Kümeler

1. Venn şemasında A kümesi 12’nin, B kümesi 18’in pozitif bölenlerini göstermektedir. Buna göre s(A ∩ B) kaçtır?

• A) 2
• B) 3
• C) 4
• D) 5
• E) 6

Doğru cevap: C — Ortak bölenler kesişimi verir; bunlar EBOB(12, 18) = 6 sayısının bölenleridir.

1. A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
2. B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
3. A ∩ B = {1, 2, 3, 6}
4. s(A ∩ B) = 4

2. Bir sınıftaki 30 öğrenciden 18’i basketbol, 14’ü voleybol oynamaktadır. Öğrencilerden 5’i bu sporların hiçbirini oynamamaktadır. Buna göre her iki sporu da oynayan öğrenci sayısı kaçtır?

• A) 4
• B) 5
• C) 6
• D) 7
• E) 8

Doğru cevap: D — Önce en az bir spor oynayanlar bulunur, sonra birleşim formülü uygulanır.

1. En az bir spor oynayan: 30 − 5 = 25
2. s(B ∪ V) = s(B) + s(V) − s(B ∩ V)
3. 25 = 18 + 14 − s(B ∩ V)
4. s(B ∩ V) = 32 − 25 = 7

3. Aşağıdaki sayılardan hangisi rasyonel sayı değildir?

• A) √5
• B) 0,25
• C) √9
• D) 3/7
• E) −4

Doğru cevap: A — Karekökü tam sayı olmayan doğal sayıların karekökü irrasyoneldir.

1. 0,25 = 1/4 → rasyonel
2. √9 = 3 → rasyonel
3. 3/7 ve −4 → rasyonel
4. 5 tam kare olmadığından √5 irrasyoneldir.

4. Şemada sayı kümelerinin birbirini kapsama ilişkisi gösterilmiştir. Buna göre −7/2 sayısı bu şemada hangi bölgede yer alır?

• A) N kümesinin içinde
• B) Z kümesinin içinde, N kümesinin dışında
• C) R kümesinin içinde, Q kümesinin dışında
• D) Hiçbir kümenin içinde değil
• E) Q kümesinin içinde, Z kümesinin dışında

Doğru cevap: E — −7/2 = −3,5 sayısı iki tam sayının oranı olduğundan rasyoneldir ama tam sayı değildir.

1. −7/2 = −3,5
2. Tam sayı olmadığından Z kümesinde değildir.
3. İki tam sayının oranı olduğundan Q kümesindedir.
4. Q ⊂ R olduğundan R kümesinin de elemanıdır.

5. Bir A kümesinin özalt küme sayısı 31’dir. Buna göre A kümesinin eleman sayısı kaçtır?

• A) 4
• B) 5
• C) 6
• D) 15
• E) 16

Doğru cevap: B — n elemanlı bir kümenin özalt küme sayısı 2ⁿ − 1’dir.

1. 2ⁿ − 1 = 31
2. 2ⁿ = 32
3. 32 = 2⁵
4. n = 5

6. Bir kitap fuarına katılan 40 öğrenciden 30’u roman, 24’ü şiir kitabı almıştır. Her öğrenci en az bir kitap aldığına göre yalnızca roman alan öğrenci sayısı kaçtır?

• A) 10
• B) 12
• C) 14
• D) 16
• E) 18

Doğru cevap: D — Önce kesişim bulunur, sonra roman alanlardan kesişim çıkarılır.

1. Her öğrenci en az bir kitap aldığı için s(R ∪ Ş) = 40
2. 40 = 30 + 24 − s(R ∩ Ş)
3. s(R ∩ Ş) = 54 − 40 = 14
4. Yalnızca roman = 30 − 14 = 16

7. Sayı doğrusunda kalın çizgiyle gösterilen aralık, aşağıdaki eşitsizliklerden hangisiyle ifade edilir?

• A) −2 ≤ x ≤ 5
• B) −2 < x < 5
• C) −2 ≤ x < 5
• D) −2 < x ≤ 5
• E) x ≥ −2

Doğru cevap: C — Dolu daire uç noktanın aralığa dâhil olduğunu, boş daire dâhil olmadığını gösterir.

