda bir fonksiyon ve tersinin bir değeri istenmiştir. Bu değer sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?

f(x) = 3x − 6, f⁻¹(9) = ?

• A) 15
• B) 3
• C) 21
• D) 9
• E) 5

Doğru cevap: E — 3x − 6 = 9 → 3x = 15 → x = 5'tir.

1. f(x) = 9 denklemi kurulur.
2. 3x − 6 = 9 → 3x = 15.
3. x = 5 bulunur.

6. Tabloda bir fonksiyonun değerleri verilmiştir. Bu fonksiyonun bire bir olup olmadığı sorulmaktadır. Tabloya göre doğru yargı hangisidir?

• A) Bire bir değildir; iki farklı girdi aynı çıktıyı vermektedir.
• B) Bire birdir.
• C) Örtendir.
• D) Sabittir.
• E) Tanımsızdır.

Doğru cevap: A — $f(1)=f(3)=5$ olduğundan iki farklı girdi aynı çıktıyı veriyor; fonksiyon bire bir değildir.

1. Bire birlik ölçütünü yazalım: farklı girdiler farklı çıktılar vermelidir, yani $a\ne b$ iken $f(a)\ne f(b)$ olmalıdır.
2. Tabloyu tarayalım: $f(1)=5$, $f(2)=7$, $f(3)=5$.
3. $1\ne 3$ olmasına karşın $f(1)=f(3)=5$ çıkıyor. Tek bir karşı örnek bire birliği bozmaya yeter.
4. Denetleyelim: $5$ değerinden geriye dönüldüğünde girdinin $1$ mi $3$ mü olduğu bilinemez ✓ — bu yüzden böyle bir fonksiyonun tersi de tanımlanamaz.

7. Tabloda fonksiyon kavramları tanımlanmış, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan bilgi hangisidir?

• A) Farklı girdiler farklı çıktı verir
• B) Değer kümesindeki her eleman bir görüntüdür
• C) Fonksiyon sabittir
• D) Tanım kümesi boştur
• E) Görüntü kümesi boştur

Doğru cevap: B — Örten fonksiyonda değer kümesinin her elemanı en az bir girdinin görüntüsüdür; tablodaki boşluk bu koşulla dolar.

1. Tablonun kurgusu şu: solda kavram, sağda o kavramın koşulu.
2. Dolu satır: bire bir → farklı girdiler farklı çıktı verir. Görüldüğü gibi bire birlik ölçütü GİRDİLERE bakıyor.
3. Örtenlik ise çıktılara bakar: değer kümesinde eşlenmemiş tek bir eleman bile kalmamalıdır, yani her eleman en az bir girdinin görüntüsü olmalıdır.
4. Denetleyelim: gerçek sayılarda tanımlı $f(x)=x^2$ örten değildir ✓ — negatif sayılar hiçbir girdinin görüntüsü olamaz.

8. Yukarıda bir fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun teklik-çiftlik durumu sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

f(x) = x⁴ + 2

• A) Ne tek ne çifttir
• B) Tek fonksiyondur
• C) Çift fonksiyondur
• D) Sabittir
• E) Tanımsızdır

Doğru cevap: C — $f(-x)=(-x)^4+2=x^4+2=f(x)$ olduğundan fonksiyon çift fonksiyondur.

1. Ölçütü yazalım: $f(-x)=f(x)$ ise fonksiyon çift, $f(-x)=-f(x)$ ise tektir.
2. $x$ yerine $-x$ koyalım: $f(-x)=(-x)^4+2$. Üs çift olduğundan $(-x)^4=x^4$ tür.
3. Öyleyse $f(-x)=x^4+2=f(x)$ olur; fonksiyon çifttir ve grafiği $y$ eksenine göre simetriktir.
4. Denetleyelim: $f(2)=16+2=18$ ve $f(-2)=16+2=18$ ✓ — karşıt girdiler aynı değeri veriyor.

9. Yukarıda bir fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun sıfırı sorulmaktadır. Buna göre bu değer kaçtır?

f(x) = 4x − 20

• A) −5
• B) 4
• C) 20
• D) 5
• E) 0

Doğru cevap: D — Fonksiyonun sıfırı $f(x)=0$ denkleminin köküdür: $4x-20=0$ dan $x=5$ bulunur.

