Geometrik Şekiller

1. Yukarıda bir çokgen verilmiştir. Bu çokgenin iç açıları toplamı sorulmaktadır. Buna göre toplam kaç derecedir?

Dışbükey beşgen

• A) 540
• B) 360
• C) 720
• D) 450
• E) 900

Doğru cevap: A — İç açılar toplamı (n − 2) × 180 = 3 × 180 = 540°'dir.

1. Kenar sayısı n = 5'tir.
2. Formül (n − 2) × 180 biçimindedir.
3. 3 × 180 = 540° bulunur.

2. Yukarıda bir çokgen türü anılmıştır. Her köşede bir dış açı alındığında dış açılar toplamı sorulmaktadır. Buna göre toplam kaç derecedir?

Herhangi bir dışbükey çokgen

• A) 180
• B) 360
• C) 540
• D) 720
• E) Kenar sayısına bağlıdır

Doğru cevap: B — Dışbükey bir çokgende her köşeden birer dış açı alınırsa toplamları kenar sayısından bağımsız olarak 360° dir.

1. Her köşede iç açı ile dış açı bütünlerdir: toplamları 180° dir. $n$ köşe için bunları toplayalım — iç açılar toplamı ile dış açılar toplamının toplamı $180n$ olur.
2. $n$ kenarlı bir çokgende iç açılar toplamı $(n-2)\cdot 180=180n-360$ derecedir.
3. Çıkaralım: dış açılar toplamı $=180n-(180n-360)=360$ derece. Sonuçta $n$ sadeleşti, yani toplam kenar sayısına bağlı değil.
4. Denetleyelim: karede dört dış açının her biri 90° ve toplam 360°; düzgün altıgende her biri 60° ve toplam yine 360° ✓.

3. Yukarıda bir düzgün çokgen verilmiştir. Bu çokgenin bir iç açısının ölçüsü sorulmaktadır. Buna göre bu açı kaç derecedir?

Düzgün altıgen

• A) 135
• B) 108
• C) 120
• D) 90
• E) 144

Doğru cevap: C — Düzgün altıgende iç açılar toplamı 720° ve altı açı eşit olduğundan bir iç açı 120° dir.

1. İç açılar toplamı bağıntısını yazalım: $(n-2)\cdot 180$ derece. Altıgende $n=6$ olduğundan $(6-2)\cdot 180=720$ derece bulunur.
2. Çokgen düzgün olduğu için altı iç açının hepsi birbirine eşittir.
3. Toplamı açı sayısına bölelim: $720\div 6=120$ derece.
4. Denetleyelim: bir dış açı $360\div 6=60$ derece ve $180-60=120$ derece ✓ — iki yol aynı değeri veriyor.

4. Yukarıda bir çokgen verilmiştir. Bu çokgenin köşegen sayısı sorulmaktadır. Buna göre bu sayı kaçtır?

Dışbükey sekizgen

• A) 28
• B) 16
• C) 24
• D) 20
• E) 12

Doğru cevap: D — Köşegen sayısı n(n − 3) ÷ 2 = 8 × 5 ÷ 2 = 20'dir.

1. Formül n(n − 3) ÷ 2 biçimindedir.
2. 8 × 5 = 40 hesaplanır.
3. 40 ÷ 2 = 20 bulunur.

5. Tabloda paralelkenarın özellikleri verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan bilgi hangisidir?

• A) Toplamı 90°'dir
• B) Bütünlerdir
• C) Diktir
• D) Farklıdır
• E) Eşittir

Doğru cevap: E — Paralelkenarda karşılıklı açılar birbirine eşittir; tablodaki boşluk bu ifadeyle dolar.