1. Sol uçtaki daire dolu → −2 aralığa dâhildir: −2 ≤ x
2. Sağ uçtaki daire boş → 5 aralığa dâhil değildir: x < 5
3. İkisi birleştirilir: −2 ≤ x < 5
4. Aralık gösterimi: [−2, 5)

8. s(A) = 12, s(B) = 9 ve s(A ∩ B) = 4 olan iki küme için bir öğrenci s(A ∪ B) değerini 12 + 9 + 4 = 25 biçiminde hesaplamıştır. Bu çözümdeki hata aşağıdakilerden hangisidir?

• A) s(A) ile s(B) toplanmamalı, çarpılmalıydı.
• B) Kesişimin eleman sayısı iki kez çıkarılmalıydı.
• C) Birleşimin eleman sayısı her zaman s(A) değerine eşittir.
• D) İşlemde hata yoktur, sonuç doğrudur.
• E) Kesişimin eleman sayısı toplanmak yerine çıkarılmalıydı.

Doğru cevap: E — Ortak elemanlar hem A hem B içinde bir kez sayıldığı için toplamda iki kez sayılır; fazlalık çıkarılmalıdır.

1. s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B)
2. s(A ∪ B) = 12 + 9 − 4
3. s(A ∪ B) = 17
4. Öğrencinin bulduğu 25 değeri, kesişimi çıkarmak yerine ekleyip iki kez saymasından kaynaklanır.

9. Venn şemasında verilen A ve B kümeleri için s(A \ B) + s(B \ A) toplamı kaçtır?

• A) 3
• B) 5
• C) 4
• D) 6
• E) 9

Doğru cevap: B — Fark kümeleri, dairelerin ortak olmayan bölgeleridir.

1. A \ B = {1, 2, 3, 4} → 4 eleman
2. B \ A = {7} → 1 eleman
3. 4 + 1 = 5
4. Bu değer aynı zamanda s(A ∪ B) − s(A ∩ B) sonucudur.

10. Bir spor salonunda yapılan ankette elde edilen veriler tabloda verilmiştir. Buna göre ankete katılan toplam kişi sayısı kaçtır?

• A) 32
• B) 30
• C) 27
• D) 35
• E) 40

Doğru cevap: A — Önce en az birini yapanlar bulunur, sonra hiçbirini yapmayanlar eklenir.

1. s(Y ∪ K) = 15 + 20 − 8
2. s(Y ∪ K) = 27
3. Toplam = 27 + 5
4. Toplam = 32

11. A ⊂ B olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

• A) A ∩ B = B
• B) A ∪ B = A
• C) A ∪ B = B
• D) A \ B = A
• E) s(A) > s(B)

Doğru cevap: C — A kümesinin bütün elemanları B içinde olduğundan birleşim B kümesini aşmaz.

1. A ⊂ B ise A’nın her elemanı B’dedir.
2. Birleşimde yeni eleman gelmez: A ∪ B = B
3. Kesişim ise A ∩ B = A olur.
4. A \ B = ∅ ve s(A) ≤ s(B) olur.

12. Kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A = {x : x ∈ Z, −3 ≤ x < 4}

• A) 3
• B) 4
• C) 5
• D) 6
• E) 7

Doğru cevap: E — Alt sınır dâhil, üst sınır hariç alınarak tam sayılar yazılır.

1. −3 dâhildir, 4 dâhil değildir.
2. A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}
3. Eleman sayısı sayılır.
4. s(A) = 7

13. Bir lokantada 50 müşteriden 28’i çorba, 32’si tatlı sipariş etmiştir. Hem çorba hem tatlı sipariş eden 15 müşteri olduğuna göre bu ikisinden hiçbirini sipariş etmeyen kaç müşteri vardır?

• A) 5
• B) 6
• C) 7
• D) 8
• E) 10

Doğru cevap: A — En az birini sipariş edenler bulunup toplamdan çıkarılır.

1. s(Ç ∪ T) = 28 + 32 − 15
2. s(Ç ∪ T) = 45
3. Hiçbirini almayan = 50 − 45
4. = 5

14. Venn şemasındaki A ve B kümeleri için s(A ∪ B) = 30 olduğuna göre ortak bölgedeki eleman sayısı kaçtır?

• A) 4
• B) 6
• C) 8
• D) 10
• E) 12

Doğru cevap: B — Birleşim formülü kesişim için düzenlenir.

