Gerçek Sayıların Üslü ve Köklü Gösterimleri ile Yapılan İşlemler

1. Kartta negatif üslü bir sayı verilmiştir. Bu sayının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

2⁻³

• A) −8
• B) 1/8
• C) −1/8
• D) 8
• E) 1/6

Doğru cevap: B — Negatif üs tabanın çarpmaya göre tersini alır: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.

1. Ne soruluyor: negatif üslü bir sayının değeri. Kullanılacak kural: a ≠ 0 için a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
2. 2⁻³ = 1/2³ biçiminde yazılır.
3. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 olduğundan sonuç 1/8 bulunur.
4. Denetleme: 2³ × 2⁻³ = 2⁰ = 1 olmalıdır; 8 × 1/8 = 1 ✓.
5. Sık yapılan hata: −8 ya da −1/8 demek. Negatif üs sayının işaretini değiştirmez, tersini alır; sonuç pozitiftir.

2. Bir laboratuvarda bakteri sayısı her saat bir önceki saatin 2 katına çıkmaktadır. Başlangıçta 3 bakteri bulunduğuna göre 5 saat sonra kaç bakteri olur?

• A) 30
• B) 48
• C) 192
• D) 96
• E) 243

Doğru cevap: D — Her saat 2 ile çarpılır; 5 saatte 2⁵ katına çıkar: 3 × 2⁵ = 3 × 32 = 96.

1. Ne soruluyor: her saat ikiye katlanan bir sayının 5 saat sonraki değeri.
2. 1 saat sonra 3 × 2, 2 saat sonra 3 × 2², … 5 saat sonra 3 × 2⁵ olur.
3. 2⁵ = 32 olduğundan 3 × 32 = 96 bakteri bulunur.
4. Denetleme: 3 → 6 → 12 → 24 → 48 → 96; beş katlama sayıldı ✓.
5. Sık yapılan hata: 30 demek. Bu, 2 ile 5'i çarpıp 3 ile çarpmaktır; katlanma toplama gibi değil, üslü büyür.

3. Kartta tabanları aynı olan üslü sayılarla bir işlem verilmiştir. Bu işlemin sonucu hangisidir?

(3⁴ × 3⁻²) ÷ 3⁻¹

• A) 27
• B) 9
• C) 1/3
• D) 81
• E) 3

Doğru cevap: A — Tabanlar aynı olduğundan çarpmada üsler toplanır, bölmede çıkarılır: 3^(4 − 2 − (−1)) = 3³ = 27.

1. Ne soruluyor: aynı tabanlı üslü sayılarla çarpma ve bölme.
2. Parantez içi: 3⁴ × 3⁻² = 3^(4 + (−2)) = 3².
3. Bölme: 3² ÷ 3⁻¹ = 3^(2 − (−1)) = 3³ = 27.
4. Denetleme: 81 × 1/9 = 9 ve 9 ÷ 1/3 = 27 ✓.
5. Sık yapılan hata: 3 demek. 2 − 1 = 1 alınırsa bölmedeki negatif üssün işareti atlanmış olur; eksi eksi artıdır.

4. Işığın boşluktaki hızı yaklaşık 3 × 10⁸ m/s'dir. Güneş ışığı Dünya'ya yaklaşık 5 × 10² saniyede ulaştığına göre Güneş ile Dünya arasındaki uzaklık yaklaşık kaç metredir?

• A) 1,5 × 10¹⁰
• B) 8 × 10¹⁰
• C) 15 × 10¹⁶
• D) 1,5 × 10¹⁶
• E) 1,5 × 10¹¹

Doğru cevap: E — Yol = hız × zaman = (3 × 10⁸) × (5 × 10²) = 15 × 10¹⁰ = 1,5 × 10¹¹ metre.

1. Ne soruluyor: bilimsel gösterimle verilen hız ve zamandan yol.
2. Katsayılar çarpılır: 3 × 5 = 15.
3. Onun kuvvetleri çarpılır, üsler toplanır: 10⁸ × 10² = 10¹⁰. Sonuç 15 × 10¹⁰.
4. Bilimsel gösterimde katsayı 1 ile 10 arasında olmalı: 15 × 10¹⁰ = 1,5 × 10¹¹. Denetleme: 1,5 × 10¹¹ ÷ (3 × 10⁸) = 500 saniye ✓.
5. Sık yapılan hata: 1,5 × 10¹⁰ yazmak. Katsayıyı 15'ten 1,5'e küçültünce üssü bir artırmak unutulmuştur.

