9. Sınıf Üslü ve Köklü Gösterimlerle İşlemler — Konu Anlatımı

Üslü Gösterim Nedir?

Aynı sayının kendisiyle tekrar tekrar çarpımı kısaca üslü gösterimle yazılır: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ tane}}$. Burada $a$ taban, $n$ üs (kuvvet) adını alır. Örneğin $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Sıfırıncı kuvvet: $a \neq 0$ için $a^0 = 1$’dir. Taban negatif olsa da değişmez: $(-9)^0 = 1$. $0^0$ ise tanımsızdır.

Negatif tabanda parantez farkı: üs yalnız hemen önündeki sayıya etki eder.

• $(-2)^4 = 16$ — parantez içindeki $-2$ dört kez çarpılır, çift kuvvet pozitif yapar.
• $-2^4 = -16$ — önce $2^4 = 16$ bulunur, eksi işareti sonra gelir.
• $(-2)^3 = -8$ — tek kuvvet işareti korur.

Negatif üs: sayıyı negatif yapmaz; tabanın çarpmaya göre tersini alır:

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$    örnek: $5^{-2} = \dfrac{1}{25}$,   $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2} = \dfrac{9}{4}$

Kesirli bir tabanın negatif kuvvetinde önce kesir ters çevrilir, sonra üs pozitif olarak uygulanır. Bu tek adım, testlerde en sık sorulan kart sorusunun anahtarıdır.

Üslü İfadelerde İşlem Kuralları

Toplama ve çıkarmada üsler toplanmaz. Yalnız aynı terimler ortak çarpan parantezine alınır:

• $2^5 + 2^5 = 2 \cdot 2^5 = 2^6 = 64$
• $3^4 + 3^4 + 3^4 = 3 \cdot 3^4 = 3^5 = 243$
• $5^3 - 5^2 = 5^2(5 - 1) = 25 \cdot 4 = 100$

Kuvvetin kuvveti ile üs kulesi farklıdır: $(2^3)^2 = 2^6 = 64$ iken $2^{3^2} = 2^9 = 512$’dir. Üs kulesi yukarıdan aşağıya hesaplanır.

Çözümlü örnek 1. $\dfrac{5^3 \cdot 5^{-1}}{5^{-2}}$ kaçtır?

1. Tabanlar aynı: paydaki üsler toplanır → $5^{3 + (-1)} = 5^2$.
2. Bölmede üsler çıkarılır → $5^{2 - (-2)} = 5^{4}$.
3. $5^4 = 625$.

Dikkat: $2 - (-2) = 4$’tür. Eksi üssü çıkarırken işaret değişir; en çok kaybedilen puan bu satırdadır.

Üslü Denklemler: Tabanları Eşitle

$a > 0$, $a \neq 1$ olmak üzere $a^x = a^y$ ise $x = y$’dir. Yani iki taraf aynı tabana yazılabiliyorsa üsler eşitlenir.

Çözümlü örnek 2. $8^x = 16$ ise $x$ kaçtır?

1. İki sayı da 2’nin kuvveti: $8 = 2^3$, $16 = 2^4$.
2. $(2^3)^x = 2^4 \Rightarrow 2^{3x} = 2^4$.
3. $3x = 4 \Rightarrow x = \dfrac{4}{3}$.

Çözümlü örnek 3. $3^{x-2} = 81$ ise $2^x$ kaçtır?

1. $81 = 3^4$ olduğundan $x - 2 = 4$, yani $x = 6$.
2. İstenen $2^x$: $2^6 = 64$.

İkinci örnekteki tuzak: soru $x$’i değil $2^x$’i istiyor. Şıklar arasında mutlaka $6$ da vardır; son satırı okumadan işaretleme.

Büyüme problemleri de üslü denklemdir. Her saat 3 katına çıkan 5 bakteri 4 saat sonra $5 \cdot 3^4 = 5 \cdot 81 = 405$ olur. Ters soru: 405 bakteriye kaç saatte ulaşılır? $5 \cdot 3^t = 405 \Rightarrow 3^t = 81 = 3^4 \Rightarrow t = 4$ saat.