1. s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B)
2. 30 = 20 + 16 − s(A ∩ B)
3. s(A ∩ B) = 36 − 30
4. s(A ∩ B) = 6

15. Sayı kümeleri arasındaki kapsama ilişkileriyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

• A) Her doğal sayı aynı zamanda bir tam sayıdır.
• B) Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır.
• C) Her rasyonel sayı aynı zamanda bir gerçek sayıdır.
• D) Her gerçek sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır.
• E) Her irrasyonel sayı aynı zamanda bir gerçek sayıdır.

Doğru cevap: D — Kapsama N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R yönündedir; ters yön doğru değildir.

1. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R sıralaması geçerlidir.
2. Gerçek sayılar rasyonel ve irrasyonel sayılardan oluşur.
3. √2 bir gerçek sayıdır ama rasyonel değildir.
4. Bu nedenle “her gerçek sayı rasyoneldir” ifadesi yanlıştır.

16. Alanı 10 br² olan bir karenin bir kenar uzunluğu hangi iki ardışık doğal sayı arasındadır?

• A) 2 ile 3
• B) 3 ile 4
• C) 4 ile 5
• D) 5 ile 6
• E) 9 ile 10

Doğru cevap: B — Karenin kenarı alanın kareköküdür; 10 sayısı 9 ile 16 arasındadır.

1. Kenar = √10
2. 3² = 9 ve 4² = 16
3. 9 < 10 < 16
4. 3 < √10 < 4

17. A ve B kümeleri için s(A ∪ B) = 24, s(A ∩ B) = 6 ve s(A) = 18 olduğuna göre s(B) kaçtır?

• A) 12
• B) 14
• C) 16
• D) 18
• E) 20

Doğru cevap: A — Birleşim formülünde bilinmeyen s(B) yalnız bırakılır.

1. s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B)
2. 24 = 18 + s(B) − 6
3. 24 = 12 + s(B)
4. s(B) = 12

18. Bir dil kursundaki 60 kursiyerden 35’i İngilizce, 28’i Almanca kursuna kayıtlıdır. Kursiyerlerden 8’i bu kursların hiçbirine kayıtlı değildir. Buna göre yalnızca Almanca kursuna kayıtlı kaç kursiyer vardır?

• A) 11
• B) 13
• C) 15
• D) 17
• E) 19

Doğru cevap: D — Önce kesişim bulunur, sonra Almanca kayıtlılardan çıkarılır.

1. En az birine kayıtlı: 60 − 8 = 52
2. 52 = 35 + 28 − s(İ ∩ A)
3. s(İ ∩ A) = 63 − 52 = 11
4. Yalnızca Almanca = 28 − 11 = 17

19. Boş kümenin alt küme sayısı ile 3 elemanlı bir kümenin alt küme sayısının toplamı kaçtır?

• A) 5
• B) 6
• C) 7
• D) 8
• E) 9

Doğru cevap: E — n elemanlı kümenin alt küme sayısı 2ⁿ’dir; boş küme için n = 0 alınır.

1. Boş küme: 2⁰ = 1 alt küme
2. 3 elemanlı küme: 2³ = 8 alt küme
3. 1 + 8
4. = 9

20. Bir öğrenci “İki kümenin kesişimi boş küme ise birleşimlerinin eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının toplamına eşittir.” demiştir. Bu ifade için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

• A) Yalnızca A = B olduğunda doğrudur.
• B) Yanlıştır; birleşimde her zaman kesişim çıkarıldığı için sonuç daha küçüktür.
• C) Doğrudur; ayrık kümelerde s(A ∪ B) = s(A) + s(B) olur.
• D) Yalnızca kümelerin eleman sayıları eşit olduğunda doğrudur.
• E) Boş küme içeren hiçbir işlemde doğru değildir.

Doğru cevap: C — Kesişim boşsa formüldeki çıkarılan terim sıfır olur.

1. s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B)
2. A ∩ B = ∅ ise s(A ∩ B) = 0
3. s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − 0
4. Bu nedenle öğrencinin ifadesi doğrudur.