5. Kartta bir köklü ifade verilmiştir. Bu ifadenin a√b biçimindeki en sade yazılışı hangisidir?

√48

• A) 2√12
• B) 3√4
• C) 4√3
• D) 6√2
• E) 16√3

Doğru cevap: C — 48 = 16 × 3 ve 16 tam kare olduğundan √48 = √16 × √3 = 4√3.

1. Ne soruluyor: kök içindeki en büyük tam kare çarpanı dışarı çıkarmak.
2. 48'in tam kare çarpanları 4 ve 16'dır; en büyüğü 16.
3. √48 = √(16 × 3) = √16 × √3 = 4√3.
4. Denetleme: (4√3)² = 16 × 3 = 48 ✓.
5. Sık yapılan hata: 2√12 demek. Bu yazılış eşittir ama en sade değildir; √12 içinde hâlâ 4 tam karesi vardır.

6. Karttaki köklü ifadelerle toplama ve çıkarma yapılacaktır. Sonucun en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

√75 − √27 + √12

• A) 4√3
• B) 2√3
• C) 6√3
• D) √60
• E) 8√3

Doğru cevap: A — Üç terim de √3 cinsinden yazılır: 5√3 − 3√3 + 2√3 = 4√3.

1. Ne soruluyor: köklü terimleri benzer hâle getirip toplamak.
2. √75 = √(25 × 3) = 5√3; √27 = √(9 × 3) = 3√3; √12 = √(4 × 3) = 2√3.
3. Katsayılar işlenir: 5 − 3 + 2 = 4; sonuç 4√3.
4. Denetleme: √75 ≈ 8,66; √27 ≈ 5,20; √12 ≈ 3,46 → 8,66 − 5,20 + 3,46 = 6,92 ve 4√3 ≈ 6,93 ✓.
5. Sık yapılan hata: √60 demek (75 − 27 + 12 = 60). Kök içleri doğrudan toplanıp çıkarılamaz; önce terimler benzer yapılır.

7. Kartta rasyonel üslü bir ifade verilmiştir. Üs, kök derecesi ve kuvvet olarak yorumlandığında ifadenin değeri kaçtır?

27^(2/3)

• A) 18
• B) 6
• C) 9
• D) 3
• E) 81

Doğru cevap: C — a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ olduğundan 27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9.

1. Ne soruluyor: rasyonel üssü köklü gösterime çevirip değer bulmak.
2. Paydadaki 3 kök derecesidir: ∛27 = 3.
3. Paydaki 2 kuvvettir: 3² = 9.
4. Denetleme: 9^(3/2) = (√9)³ = 27 olmalı; 3³ = 27 ✓.
5. Sık yapılan hata: 18 demek. 27'yi 2/3 ile çarpmak üssü çarpan gibi kullanmaktır; üs, tabanın kaç kez çarpılacağını söyler.

8. Karttaki eşitliği sağlayan x değeri bulunacaktır. Buna göre 3ˣ ifadesinin değeri kaçtır?

2^(x + 1) = 32

• A) 27
• B) 243
• C) 12
• D) 64
• E) 81

Doğru cevap: E — 32 = 2⁵ olduğundan x + 1 = 5, x = 4 ve 3⁴ = 81.

1. Ne soruluyor: üslü denklemden x'i bulup başka bir ifadede kullanmak.
2. 32 sayısı 2'nin kuvveti olarak yazılır: 32 = 2⁵.
3. Tabanlar eşit olduğundan üsler eşitlenir: x + 1 = 5, x = 4. Buradan 3⁴ = 81.
4. Denetleme: 2^(4 + 1) = 2⁵ = 32 ✓.
5. Sık yapılan hata: 243 demek. x + 1 = 5 bulunduktan sonra x yerine 5 kullanılmıştır; x = 4'tür.

