7. Sınıf Rasyonel Sayılarla İşlemler — Konu Anlatımı

İki Kural Aynı Anda

Bir meteoroloji defterinde sıcaklık değişimleri şöyle yazılı: $-\frac{3}{4}$ °C, sonra $+\frac{1}{2}$ °C, sonra $-\frac{1}{4}$ °C.

Toplam değişim ne? Burada iki şeyi aynı anda yapmanız gerekiyor: payda eşitlemek (kesir kuralı) ve işaretleri doğru toplamak (tam sayı kuralı).

Bu konu yeni bir şey öğretmiyor; bildiğiniz iki kuralı üst üste bindiriyor. Zorluk da oradan geliyor: öğrenciler ya paydayı eşitleyip işareti kaçırıyor ya işareti doğru yapıp paydayı unutuyor.

Çözelim: paydaları 4'te eşitleyin.

$-\frac{3}{4} + \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{-3 + 2 - 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Toplamda yarım derece düşmüş.

Toplama ve Çıkarmada Sıra

Adımları ayırmak hatayı azaltır:

1. Çıkarma varsa toplamaya çevirin: $-\frac{1}{3} - \frac{2}{5} = -\frac{1}{3} + \left(-\frac{2}{5}\right)$
2. Paydaları eşitleyin (EKOK 15): $-\frac{5}{15} + \left(-\frac{6}{15}\right)$
3. Payları işaretleriyle toplayın: $\frac{-5 + (-6)}{15} = -\frac{11}{15}$

Payda hiçbir zaman toplanmaz; işaret yalnız payda görünür. $-\frac{11}{15}$ ile $\frac{-11}{15}$ ve $\frac{11}{-15}$ aynı sayıdır.

Küçük bir soru: $\frac{1}{2} - \frac{3}{4}$ kaçtır?

Cevap: $\frac{2}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}$. Büyükten küçük çıkarılınca sonuç negatif olur — kesirlerde de aynı.

Çarpma ve Bölmede İşaret Saymak

Çarpma ve bölmede payda eşitlemek yok; yalnız işaret sayılır.

$\left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{9}{4}\right)$

İki eksi → artı. Sadeleştirin: 2 ile 4, 3 ile 9 → $\frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Bölmede ikinci kesir ters çevrilir, işaret kuralı aynen geçerlidir:

$\left(-\frac{3}{5}\right) : \frac{6}{10} = \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{10}{6} = -1$

Tekrar hatırlayalım: toplama-çıkarmada işaret "hangi taraf ağır basıyor" sorusuna göre; çarpma-bölmede "kaç tane eksi var" sorusuna göre belirlenir. İki ayrı mantık.

Daha Zor Bir Örnek: Karışık İşlem

$\left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)$

İşlem önceliği burada da geçerli: önce çarpma.

1. $\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$
2. $-\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$

Soldan sağa gitseydiniz önce $-\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{1}{6}$ bulur, sonra $\frac{1}{6} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{1}{8}$ derdiniz — bambaşka bir sonuç.

Sınır durum — sıfırla işlem. $0 \cdot \left(-\frac{5}{7}\right) = 0$ ve $0 : \left(-\frac{5}{7}\right) = 0$'dır. Ama $\left(-\frac{5}{7}\right) : 0$ tanımsızdır. Ayrıca sıfırın işareti yoktur; $-0$ diye bir sayı yazılmaz.

Sık yapılan hata 1: Payda eşitlerken payı genişletmeyi unutmak. $\frac{1}{3}$'ü 15'lik paydaya çevirirken pay da 5 ile çarpılır: $\frac{5}{15}$.

Sık yapılan hata 2: Çarpmada payda eşitlemeye çalışmak. Gereksizdir ve hataya davetiye çıkarır.

Sık yapılan hata 3: Eksili kesri parantezsiz yazıp işlemde kaybetmek. $-\frac{2}{3} \cdot -\frac{1}{4}$ yerine parantez kullanın.

Sınav ipucu: Çok adımlı işlemlerde her satırda yalnız bir şey yapın ve işareti satır başında belirleyin. İki işlemi aynı satırda birleştirmek, bu konuda kaybedilen puanların çoğunun sebebidir.

Özet: Toplama-çıkarmada payda eşitlenir, işaret paydadan bağımsızdır. Çarpma-bölmede eksiler sayılır. İşlem önceliği kesirlerde de geçerlidir.

Günlük hayatta nerede karşımıza çıkar? Bir aracın yakıt tüketimi ($\frac{6,5}{100}$ litre/km), bir tarifin yarıya indirilmesi, hisse senedinin puan kaybı, kredi kartı taksidinin aylık bölünmesi — hepsi kesirli ve çoğu zaman negatif sayılarla işlem gerektirir. Mutfakta "çeyrek ölçü az koy" demek $-\frac{1}{4}$ ile işlem yapmaktır; farkında olmadan bu konuyu her gün kullanıyorsunuz.

Sınır durum — bir sayı kendisiyle sadeleşince. $\frac{a}{a} = 1$ kuralı $a \neq 0$ olduğu sürece geçerlidir; $\frac{0}{0}$ tanımsızdır. Ayrıca $-\frac{3}{4}$ ile $\frac{-3}{4}$ ve $\frac{3}{-4}$ aynı sayıdır ama $-\frac{3}{-4}$ pozitiftir — eksi işaretlerinin kaç tane ve nerede olduğunu saymak, kesirde de tam sayıdaki gibi işler.

Günlük hayatta nerede karşımıza çıkar? Banka hesabındaki borç ve alacak, sıcaklık değişimi, asansör kat hareketi, denizden yükseklik — hepsi negatif sayı gerektirir ve çoğu zaman kesirlidir. Bir hisse senedinin "$-\frac{3}{4}$ puan" düşmesi ya da bir tarifin "yarım ölçü eksiltilmesi" bu işlemlerin gerçek karşılığıdır.

Şimdi kendiniz deneyin.

1. $-\frac{2}{5} + \frac{1}{10}$ kaçtır?
2. $\left(-\frac{3}{4}\right) : \left(-\frac{1}{2}\right)$ işleminin sonucu nedir?
3. $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$ kaçtır?

Cevaplar: (1) $-\frac{4}{10} + \frac{1}{10} = -\frac{3}{10}$  ·  (2) $\frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{3}{2}$  ·  (3) Önce çarpma: $\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0$.

Sık sorulanlar