Nicelikler ve Değişimler (2)

1. Yukarıda bir logaritma ifadesi verilmiştir. Bu ifadenin değeri sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?

log₂ 8 = ?

• A) 3
• B) 2
• C) 4
• D) 8
• E) 16

Doğru cevap: A — $\log_2 8 = 3$’tür; logaritma "taban kaçıncı kuvvetinde bu sayıyı verir" sorusunu yanıtlar.

1. Tanımı yazalım: $\log_a b = c$ demek $a^c = b$ demektir; burada $2^c = 8$ denklemini çözeceğiz.
2. 2’nin kuvvetlerini sıralayalım: $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$.
3. Aranan üs 3’tür, öyleyse $\log_2 8 = 3$.
4. Denetleyelim: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ ✓, tanım sağlanıyor.

2. Yukarıda 10 tabanında logaritmalarla bir toplam verilmiştir. Bu toplamın değeri sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?

log 4 + log 25

• A) 100
• B) 2
• C) 29
• D) 1
• E) 3

Doğru cevap: B — $\log 4 + \log 25 = 2$’dir; logaritmalar toplanırken içerideki sayılar çarpılır.

1. Kuralı yazalım: $\log a + \log b = \log(ab)$; logaritma çarpmayı toplamaya çevirir.
2. Uygulayalım: $\log 4 + \log 25 = \log(4 \cdot 25) = \log 100$.
3. Taban yazılmadığında 10 kabul edilir; $10^2 = 100$ olduğundan $\log 100 = 2$.
4. Denetleyelim: yaklaşık değerlerle bakalım, $\log 4 \approx 0{,}602$ ve $\log 25 \approx 1{,}398$; toplamları tam olarak 2 ediyor ✓.

3. Yukarıda logaritmalarla bir fark verilmiştir. Bu farkın değeri sorulmaktadır. Buna göre istenen değer kaçtır?

log₃ 81 − log₃ 3

• A) 27
• B) 4
• C) 3
• D) 1
• E) 2

Doğru cevap: C — $\log_3 81 - \log_3 3 = 3$’tür.

1. Birinci terimi bulalım: $3^4 = 81$ olduğundan $\log_3 81 = 4$.
2. İkinci terimi bulalım: $3^1 = 3$ olduğundan $\log_3 3 = 1$.
3. Çıkaralım: $4 - 1 = 3$.
4. Denetleyelim: aynı sonucu fark kuralıyla da bulalım, $\log_3 81 - \log_3 3 = \log_3\frac{81}{3} = \log_3 27 = 3$ çünkü $3^3 = 27$ ✓.

4. Yukarıda bir logaritma verilmiştir. Bu ifadenin değeri sorulmaktadır. Buna göre bulunan değer kaçtır?

log₂ 32

• A) 16
• B) 4
• C) 6
• D) 5
• E) 32

Doğru cevap: D — $\log_2 32 = 5$’tir.

1. Tanıma göre $2^c = 32$ denklemini çözeceğiz.
2. 2’nin kuvvetlerini yazalım: $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32$.
3. 32 sayısı 2’nin beşinci kuvveti olduğuna göre $\log_2 32 = 5$.
4. Denetleyelim: 2’yi beş kez çarpalım, $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ ✓.

5. Yukarıda üslü bir logaritma ifadesi verilmiştir. Bu ifadenin değeri sorulmaktadır. Buna göre bu değer kaçtır?

log₅ 25³

• A) 15
• B) 3
• C) 2
• D) 9
• E) 6

Doğru cevap: E — $\log_5 25^3 = 6$’dır; üs, logaritmanın önüne katsayı olarak alınır.

1. Kuralı yazalım: $\log_a b^n = n \cdot \log_a b$.
2. Uygulayalım: $\log_5 25^3 = 3 \cdot \log_5 25$.
3. $5^2 = 25$ olduğundan $\log_5 25 = 2$; çarpalım: $3 \cdot 2 = 6$.
4. Denetleyelim: ikinci bir yoldan gidelim, $25^3 = (5^2)^3 = 5^6$ ve $\log_5 5^6 = 6$ ✓; iki yol aynı sonucu veriyor.