1. Bir fonksiyonun sıfırı, grafiğinin $x$ eksenini kestiği apsistir; bulmak için $f(x)=0$ yazılır.
2. Denklemi kuralım: $4x-20=0$, yani $4x=20$.
3. İki yanı $4$ e bölelim: $x=5$.
4. Denetleyelim: $f(5)=4\cdot 5-20=20-20=0$ ✓ — bulunan değer fonksiyonu gerçekten sıfırlıyor.

10. Yukarıda iki fonksiyon verilmiştir. (g ∘ f)(x) fonksiyonunun kuralı sorulmaktadır. Buna göre kural hangisidir?

f(x) = x + 1, g(x) = x²

• A) x + 1
• B) x² + 1
• C) x² + x
• D) 2x + 1
• E) (x + 1)²

Doğru cevap: E — Önce f uygulanır, sonucu g'ye verilir: g(x + 1) = (x + 1)².

1. İçteki fonksiyon f(x) = x + 1'dir.
2. Bu ifade g fonksiyonuna verilir.
3. g(x + 1) = (x + 1)² olur.

11. Yukarıda bir fonksiyon özelliği verilmiştir. (f ∘ f⁻¹)(x) ifadesinin değeri sorulmaktadır. Buna göre sonuç hangisidir?

f bire bir ve örten bir fonksiyon

• A) x
• B) 0
• C) 1
• D) f(x)
• E) f⁻¹(x)

Doğru cevap: A — Bir fonksiyonla tersinin bileşkesi birim fonksiyondur: $(f\circ f^{-1})(x)=x$.

1. Ters fonksiyonun tanımından başlayalım: $f^{-1}$, $f$ nin yaptığı eşlemeyi geri alır; $f(a)=b$ ise $f^{-1}(b)=a$ dır.
2. $(f\circ f^{-1})(x)=f(f^{-1}(x))$ ifadesinde önce $x$ geri götürülür, sonra aynı fonksiyonla yeniden ileri getirilir.
3. İki işlem birbirini götürdüğü için başlangıçtaki değere dönülür; sonuç $x$ tir, yani birim fonksiyon $I(x)=x$ elde edilir.
4. Denetleyelim: $f(x)=3x-6$ ve $f^{-1}(x)=\dfrac{x+6}{3}$ alalım — $f\left(\dfrac{x+6}{3}\right)=3\cdot\dfrac{x+6}{3}-6=x$ ✓.

12. Tabloda bir fonksiyon ve tersinin kümeleri verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Bu boşluğu hangi seçenek tamamlar?

• A) A
• B) B
• C) Boş küme
• D) A ∪ B
• E) A ∩ B

Doğru cevap: B — Ters fonksiyonda tanım ve görüntü kümeleri yer değiştirir; $f:A\to B$ ise $f^{-1}:B\to A$ olur, boşluğa $B$ gelir.

1. Tabloyu okuyalım: $f$ nin tanım kümesi $A$, görüntü kümesi $B$. Yani $f$ her $A$ elemanını bir $B$ elemanına götürüyor.
2. Ters fonksiyon aynı eşlemeyi ters yönde okur: $B$ deki her elemanı, geldiği $A$ elemanına geri götürür.
3. Öyleyse $f^{-1}$ in tanım kümesi $B$, görüntü kümesi $A$ olur. Sağ sütunda $A$ zaten yazılı olduğundan boşluğa $B$ gelir.
4. Denetleyelim: $f(a)=b$ iken $f^{-1}$ e verilebilecek girdiler $b$ türünden, yani $B$ nin elemanlarıdır ✓.

13. Tabloda parçalı tanımlı bir fonksiyon verilmiştir. f(2) + f(0) toplamı sorulmaktadır. Tabloya göre bu toplam kaçtır?

• A) 9
• B) 6
• C) 7
• D) 4
• E) 8

Doğru cevap: C — f(2) = 6 ve f(0) = 1; toplam 7'dir.

1. x = 2 için ikinci tanım: 3 × 2 = 6.
2. x = 0 için birinci tanım: 0 + 1 = 1.
3. 6 + 1 = 7 bulunur.

14. Tabloda bir fonksiyonun işaret durumu verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Fonksiyonun sıfırı dikkate alındığında bu boşluğa gelmesi gereken ifade hangisidir?

• A) Belirsiz
• B) Negatif
• C) Sıfır
• D) Pozitif
• E) Değişken

Doğru cevap: D — $f(x)=2x-8$ in sıfırı $x=4$ tür ve eğim pozitif olduğundan $x>4$ için fonksiyon pozitif değerler alır.