1. Tablonun kurgusu şu: solda özellik, sağda paralelkenarda o özelliğin aldığı biçim. Dolu satır karşılıklı kenarların paralel ve eşit olduğunu söylüyor.
2. Bir köşegen çizelim: karşılıklı kenarlar paralel ve eşit olduğundan ortaya çıkan iki üçgen eş olur. Eş üçgenlerin karşılıklı açıları da eşittir.
3. Öyleyse paralelkenarda karşılıklı açılar eşittir. Komşu açılar ise bütünlerdir, toplamları 180° dir.
4. Denetleyelim: açılar $x,\ y,\ x,\ y$ ise toplam $2x+2y=360$ ve $x+y=180$ derece ✓ — komşu açıların bütünlerliğiyle uyuşuyor.

6. Yukarıda bir paralelkenarın ölçüleri verilmiştir. Bu paralelkenarın alanı aranmaktadır. Buna göre aranan alan kaç br²'dir?

Taban 12 br, yükseklik 7 br

• A) 84
• B) 19
• C) 42
• D) 38
• E) 96

Doğru cevap: A — Paralelkenarın alanı taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımıdır: $12\cdot 7=84$ br².

1. Alan bağıntısını yazalım: $A=a\cdot h_a$; buradaki $h_a$, $a$ tabanına indirilen yüksekliktir.
2. Verilenleri yerleştirelim: taban $12$ br, yükseklik $7$ br.
3. Çarpalım: $12\cdot 7=84$ br².
4. Denetleyelim: paralelkenarın bir ucundan kesilen dik üçgen öteki yana taşınırsa şekil $12\times 7$ lik bir dikdörtgene dönüşür ✓ — alanı yine $84$ br².

7. Yukarıda bir eşkenar dörtgenin köşegenleri verilmiştir. Bu dörtgenin alanı sorulmaktadır. Buna göre alan kaç br²'dir?

Köşegenler 10 br ve 8 br

• A) 80
• B) 40
• C) 18
• D) 20
• E) 36

Doğru cevap: B — Köşegenleri dik kesişen dörtgende alan (d₁ × d₂) ÷ 2 = 80 ÷ 2 = 40 br²'dir.

1. Eşkenar dörtgende köşegenler diktir.
2. Alan (10 × 8) ÷ 2 biçiminde hesaplanır.
3. 80 ÷ 2 = 40 br² bulunur.

8. Tabloda bir yamuğun ölçüleri verilmiştir. Bu yamuğun alanı sorulmaktadır. Tabloya göre alan kaç br²'dir?

• A) 25
• B) 100
• C) 50
• D) 40
• E) 70

Doğru cevap: C — Yamuğun alanı tabanlar toplamı ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır: $\dfrac{(14+6)\cdot 5}{2}=50$ br².

1. Yamuk alan bağıntısını yazalım: $A=\dfrac{(a+c)\cdot h}{2}$.
2. Tabanları toplayalım: $14+6=20$ br.
3. Yükseklikle çarpıp ikiye bölelim: $20\cdot 5=100$ ve $100\div 2=50$ br².
4. Denetleyelim: orta taban $20\div 2=10$ br olup $10\cdot 5=50$ br² ✓ — iki yol aynı sonucu veriyor.

9. Tabloda dörtgenlerin köşegen özellikleri eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Bu boşluğu hangi seçenek tamamlar?

• A) Köşegen yoktur
• B) Köşegenler eşittir
• C) Köşegenler paraleldir
• D) Köşegenler diktir; biri ötekini ortalar
• E) Köşegenler kesişmez

Doğru cevap: D — Deltoidde köşegenler birbirine diktir ama yalnız simetri ekseni olan köşegen ötekini ortalar.

1. Tablonun kurgusu şu: solda dörtgen, sağda köşegenlerinin özelliği. Dolu satır eşkenar dörtgende köşegenlerin birbirini DİK ORTAladığını söylüyor.
2. Deltoid, iki çift komşu kenarı eşit olan dörtgendir. Eşit kenarların birleştiği iki köşeyi bağlayan köşegen bir simetri eksenidir.
3. Bu simetri ekseni öteki köşegeni dik olarak ortalar; ama kendisi ortalanmaz, çünkü deltoidin dört kenarı eşit değildir. Öyleyse köşegenler diktir, ortalama ise tek yönlüdür.
4. Denetleyelim: deltoidin dört kenarı da eşit olsaydı şekil eşkenar dörtgene dönüşür ve iki köşegen de ortalanırdı ✓ — tablodaki üst satıra düşerdi.