6. Yukarıda bir logaritmik fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun tanım kümesi sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

f(x) = log(x − 3)

• A) x > 3
• B) x ≥ 3
• C) x < 3
• D) Bütün gerçek sayılar
• E) x ≠ 3

Doğru cevap: A — Logaritmanın içi pozitif olmalıdır: x − 3 > 0 → x > 3.

1. Logaritmanın içi sıfır ya da negatif olamaz.
2. x − 3 > 0 eşitsizliği kurulur.
3. x > 3 bulunur.

7. Yukarıda üstel bir denklem verilmiştir. Bu denklemin çözümü sorulmaktadır. Buna göre x kaçtır?

2ˣ = 64

• A) 5
• B) 6
• C) 32
• D) 8
• E) 4

Doğru cevap: B — $x = 6$’dır; iki yan aynı tabana getirilip üsler eşitlenir.

1. Sağ yanı 2’nin kuvveti olarak yazalım: $2^5 = 32$ ve $32 \cdot 2 = 64$, yani $64 = 2^6$.
2. Denklem $2^x = 2^6$ biçimine geldi.
3. Tabanlar eşit ve 1’den farklı olduğunda üstel fonksiyon birebirdir; öyleyse üsler de eşit olmalıdır: $x = 6$.
4. Denetleyelim: $2^6 = 64$ ✓, denklem sağlanıyor.

8. Yukarıda logaritmik bir denklem verilmiştir. Bu denklemin çözümü sorulmaktadır. Buna göre x kaçtır?

log₂ x = 5

• A) 25
• B) 10
• C) 32
• D) 16
• E) 64

Doğru cevap: C — $x = 32$’dir; logaritmik denklem üslü biçime çevrilerek çözülür.

1. Tanımı uygulayalım: $\log_2 x = 5$ demek $2^5 = x$ demektir.
2. Kuvveti hesaplayalım: $2^5 = 32$.
3. Öyleyse $x = 32$.
4. Denetleyelim: bulduğumuz değeri denkleme geri koyalım, $\log_2 32$ için $2^5 = 32$ olduğundan sonuç 5 çıkar ✓, verilen denklemle uyuşuyor.

9. Tabloda logaritma gösterimleri açıklanmış, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan bilgi hangisidir?

• A) Tabansız logaritma
• B) 2 tabanında logaritma
• C) 10 tabanında logaritma
• D) e tabanında doğal logaritma
• E) Ters logaritma

Doğru cevap: D — Boşluğa "e tabanında doğal logaritma" gelir; $\ln$ gösterimi tabanı $e$ olan logaritmayı anlatır.

1. Tablodaki ilk satır ölçütü veriyor: $\log x$ yazıldığında taban belirtilmemiştir ve 10 kabul edilir.
2. $\ln$ ise ayrı bir kısaltmadır; Latince "logarithmus naturalis", yani doğal logaritma sözünden gelir.
3. Bu logaritmanın tabanı $e \approx 2{,}718$ sayısıdır; yani $\ln x = \log_e x$ demektir.
4. Denetleyelim: $\ln e = 1$ olur çünkü $e^1 = e$ ✓; taban 10 olsaydı $\ln 10 = 1$ beklenirdi, oysa bu doğru değildir.

10. Tabloda bakteri sayısının değişimi verilmiştir. Bu büyümenin modeli sorulmaktadır. Tabloya göre doğru model hangisidir?

• A) N(t) = 2ᵗ
• B) N(t) = 500 + 500t
• C) N(t) = 500t²
• D) N(t) = 500 × t
• E) N(t) = 500 × 2ᵗ

Doğru cevap: E — Model $N(t) = 500 \cdot 2^t$’dir; sayı her saat ikiye katlandığı için büyüme üsteldir.