Bilimsel Gösterim

Çok büyük ve çok küçük sayılar $a \times 10^n$ biçiminde yazılır; burada $1 \leq a < 10$ ve $n$ bir tam sayıdır.

• $5\,800\,000 = 5{,}8 \times 10^6$ (virgül 6 basamak sola kaydı)
• $0{,}00047 = 4{,}7 \times 10^{-4}$ (virgül 4 basamak sağa kaydı, üs negatif)

İşlem yaparken katsayılar kendi arasında, 10’un kuvvetleri kendi arasında işlenir; sonuç yeniden $1 \leq a < 10$ olacak biçimde düzeltilir.

$(4 \times 10^5) \cdot (6 \times 10^3) = 24 \times 10^8 = 2{,}4 \times 10^9$

$\dfrac{9 \times 10^8}{3 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{8-(-2)} = 3 \times 10^{10}$

Çözümlü örnek 4 (senaryo). Bir sabit diskin kapasitesi $2 \times 10^{12}$ bayt, bir fotoğraf ortalama $4 \times 10^6$ bayttır. Diske kaç fotoğraf sığar?

1. Bölme kurulur: $\dfrac{2 \times 10^{12}}{4 \times 10^6}$.
2. Katsayılar: $2 \div 4 = 0{,}5$; kuvvetler: $10^{12-6} = 10^6$.
3. $0{,}5 \times 10^6$ bilimsel gösterimde değil ($0{,}5 < 1$): $5 \times 10^5$, yani 500 000 fotoğraf.

Rasyonel Üs ve Köklü Gösterim

Kök, üssün kesirli biçimidir:

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$

Hesaplarken önce kökü almak sayıları küçük tutar:

• $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$
• $16^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$
• $81^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{81}} = \dfrac{1}{9}$

Tanım koşulu: çift dereceli kökün içi negatif olamaz ($\sqrt{-4}$ gerçek sayı değildir). Tek dereceli kök negatif sayıda da tanımlıdır: $\sqrt[3]{-27} = -3$.

Karekök ve mutlak değer: $\sqrt{x^2} = |x|$’tir. $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$ olur, $-5$ değil. Karekök hiçbir zaman negatif sonuç vermez.

Köklü İfadeyi Sadeleştirme ve Katsayıyı Kök İçine Alma

Sadeleştirme: kök içindeki sayı, en büyük tam kare çarpanı ile kalanın çarpımı olarak yazılır; tam kare dışarı çıkar.

• $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$
• $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$
• $\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$

En büyük tam kareyi seçmezsen sadeleştirme yarım kalır: $\sqrt{72} = \sqrt{4 \cdot 18} = 2\sqrt{18}$ doğru ama en sade değil; $\sqrt{18}$ yine $3\sqrt{2}$’ye iner ve sonuç yine $6\sqrt{2}$ çıkar.

Kök içine alma: dışarıdaki katsayı karesi alınarak içeri girer: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$. Bu, köklü sayıları karşılaştırmanın en güvenli yoludur.

Çözümlü örnek 5. $a = 2\sqrt{7}$, $b = 3\sqrt{3}$, $c = 4\sqrt{2}$ sayılarını sıralayın.

1. $a = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$
2. $b = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$
3. $c = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}$
4. $27 < 28 < 32$ olduğundan $b < a < c$.

Katsayısı en büyük olan ($c$’deki 4) en büyük çıktı ama bu bir kural değildir; $b$’nin katsayısı $a$’dan büyük olduğu hâlde $b$ daha küçüktür.

Köklülerle Dört İşlem ve Eşlenik

Toplama-çıkarma: yalnız kök içleri aynı olan terimler toplanır, tıpkı $4x + 3x = 7x$ gibi. Kök içleri farklı görünüyorsa önce sadeleştir:

$\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

Çarpma-bölme: kök dereceleri aynıysa içler çarpılır ya da bölünür.