10. Yukarıda bir dikdörtgenin kenarları verilmiştir. Bu dikdörtgenin köşegen uzunluğu sorulmaktadır. Buna göre uzunluk kaç birimdir?

Kenarlar 6 br ve 8 br

• A) 12
• B) 14
• C) 48
• D) 7
• E) 10

Doğru cevap: E — Dikdörtgenin köşegeni, kenarların oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsüdür: $\sqrt{6^2+8^2}=10$ br.

1. Köşegen çizildiğinde dik kenarları $6$ br ve $8$ br olan bir dik üçgen ortaya çıkar; köşegen bu üçgenin hipotenüsüdür.
2. Pisagor bağıntısını yazalım: $e^2=6^2+8^2=36+64=100$.
3. Karekök alalım: $e=\sqrt{100}=10$ br.
4. Denetleyelim: $(6,8,10)$ üçlüsü $(3,4,5)$ üçgeninin iki katıdır ve $36+64=100$ ✓.

11. Yukarıda bir karenin köşegeni verilmiştir. Bu karenin alanı sorulmaktadır. Buna göre alan kaç br²'dir?

Köşegen uzunluğu 6√2 br olan kare

• A) 36
• B) 72
• C) 18
• D) 24
• E) 12

Doğru cevap: A — Karede köşegen $a\sqrt{2}$ olduğundan $a=6$ br çıkar ve alan $6^2=36$ br² olur.

1. Karede köşegen, dik kenarları $a$ olan ikizkenar dik üçgenin hipotenüsüdür: $e=a\sqrt{2}$.
2. Verilen değerle eşitleyelim: $a\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ olduğundan $a=6$ br.
3. Alanı hesaplayalım: $A=a^2=6^2=36$ br².
4. Denetleyelim: köşegeni bilinen karede $A=\dfrac{e^2}{2}=\dfrac{(6\sqrt{2})^2}{2}=\dfrac{72}{2}=36$ br² ✓ — iki yol aynı sonucu veriyor.

12. Tabloda dörtgenlerin simetri eksenleri verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Tablodaki boşluk nasıl doldurulmalıdır?

• A) 4
• B) 2
• C) 1
• D) 0
• E) 3

Doğru cevap: B — Dikdörtgende yalnız karşılıklı kenarların orta noktalarından geçen iki simetri ekseni vardır.

1. Tablonun dolu satırı: karede $4$ simetri ekseni var — iki kenar ortadikmesi ve iki köşegen.
2. Dikdörtgende kenar orta noktalarını birleştiren iki doğru şekli kendisiyle çakıştırır; bunlar simetri eksenidir.
3. Köşegenler ise simetri ekseni değildir: köşegen boyunca katlandığında uzun kenar kısa kenarın üzerine düşmez. Öyleyse eksen sayısı $2$ dir.
4. Denetleyelim: dikdörtgenin kenarları eşitlenirse şekil kareye dönüşür, köşegenler de eksen olur ve sayı $4$ e çıkar ✓.

13. Tabloda çokgen türleri tanımlanmış, biri boş bırakılmıştır. Eksik bırakılan bölüm hangi seçenektedir?

• A) Kenarlar eşittir
• B) Bütün açılar eşittir
• C) En az bir iç açı 180°'den büyüktür
• D) Köşegen yoktur
• E) Açı toplamı değişir

Doğru cevap: C — İçbükey çokgende en az bir iç açı 180° den büyüktür; tablodaki boşluğa bu özellik gelir.