1. Tablodaki değişimi oran olarak okuyalım: $500 \to 1000$ iki kat, $1000 \to 2000$ yine iki kat; artan şey sabit bir SAYI değil, sabit bir ORAN.
2. Sabit oranlı büyüme üstel modelle yazılır: $N(t) = N_0 \cdot r^t$; burada başlangıç değeri $N_0 = 500$ ve oran $r = 2$’dir.
3. Model $N(t) = 500 \cdot 2^t$ olur.
4. Denetleyelim: $N(0) = 500 \cdot 1 = 500$ ✓, $N(1) = 500 \cdot 2 = 1000$ ✓ ve $N(2) = 500 \cdot 4 = 2000$ ✓; üç satır da tutuyor.

11. Tabloda bir maddenin bozunması verilmiştir. Maddenin yarı ömrü sorulmaktadır. Tabloya göre bu süre kaç yıldır?

• A) 5
• B) 10
• C) 20
• D) 40
• E) 2,5

Doğru cevap: A — Yarı ömür 5 yıldır; madde her 5 yılda bir yarıya iniyor.

1. Yarı ömür, bir maddenin miktarının yarıya inmesi için geçen süredir.
2. İlk aralığa bakalım: 0. yılda 80 g, 5. yılda 40 g; miktar yarıya inmiş ve geçen süre 5 yıl.
3. İkinci aralık da aynı: 5. yılda 40 g, 10. yılda 20 g; yine yarıya inmiş ve yine 5 yıl geçmiş. Süre sabit olduğuna göre yarı ömür 5 yıldır.
4. Denetleyelim: modeli kuralım, $m(t) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5}$; $t = 10$ için $80 \cdot \frac{1}{4} = 20$ ✓, tabloyla uyuşuyor.

12. Tabloda üstel fonksiyonların davranışı eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Taban değeri dikkate alındığında bu boşluğa gelmesi gereken ifade hangisidir?

• A) Artan
• B) Azalan
• C) Sabit
• D) Periyodik
• E) Tanımsız

Doğru cevap: B — Boşluğa "azalan" gelir; tabanı 0 ile 1 arasında olan üstel fonksiyon azalandır.

1. Ölçüt tabandır: $a > 1$ ise $a^x$ artan, $0 < a < 1$ ise azalandır.
2. Buradaki taban $\frac{1}{2}$’dir ve $0 < \frac{1}{2} < 1$ koşulunu sağlar.
3. Değerlerle görelim: $f(0) = 1$, $f(1) = \frac{1}{2}$, $f(2) = \frac{1}{4}$; $x$ büyüdükçe değer küçülüyor, çünkü her adımda 1’den küçük bir sayıyla çarpılıyor.
4. Denetleyelim: tablodaki ilk satır $2^x$ için "artan" diyor ve gerçekten $2 > 1$ ✓; $\frac{1}{2}$ ise 1’in altında kaldığı için ters yönde davranır.

13. Tabloda bir üstel fonksiyon ve tersi istenmiştir. Bu boşluğu tamamlayan ifade sorulmaktadır. Tabloya göre doğru yanıt hangisidir?

• A) f⁻¹(x) = x²
• B) f⁻¹(x) = 2ˣ
• C) f⁻¹(x) = log₂ x
• D) f⁻¹(x) = x/2
• E) f⁻¹(x) = √x

Doğru cevap: C — Ters fonksiyon $f^{-1}(x) = \log_2 x$’tir; üstel fonksiyonun tersi aynı tabanda logaritmadır.

1. Ters fonksiyonu bulmak için $y = 2^x$ yazıp $x$ ile $y$’yi yer değiştirelim: $x = 2^y$.
2. Şimdi $y$’yi yalnız bırakacağız; $x = 2^y$ eşitliği logaritmanın tanımı gereği $y = \log_2 x$ demektir.
3. Öyleyse $f^{-1}(x) = \log_2 x$; logaritma zaten üssü geri veren işlemdir.
4. Denetleyelim: $f(3) = 2^3 = 8$ ve $f^{-1}(8) = \log_2 8 = 3$ ✓; fonksiyon ile tersi birbirinin yaptığını geri alıyor.