9. Kartta üç köklü sayı verilmiştir. Bu sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı hangi seçenekte doğru verilmiştir?

a = 2√3, b = 3√2, c = √15

• A) a < b < c
• B) a < c < b
• C) b < a < c
• D) c < a < b
• E) b < c < a

Doğru cevap: B — Katsayılar kök içine alınır: a = √12, b = √18, c = √15; 12 < 15 < 18 olduğundan a < c < b.

1. Ne soruluyor: farklı görünen köklü sayıları karşılaştırmak.
2. Katsayıyı kök içine almak için karesi alınır: 2√3 = √(4 × 3) = √12; 3√2 = √(9 × 2) = √18.
3. Kök içleri karşılaştırılır: 12 < 15 < 18, yani a < c < b.
4. Denetleme: a ≈ 3,46; c ≈ 3,87; b ≈ 4,24 ✓.
5. Sık yapılan hata: a < b < c demek. Dıştaki katsayılara (2 ve 3) bakıp karar vermek yanıltır; karşılaştırma kök içinde yapılır.

10. Kartta paydası köklü bir kesir verilmiştir. Payda rasyonel hâle getirildiğinde kesir hangi sayıya eşit olur?

6/√3

• A) 6√3
• B) √3
• C) 3√2
• D) 2√3
• E) 2

Doğru cevap: D — Pay ve payda √3 ile genişletilir: 6√3/3 = 2√3.

1. Ne soruluyor: paydadaki kökü yok etmek.
2. Kesir √3/√3 ile genişletilir: (6 × √3)/(√3 × √3) = 6√3/3.
3. 6/3 = 2 olduğundan sonuç 2√3.
4. Denetleme: 2√3 × √3 = 2 × 3 = 6; yani 2√3 = 6/√3 ✓.
5. Sık yapılan hata: 2 demek. 6 ÷ 3 yapıp √3'ü payda da unutmak; genişletmede pay da √3 ile çarpılır.

11. Tabloda bir öğrencinin √(9 + 16) işlemini çözerken yazdığı adımlar verilmiştir. Öğrencinin çözümüyle ilgili hangi değerlendirme doğrudur?

• A) Yalnız 3. adımda hata vardır; sonuç 12 olmalıdır.
• B) Yalnız 2. adımda hata vardır; √16 = 8 olmalıdır.
• C) Hata yoktur; sonuç 7 doğrudur.
• D) Yalnız 3. adımda hata vardır; sonuç 1 olmalıdır.
• E) 1. adımda hata vardır; toplamın karekökü kareköklerin toplamına eşit değildir, sonuç 5 olmalıdır.

Doğru cevap: E — Kök toplama üzerine dağılmaz: √(9 + 16) = √25 = 5, √9 + √16 ise 7 eder. Hata 1. adımdadır.

1. Ne soruluyor: çözümün hangi adımında kural ihlali olduğu.
2. Önce kök içindeki işlem yapılır: 9 + 16 = 25 ve √25 = 5.
3. Öğrenci 1. adımda √(a + b) = √a + √b yazmıştır; böyle bir kural yoktur.
4. Denetleme: 5² = 25 ✓, oysa 7² = 49 ≠ 25.
5. Sık yapılan hata: "Hata yoktur" demek. 2. ve 3. adımların kendi içinde doğru olması, 1. adımdaki yanlış kuralı düzeltmez.

12. Kare şeklindeki bir bahçenin alanı 50 m² olarak ölçülmüştür. Bahçenin bir kenar uzunluğu kaç metredir?

• A) 25
• B) 5√2
• C) 10√5
• D) 2√5
• E) √25

Doğru cevap: B — Karenin kenarı alanın kareköküdür: √50 = √(25 × 2) = 5√2 metre.

1. Ne soruluyor: alanı bilinen karenin kenar uzunluğu.
2. Kenar a ise a² = 50, a = √50.
3. 50 = 25 × 2 olduğundan √50 = 5√2 metre.
4. Denetleme: (5√2)² = 25 × 2 = 50 m² ✓.
5. Sık yapılan hata: 25 demek. Alanı ikiye bölmek kenarı vermez; kenar, karesi alana eşit olan sayıdır.