• $\sqrt{6} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}$
• $\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{16} = 4$

Kök toplamaya dağılmaz: $\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$, oysa $\sqrt{36} + \sqrt{64} = 6 + 8 = 14$. Testlerdeki "hangi adım yanlış" sorularının çoğu tam olarak bu adımı gizler.

Eşlenik: $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ ile $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ birbirinin eşleniğidir. Çarpımları iki kare farkıdır ve kökten kurtulur:

$(\sqrt{7} + \sqrt{2})(\sqrt{7} - \sqrt{2}) = 7 - 2 = 5$

Paydayı Rasyonel Yapma

Paydada kök bırakılmaz. Kesir, paydayı kökten kurtaracak bir ifadeyle hem pay hem payda genişletilir; kesrin değeri değişmez.

Paydada tek kök varsa aynı kökle genişlet:

$\dfrac{10}{\sqrt{5}} = \dfrac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$

Paydada iki terim varsa eşlenikle genişlet.

Çözümlü örnek 6. $\dfrac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ ifadesini sadeleştirin.

1. Eşlenik $\sqrt{6} + \sqrt{2}$; pay ve payda bununla çarpılır.
2. Payda: $(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2 = 6 - 2 = 4$.
3. Pay: $4(\sqrt{6} + \sqrt{2})$.
4. $\dfrac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$.

Köklü Sayıyı İki Tam Sayı Arasına Yerleştirme

$\sqrt{n}$ sayısının hangi iki ardışık tam sayı arasında olduğunu bulmak için $n$’nin iki yanındaki tam kareler aranır.

$36 < 40 < 49 \Rightarrow 6 < \sqrt{40} < 7$

Hangisine daha yakın? $40 - 36 = 4$, $49 - 40 = 9$; 40 sayısı 36’ya yakın olduğundan $\sqrt{40}$ de 6’ya yakındır (yaklaşık $6{,}3$).

Katsayılı köklerde önce katsayı içeri alınır: $3\sqrt{5} = \sqrt{45}$ ve $36 < 45 < 49$ olduğundan $6 < 3\sqrt{5} < 7$.

Çözümlü örnek 7 (senaryo). Alanı 90 m² olan kare bir bahçenin kenar uzunluğu hangi iki tam sayı arasındadır?

1. Kenar = $\sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}$ metre.
2. $81 < 90 < 100 \Rightarrow 9 < \sqrt{90} < 10$.
3. Kenar 9 m ile 10 m arasındadır; 90, 81’e daha yakın olduğundan 9’a daha yakındır.

Sık Yapılan Hatalar

1. $-3^2$ ile $(-3)^2$’yi karıştırmak. İlki $-9$, ikincisi $9$.
2. Negatif üssü negatif sayı sanmak. $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$; $-8$ ya da $-\dfrac{1}{8}$ değil.
3. Toplamada üsleri toplamak. $2^3 + 2^4 \neq 2^7$. Doğrusu $8 + 16 = 24$.
4. Kökü toplamaya dağıtmak. $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
5. Bilimsel gösterimi yarım bırakmak. $15 \times 10^{10}$ bilimsel gösterim değildir; $1{,}5 \times 10^{11}$ yazılır.
6. Katsayıyı kök içine karesini almadan sokmak. $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$, $\sqrt{6}$ değil.
7. $\sqrt{x^2} = x$ yazmak. Doğrusu $|x|$.

Özet

• $a^0 = 1$, $a^{-n} = 1/a^n$, $a^{m/n} = (\sqrt[n]{a})^m$.
• Aynı tabanda çarpmada üsler toplanır, bölmede çıkarılır; kuvvetin kuvvetinde çarpılır.
• Üslü denklemde iki taraf aynı tabana yazılıp üsler eşitlenir.
• Bilimsel gösterimde katsayı $1 \leq a < 10$ aralığındadır.
• Kök sadeleştirmede en büyük tam kare çarpan dışarı çıkar; karşılaştırmada katsayı içeri girer.
• Paydadaki kök, tek terimde aynı kökle, iki terimde eşlenikle giderilir.
• $\sqrt{n}$, $n$’nin iki yanındaki tam karelerin kökleri arasındadır.

Sık sorulanlar