1. Önce sıfırı bulalım: $2x-8=0$ denkleminden $x=4$ çıkar. Bir fonksiyonun işareti ancak sıfırında değişebilir.
2. Eğim $2>0$ olduğundan doğru soldan sağa yükselir: sıfırın solunda negatif, sağında pozitif değerler alır. Tablodaki $x<4$ satırının "Negatif" olması bunu doğruluyor.
3. Öyleyse $x>4$ satırına "Pozitif" gelir.
4. Denetleyelim: $x=5$ için $f(5)=2\cdot 5-8=2>0$ ✓ ve $x=3$ için $f(3)=-2<0$ ✓.

15. Yukarıda bir fonksiyon ve tersinin grafikleri anılmıştır. Bu grafiklerin birbirine göre konumu sorulmaktadır. Buna göre doğru seçenek hangisidir?

Bir fonksiyon ile tersinin grafikleri

• A) Paraleldir
• B) x eksenine göre simetriktir
• C) y eksenine göre simetriktir
• D) Çakışıktır
• E) y = x doğrusuna göre simetriktir

Doğru cevap: E — Ters alınırken $(a,b)$ noktası $(b,a)$ ya döndüğü için fonksiyonun ve tersinin grafikleri $y=x$ doğrusuna göre simetriktir.

1. Ters fonksiyonun tanımından başlayalım: $f(a)=b$ ise $f^{-1}(b)=a$ dır. Yani $f$ nin grafiğindeki her $(a,b)$ noktasına karşılık $f^{-1}$ in grafiğinde $(b,a)$ noktası bulunur.
2. Koordinatların yer değiştirmesi düzlemde $y=x$ doğrusuna göre yansımadır: $(a,b)$ ile $(b,a)$ noktalarını birleştiren parçanın orta noktası $\left(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{a+b}{2}\right)$ olup bu doğru üzerindedir.
3. Öyleyse iki grafik $y=x$ doğrusuna göre simetriktir.
4. Denetleyelim: $f(x)=3x-6$ grafiğindeki $(4,6)$ noktasının karşılığı ters fonksiyonun grafiğinde $(6,4)$ tür ✓.

16. Yukarıda bir fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun adı sorulmaktadır. Buna göre istenen değer hangisidir?

I(x) = x

• A) Birim (özdeşlik) fonksiyon
• B) Sabit fonksiyon
• C) Sıfır fonksiyonu
• D) Ters fonksiyon
• E) Çift fonksiyon

Doğru cevap: A — Her elemanı kendisine eşleyen $I(x)=x$ fonksiyonuna birim (özdeşlik) fonksiyon denir.

1. Fonksiyonun ne yaptığına bakalım: girdiyi hiç değiştirmeden çıktı olarak veriyor — $I(7)=7$, $I(-2)=-2$.
2. Bu davranışı taşıyan fonksiyonun adı birim ya da özdeşlik fonksiyonudur; grafiği başlangıç noktasından geçen $y=x$ doğrusudur.
3. Bileşke işleminin etkisiz elemanı da odur: her $f$ için $f\circ I=I\circ f=f$ olur.
4. Denetleyelim: sabit fonksiyon olsaydı bütün girdiler AYNI değere giderdi ✓ — burada ise her girdi ayrı bir değere, kendisine gidiyor.

17. Yukarıdaki işlem sırasının matematiksel karşılığı sorulmaktadır. Buna göre hangi seçenek doğrudur?

• A) Ters fonksiyon
• B) Bileşke fonksiyon; önce indirim, sonra kupon uygulanır
• C) Sabit fonksiyon
• D) Birim fonksiyon
• E) Toplama işlemi

Doğru cevap: B — Önce indirimin, ardından kuponun uygulanması iki işlemin ardışık uygulanmasıdır; matematiksel karşılığı bileşke fonksiyondur.

1. İki işlemi ayrı ayrı fonksiyon olarak yazalım: indirim $i(x)=0{,}8x$, kupon $k(x)=x-10$.
2. Sıra bellidir: önce indirim uygulanıyor, çıkan tutar kuponun girdisi oluyor. Bu tam olarak $(k\circ i)(x)=0{,}8x-10$ demektir.
3. Bir işlemin çıktısının bir başkasının girdisi olması bileşke fonksiyonun tanımıdır.
4. Denetleyelim: $100$ TL için $i(100)=80$ ve ardından $k(80)=70$ TL ✓ — zincir tutarlı çalışıyor.