13. Karttaki çarpım, iki kare farkı özdeşliği kullanılarak hesaplanacaktır. Bu çarpımın sonucu kaçtır?

(√5 + √3) × (√5 − √3)

• A) 8
• B) √2
• C) 2√15
• D) 2
• E) 4

Doğru cevap: D — (a + b)(a − b) = a² − b² olduğundan (√5)² − (√3)² = 5 − 3 = 2.

1. Ne soruluyor: eşlenik köklü ifadelerin çarpımı.
2. a = √5, b = √3 alınır: (a + b)(a − b) = a² − b².
3. (√5)² = 5 ve (√3)² = 3; 5 − 3 = 2.
4. Denetleme: dağıtarak çarpalım: 5 − √15 + √15 − 3 = 2 ✓.
5. Sık yapılan hata: 8 demek. 5 ile 3'ü toplamak, özdeşlikteki çıkarma işaretini gözden kaçırmaktır.

14. Sıfırdan farklı her gerçek sayının sıfırıncı kuvveti aynı değeri verir. Buna göre (−7)⁰ ifadesinin değeri hangisidir?

• A) 1
• B) −1
• C) 0
• D) −7
• E) 7

Doğru cevap: A — a ≠ 0 için a⁰ = 1'dir; taban negatif olsa da (−7)⁰ = 1.

1. Ne soruluyor: negatif bir tabanın sıfırıncı kuvveti.
2. Kural a⁰ = aⁿ ÷ aⁿ = 1 eşitliğinden gelir (a ≠ 0).
3. Taban −7 sıfırdan farklı olduğundan (−7)⁰ = 1.
4. Denetleme: (−7)² ÷ (−7)² = 49 ÷ 49 = 1 ve bu (−7)^(2 − 2) = (−7)⁰ demektir ✓.
5. Sık yapılan hata: 0 demek. Sıfırıncı kuvvet sayıyı sıfırlamaz; çarpmanın etkisiz elemanı olan 1'i verir.

15. Bir toz tanesinin çapı 0,00032 metre olarak ölçülmüştür. Bu uzunluğun bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 32 × 10⁻⁵
• B) 3,2 × 10⁴
• C) 3,2 × 10⁻⁴
• D) 0,32 × 10⁻³
• E) 3,2 × 10⁻³

Doğru cevap: C — Bilimsel gösterimde katsayı 1 ile 10 arasındadır: 0,00032 = 3,2 × 10⁻⁴.

1. Ne soruluyor: çok küçük bir sayıyı a × 10ⁿ (1 ≤ a < 10) biçiminde yazmak.
2. Virgül, katsayı 3,2 olana kadar 4 basamak sağa kaydırılır.
3. Sağa kaydırma sayı küçük olduğu için negatif üs verir: 3,2 × 10⁻⁴.
4. Denetleme: 3,2 ÷ 10 000 = 0,00032 ✓.
5. Sık yapılan hata: 32 × 10⁻⁵ seçmek. Değer eşittir ama katsayı 10'dan büyük olduğu için bilimsel gösterim sayılmaz.

16. Karttaki denklemde iki taraf da aynı asal tabanın kuvveti olarak yazılabilir. Denklemi sağlayan x değeri hangisidir?

4^x = 8

• A) 2
• B) 1/2
• C) 3
• D) 3/2
• E) 2/3

Doğru cevap: D — 4 = 2² ve 8 = 2³ olduğundan 2^(2x) = 2³, 2x = 3 ve x = 3/2.

1. Ne soruluyor: tabanları farklı görünen üslü denklemin çözümü.
2. Ortak taban 2'dir: 4^x = (2²)^x = 2^(2x) ve 8 = 2³.
3. Üsler eşitlenir: 2x = 3, x = 3/2.
4. Denetleme: 4^(3/2) = (√4)³ = 2³ = 8 ✓.
5. Sık yapılan hata: 2/3 demek. 2x = 3 denkleminde x = 3 ÷ 2'dir; bölme sırası ters çevrilmiştir.