14. Yukarıda bir logaritma verilmiştir. Bu ifadenin değeri sorulmaktadır. Buna göre hesaplanan değer kaçtır?

log₄ 64

• A) 2
• B) 4
• C) 16
• D) 3
• E) 6

Doğru cevap: D — $\log_4 64 = 3$’tür.

1. Tanıma göre $4^c = 64$ denklemini çözeceğiz.
2. 4’ün kuvvetlerini yazalım: $4^1 = 4$, $4^2 = 16$, $4^3 = 64$.
3. Aranan üs 3’tür, öyleyse $\log_4 64 = 3$.
4. Denetleyelim: iki sayıyı da 2 tabanında yazalım, $64 = 2^6$ ve $4 = 2^2$; taban değiştirme kuralıyla $\frac{6}{2} = 3$ ✓, aynı sonuç çıkıyor.

15. Yukarıda üstel bir eşitsizlik verilmiştir. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

3ˣ > 27

• A) x > 9
• B) x < 3
• C) x > 27
• D) x < 27
• E) x > 3

Doğru cevap: E — 27 = 3³ ve taban 1'den büyük olduğu için yön korunur: x > 3.

1. Her iki taraf 3 tabanına getirilir.
2. 3ˣ > 3³ yazılır.
3. Taban 1'den büyük olduğu için x > 3 olur.

16. Yukarıda bir logaritma verilmiştir. Bu ifadenin değeri sorulmaktadır. Buna göre elde edilen sonuç kaçtır?

log₇ 1

• A) 0
• B) 1
• C) 7
• D) −1
• E) Tanımsız

Doğru cevap: A — $\log_7 1 = 0$’dır; sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir.

1. Tanıma göre $7^c = 1$ denklemini çözeceğiz.
2. 7’nin kuvvetlerine bakalım: $7^1 = 7$ ve üs bir azaldıkça değer 7’ye bölünür; $7 \div 7 = 1$, yani $7^0 = 1$.
3. Öyleyse $c = 0$ ve $\log_7 1 = 0$’dır; bu kural her taban için geçerlidir, logaritmanın 1’deki değeri hep sıfır çıkar.
4. Denetleyelim: $7^0 = 1$ ✓; ayrıca her üstel fonksiyonun grafiği $(0, 1)$ noktasından geçtiği için ters fonksiyonu olan logaritma da $(1, 0)$ noktasından geçer.

17. Yukarıdaki durumun matematiksel modeli sorulmaktadır. Buna göre doğru model hangisidir?

• A) A = A₀ × 3
• B) A = A₀ × 1,1³
• C) A = A₀ + 0,1 × 3
• D) A = A₀ × 0,9³
• E) A = A₀ × 10³

Doğru cevap: B — Model $A = A_0 \cdot 1{,}1^3$’tür; yıllık %10 artış, her yıl 1,1 ile çarpmak demektir.

1. Bir yıllık artışı yazalım: para %10 artıyorsa yeni değer, eskisinin kendisi artı onda biridir: $A_0 + 0{,}1A_0 = 1{,}1A_0$.
2. İkinci yılda aynı işlem YENİ değere uygulanır: $1{,}1 \cdot (1{,}1A_0) = 1{,}1^2 A_0$.
3. Üçüncü yılın sonunda çarpan üç kez uygulanmış olur: $A = A_0 \cdot 1{,}1^3$; burada $1{,}1^3 = 1{,}331$, yani para üç yılda %33,1 artar.
4. Denetleyelim: $A_0 = 1000$ alalım; birinci yıl 1100, ikinci yıl 1210, üçüncü yıl 1331 çıkıyor ✓ ve $1000 \cdot 1{,}331 = 1331$.