1. Tablonun dolu satırı dışbükeyi tanımlıyor: bütün iç açılar 180° den küçüktür. İçbükeylik bu tanımın olumsuzudur.
2. Bir önermenin olumsuzu alınırken "bütün" niceleyicisi "en az bir" e dönüşür; öyleyse içbükey çokgende en az bir iç açı 180° den büyüktür.
3. Bunun geometrik karşılığı şudur: o köşe içeri doğru girintili durur ve çokgenin içinden geçmeyen bir köşegen ortaya çıkar.
4. Denetleyelim: içbükey bir beşgende açılar örneğin 60°, 60°, 60°, 120° ve 240° olabilir; toplamları 540° ✓ — açı toplamı bağıntısı yine sağlanıyor.

14. Yukarıda bir düzgün çokgen verilmiştir. Bir dış açısının ölçüsü sorulmaktadır. Buna göre bu açı kaç derecedir?

Düzgün on kenarlı çokgen

• A) 144
• B) 30
• C) 45
• D) 36
• E) 18

Doğru cevap: D — Dış açılar toplamı 360° ve on dış açı eşit olduğundan bir dış açı $360\div 10=36$ derecedir.

1. Dışbükey her çokgende dış açılar toplamı 360° dir; kenar sayısı bu toplamı değiştirmez.
2. Çokgen düzgün olduğundan on dış açının hepsi birbirine eşittir.
3. Bölelim: $360\div 10=36$ derece.
4. Denetleyelim: bir iç açı $180-36=144$ derece olur; iç açılar toplamı $10\cdot 144=1440$ ve bağıntıdan $(10-2)\cdot 180=1440$ ✓.

15. Yukarıda bir yamuğun tabanları verilmiştir. Bu yamuğun orta tabanının uzunluğu sorulmaktadır. Buna göre uzunluk kaç birimdir?

Yamukta tabanlar 18 br ve 10 br

• A) 18
• B) 28
• C) 8
• D) 9
• E) 14

Doğru cevap: E — Yamuğun orta tabanı, tabanların aritmetik ortalamasıdır: $\dfrac{18+10}{2}=14$ br.

1. Orta taban, yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasıdır ve iki tabana da paraleldir.
2. Uzunluğu tabanların aritmetik ortalamasına eşittir: $\dfrac{a+c}{2}$.
3. Değerleri koyalım: $\dfrac{18+10}{2}=\dfrac{28}{2}=14$ br.
4. Denetleyelim: $14$ sayısı $10$ ile $18$ in tam ortasındadır ✓ — iki tabana uzaklığı eşit olan bir parçadan beklenen de budur.

16. Tabloda benzer iki karenin kenar oranı verilmiş, alan oranı boş bırakılmıştır. Bu boşluğa gelmesi gereken değer hangisidir?

• A) 1/9
• B) 1/3
• C) 1/6
• D) 3/1
• E) 1/27

Doğru cevap: A — Benzer şekillerde alan oranı, benzerlik oranının karesidir: $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}$.

1. Kenar oranı $\dfrac{1}{3}$ verilmiş; küçük karenin kenarı $a$ ise büyüğünkü $3a$ dır.
2. Alanları yazalım: $a^2$ ve $(3a)^2=9a^2$.
3. Oranı kuralım: $\dfrac{a^2}{9a^2}=\dfrac{1}{9}$. Alan iki boyutlu ölçüldüğü için oran karelenir.
4. Denetleyelim: kenarlar $1$ br ve $3$ br olsun — alanlar $1$ br² ve $9$ br², oran $\dfrac{1}{9}$ ✓.

17. Yukarıda bir paralelkenarın kenarları verilmiştir. Bu paralelkenarın çevresi sorulmaktadır. Buna göre çevre kaç birimdir?

Kenarları 9 br ve 5 br olan paralelkenar

• A) 14
• B) 28
• C) 45
• D) 18
• E) 20

Doğru cevap: B — Paralelkenarda karşılıklı kenarlar eşit olduğundan çevre $2\cdot(9+5)=28$ br dir.

1. Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşittir; öyleyse dört kenar sırasıyla $9$, $5$, $9$ ve $5$ br dir.
2. Bir uzun ile bir kısa kenarı toplayalım: $9+5=14$ br.
3. İki katını alalım: $2\cdot 14=28$ br.
4. Denetleyelim: dört kenarı doğrudan toplayalım — $9+5+9+5=28$ br ✓.

18. Yukarıdaki bahçenin alanı sorulmaktadır. Buna göre alan kaç m²'dir?

• A) 180
• B) 288
• C) 144
• D) 108
• E) 160

Doğru cevap: C — Yamuk biçimli bahçenin alanı $\dfrac{(20+12)\cdot 9}{2}=144$ m² dir.

1. Yamuk alan bağıntısını yazalım: $A=\dfrac{(a+c)\cdot h}{2}$; burada $a$ ile $c$ tabanlar, $h$ yüksekliktir.
2. Tabanları toplayalım: $20+12=32$ m.
3. Yükseklikle çarpıp ikiye bölelim: $32\cdot 9=288$ ve $288\div 2=144$ m².
4. Denetleyelim: orta taban $32\div 2=16$ m olup $16\cdot 9=144$ m² ✓ — iki yol aynı sonucu veriyor.

19. Yukarıdaki çıkarımda yapılan hata sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

• A) Yamukta köşegen yoktur.
• B) Köşegenler hiç eşit olamaz.
• C) Dikdörtgende köşegenler eşit değildir.
• D) İkizkenar yamukta da köşegenler eşittir; tek başına yeterli koşul değildir.
• E) Çıkarımda hata yoktur.

Doğru cevap: D — Köşegen eşitliği ikizkenar yamukta da sağlandığından tek başına dörtgenin dikdörtgen olmasını gerektirmez.

1. Öğrencinin kurduğu önerme şu: köşegenleri eşitse dörtgen dikdörtgendir. Bu, doğru bir özelliğin tersini de doğru saymaktır.
2. Dikdörtgende köşegenlerin eşit olduğu doğrudur. Ama bir karşı örnek var: ikizkenar yamukta da köşegenler eşit uzunluktadır, üstelik açıları dik değildir.
3. Öyleyse köşegen eşitliği gerekli bir koşuldur ama yeterli değildir; dikdörtgen için ek olarak açıların dik olması gerekir.
4. Denetleyelim: tabanları $10$ br ve $6$ br olan ikizkenar bir yamukta iki köşegen simetri nedeniyle eşittir ✓ — yine de şekil dikdörtgen değildir.

20. Kartlarda bu temanın üç temel düşüncesi verilmiştir. Kartlar birlikte değerlendirildiğinde ulaşılabilecek en kapsayıcı sonuç hangisidir?

• A) Kartlar birbirinden bağımsızdır.
• B) Açı toplamı kenar sayısından bağımsızdır.
• C) Köşegenler tür belirlemez.
• D) Alan hesaplanamaz.
• E) Çokgenler; açı toplamı, köşegen özellikleri ve alan bağıntılarıyla birlikte tanınır.

Doğru cevap: E — Üç kart birlikte okununca şu çıkar: çokgenler açı toplamı, köşegen özellikleri ve alan bağıntılarıyla birlikte tanınır.

1. Birinci kart açı bilgisini veriyor: iç açılar toplamı $(n-2)\cdot 180$ olduğundan kenar sayısına bağlıdır.
2. İkinci kart tür ayırt etmeyi ekliyor: köşegenlerin eşitliği, dikliği ve birbirini ortalaması dörtgeni kare, dikdörtgen, eşkenar dörtgen ya da deltoid olarak ayırır.
3. Üçüncü kart ölçmeyi getiriyor: alan taban ile yükseklik üzerinden hesaplanır. Üçü birleşince çokgen hem tanınır hem ölçülür.
4. Denetleyelim: yalnız alan bilinseydi şeklin türü, yalnız açı toplamı bilinseydi ölçüleri belirlenemezdi ✓ — üç pencere birbirini tamamlıyor.