17. Bir veri merkezindeki toplam veri, tablodaki boyutta eşit dosyalara bölünecektir. Bu işlem sonunda kaç dosya elde edilir?

• A) 2000
• B) 200
• C) 18 × 10¹⁵
• D) 2 × 10¹⁵
• E) 20 000

Doğru cevap: A — (6 × 10⁹) ÷ (3 × 10⁶) = 2 × 10³ = 2000 dosya.

1. Ne soruluyor: toplam veriyi bir dosyanın boyutuna bölmek.
2. Katsayılar bölünür: 6 ÷ 3 = 2.
3. Üsler çıkarılır: 10⁹ ÷ 10⁶ = 10³. Sonuç 2 × 10³ = 2000.
4. Denetleme: 2000 × 3 × 10⁶ = 6 × 10⁹ bayt ✓.
5. Sık yapılan hata: 2 × 10¹⁵ demek. Bölmede üsler toplanmaz, çıkarılır; toplamak çarpma kuralıdır.

18. Alanı 70 m² olan kare biçimli bir halının kenar uzunluğu √70 metredir. Bu uzunluk hangi iki ardışık tam sayı arasındadır?

• A) 7 ile 8
• B) 35 ile 36
• C) 8 ile 9
• D) 6 ile 7
• E) 9 ile 10

Doğru cevap: C — 8² = 64 < 70 < 81 = 9² olduğundan 8 < √70 < 9.

1. Ne soruluyor: √70'in yakınındaki tam kareler.
2. 70'ten küçük en büyük tam kare 64 = 8², büyük en küçük tam kare 81 = 9².
3. Karekök alındığında sıra korunur: 8 < √70 < 9.
4. Denetleme: 8,4² = 70,56 olduğundan √70 ≈ 8,37; gerçekten 8 ile 9 arasında ✓.
5. Sık yapılan hata: 35 ile 36 demek. Karekökü 2'ye bölmekle karıştırmaktır; √70, karesi 70 olan sayıdır.

19. Kartta kuvvetin kuvveti ve bölme içeren bir ifade verilmiştir. Bu ifade hangi sayıya eşittir?

(2³)⁴ ÷ 2¹⁰

• A) 2⁷
• B) 8
• C) 2
• D) 16
• E) 4

Doğru cevap: E — (2³)⁴ = 2¹² ve 2¹² ÷ 2¹⁰ = 2² = 4.

1. Ne soruluyor: kuvvetin kuvveti kuralı ile bölme.
2. Kuvvetin kuvvetinde üsler çarpılır: (2³)⁴ = 2^(3 × 4) = 2¹².
3. Bölmede üsler çıkarılır: 2¹² ÷ 2¹⁰ = 2² = 4.
4. Denetleme: 2¹² = 4096 ve 2¹⁰ = 1024; 4096 ÷ 1024 = 4 ✓.
5. Sık yapılan hata: 2⁷ ile başlamak. (2³)⁴ ifadesinde üsler toplanmaz (3 + 4), çarpılır (3 × 4).

20. Bir hücre kültüründe başlangıçta 5 × 10⁴ hücre vardır ve hücre sayısı her gün 10 katına çıkmaktadır. Hücre sayısı kaç gün sonra 5 × 10⁷ olur?

• A) 4
• B) 3
• C) 7
• D) 1000
• E) 30

Doğru cevap: B — (5 × 10⁷) ÷ (5 × 10⁴) = 10³; her gün bir kez 10 ile çarpıldığından 3 gün gerekir.

1. Ne soruluyor: 10 ile kaç kez çarpınca istenen sayıya ulaşılacağı (ters soru).
2. Hedef ile başlangıcın oranı: (5 × 10⁷) ÷ (5 × 10⁴) = 10^(7 − 4) = 10³.
3. 10³ = 10 × 10 × 10, yani üç kez 10 katına çıkma: 3 gün.
4. Denetleme: 5 × 10⁴ → 5 × 10⁵ → 5 × 10⁶ → 5 × 10⁷ ✓.
5. Sık yapılan hata: 1000 demek. 1000 kaç kat büyüdüğünü gösterir; soru kaç gün geçtiğini soruyor, o da üs olan 3'tür.