18. Tabloda üstel bir fonksiyonun değerleri verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Eksik bırakılan bölüm hangi seçenektedir?

• A) 16
• B) 6
• C) 8
• D) 5
• E) 9

Doğru cevap: C — Boşluğa 8 gelir; $2^3 = 8$’dir.

1. Tabloyu okuyalım: $x = 0$ için 1, $x = 1$ için 2, $x = 2$ için 4; boşluk $x = 3$ satırındadır.
2. Üstel fonksiyonda $x$ bir arttığında değer tabanla çarpılır; taban 2 olduğuna göre son değeri ikiyle çarpalım: $4 \cdot 2 = 8$.
3. Doğrudan da hesaplanabilir: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
4. Denetleyelim: aynı kural önceki satırlarda da tutuyor mu bakalım — $1 \cdot 2 = 2$ ✓ ve $2 \cdot 2 = 4$ ✓; öyleyse sıradaki değer 8’dir.

19. Yukarıdaki çözümde yapılan hata sorulmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) x ve y negatif olabilir.
• B) Logaritma açılamaz.
• C) Taban belirtilmemiştir.
• D) Toplamın logaritması, logaritmaların toplamına eşit değildir; kural çarpım içindir.
• E) Hata yoktur.

Doğru cevap: D — Öğrencinin hatası, çarpım için geçerli olan kuralı toplama uygulamasıdır; $\log(x+y)$ bu biçimde açılamaz.

1. Doğru kuralı yazalım: $\log(xy) = \log x + \log y$; logaritma ÇARPMAYI toplamaya çevirir.
2. Verilen ifadede ise parantez içinde çarpım değil toplam var: $\log(x+y)$. Toplam için böyle bir açılım kuralı tanımlı değildir.
3. Sayıyla görelim: $x = y = 10$ alalım. Sol yan $\log 20 \approx 1{,}301$, sağ yan ise $\log 10 + \log 10 = 2$; iki değer birbirine eşit değil.
4. Denetleyelim: aynı sayılarla doğru kuralı deneyelim, $\log(10 \cdot 10) = \log 100 = 2$ ve $\log 10 + \log 10 = 2$ ✓; kural yalnız çarpımda tutuyor.

20. Kartlarda bu temanın üç temel düşüncesi verilmiştir. Kartlar birlikte değerlendirildiğinde ulaşılabilecek en kapsayıcı sonuç hangisidir?

• A) Kartlar birbirinden bağımsızdır.
• B) Üstel fonksiyon yavaş büyür.
• C) Logaritma üssü çözmez.
• D) İki fonksiyon ilişkisizdir.
• E) Üstel ve logaritmik fonksiyonlar birbirinin tersi olup büyüme ve ölçekleme problemlerini birlikte çözer.

Doğru cevap: E — Kartlar birlikte; üstel ve logaritmik fonksiyonların birbirinin tersi olduğunu ve büyüme ile ölçekleme problemlerini birlikte çözdüğünü söyler.

1. Birinci kart üstel büyümeyi veriyor: $a^x$ biçimindeki fonksiyonlar her adımda sabit bir oranla çarpıldığı için çok hızlı büyür.
2. İkinci kart logaritmanın işlevini ekliyor: logaritma "kaçıncı kuvvet" sorusunu yanıtlar, yani üstel denklemlerdeki bilinmeyen üssü çözer.
3. Üçüncü kart ikisinin ters ilişkisini kuruyor: $\log_a(a^x) = x$ ve $a^{\log_a x} = x$; biri ötekinin yaptığını geri alır.
4. Denetleyelim: bakteri sayısı $500 \cdot 2^t$ ile büyürken "kaç saatte 4000 olur" sorusu ancak logaritmayla çözülür ve $t = 3$ çıkar ✓; büyümeyi biri kurar, ölçeği öteki okur.