18. Tabloda iki farklı işlem sırasının sonuçları verilmiştir. Bu farkın gösterdiği sorulmaktadır. Tabloya göre söylenebilecek yargı hangisidir?

• A) İndirim etkisizdir.
• B) İki sıra aynı sonucu verir.
• C) Bileşkede işlem sırası sonucu değiştirir.
• D) Kupon etkisizdir.
• E) Hesap hatalıdır.

Doğru cevap: C — Aynı iki işlem sıra değişince $70$ TL yerine $72$ TL veriyor; bileşkede işlem sırası sonucu değiştirir.

1. Birinci sırayı hesaplayalım: $100$ TL ye önce %20 indirim uygulanır ($80$ TL), sonra $10$ TL kupon düşülür ($70$ TL). Tablodaki değer doğrulanıyor.
2. İkinci sırayı hesaplayalım: önce $10$ TL kupon düşülür ($90$ TL), sonra %20 indirim uygulanır: $90\cdot 0{,}8=72$ TL.
3. Aradaki $2$ TL lik fark kuponun indirimden önce düşülmesinden geliyor; o durumda kupon da %20 oranında küçülmüş oluyor. Öyleyse bileşkede sıra sonucu değiştirir.
4. Denetleyelim: $(k\circ i)(100)=70$ ama $(i\circ k)(100)=72$ ✓ — iki bileşke aynı fonksiyon değil.

19. Yukarıdaki çıkarımda yapılan hata sorulmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) Bütün fonksiyonlar bire birdir.
• B) Hiçbir fonksiyonun tersi yoktur.
• C) Ters fonksiyon tanımsızdır.
• D) Yalnızca bire bir ve örten fonksiyonların tersi vardır.
• E) Örtenlik gerekmez.

Doğru cevap: D — Ters fonksiyonun tanımlı olması için fonksiyonun bire bir ve örten olması gerekir; her fonksiyonun tersi yoktur.

1. Ters fonksiyon her çıktıyı geldiği TEK girdiye geri götürmelidir. Bunun için önce her çıktının tek bir girdisi olmalı, yani fonksiyon bire bir olmalıdır.
2. Bire bir olmayan bir örnek kuralım: $f(x)=x^2$ için $f(-3)=f(3)=9$ dur. $9$ dan geri dönerken $-3$ mü $3$ mü seçileceği belirsiz kalır; ters tanımlanamaz.
3. İkinci koşul örtenliktir: değer kümesinde eşlenmemiş bir eleman kalırsa ters fonksiyon o elemanda tanımsız olurdu. Öyleyse yalnız bire bir ve örten fonksiyonların tersi vardır.
4. Denetleyelim: $f(x)=3x-6$ hem bire bir hem örtendir ve tersi $\dfrac{x+6}{3}$ olarak yazılabiliyor ✓.

20. Kartlarda bu temanın üç temel düşüncesi verilmiştir. Kartlar birlikte değerlendirildiğinde ulaşılabilecek en kapsayıcı sonuç hangisidir?

• A) Kartlar birbirinden bağımsızdır.
• B) Bileşke zincirleme yapmaz.
• C) Ters işlemi geri almaz.
• D) Bire birlik gerekmez.
• E) Bileşke işlemleri zincirler, ters onları geri alır; bunun için fonksiyonun bire bir ve örten olması gerekir.

Doğru cevap: E — Üç kart birlikte okununca şu çıkar: bileşke işlemleri zincirler, ters onları geri alır ve bunun için fonksiyonun bire bir ve örten olması gerekir.

1. Birinci kart bileşkeyi tanıtıyor: bir işlemin çıktısı ötekinin girdisi olduğunda işlemler zincirlenir.
2. İkinci kart ters fonksiyonu ekliyor: zinciri geri sarmanın yolu her adımın tersini uygulamaktır, çünkü $f\circ f^{-1}=I$ dir.
3. Üçüncü kart bu geri almanın bedava olmadığını söylüyor: ters ancak fonksiyon bire bir ve örtenken tanımlanabilir. Üçü birleşince en kapsayıcı yargı ortaya çıkar.
4. Denetleyelim: bire bir olmayan bir fonksiyonda zincir ileri kurulabilir ama geri sarılamaz ✓ — üçüncü kart olmadan öteki ikisi eksik kalır.