Rasyonel Sayılarla İşlemler

1. İşleminin sonucu kaçtır?

3/4 + (−1/6)

• A) 7/12
• B) 11/12
• C) 1/6
• D) 5/12

Doğru cevap: A — Paydalar 12’de eşitlenir: 9/12 − 2/12 = 7/12.

1. Bir negatif sayıyı eklemek, onu çıkarmakla aynıdır: 3/4 + (−1/6) = 3/4 − 1/6.
2. Toplama ve çıkarma için paydalar eşit olmalı. 4 ile 6’nın en küçük ortak katı 12’dir.
3. Genişletelim: 3/4 = 9/12, 1/6 = 2/12. İşlem 9/12 − 2/12 olur; paylar çıkarılır, payda aynı kalır: 7/12.
4. Denetleyelim: 7/12 ≈ 0,583 ve 0,75 − 0,167 ≈ 0,583 ✓.

2. Bir kavanozun 3/8 i bal ile doludur. Kavanoza, kavanozun 1/4 ü kadar daha bal eklenirse kavanozun ne kadarı dolu olur?

• A) 4/12
• B) 1/2
• C) 5/8
• D) 7/8

Doğru cevap: C — 1/4 = 2/8 olduğundan 3/8 + 2/8 = 5/8; kavanozun 5/8’i dolu olur.

1. İki oran da AYNI kavanozun kesirleri olduğu için doğrudan toplanabilir.
2. Paydaları eşitleyelim: 1/4 kesrini 2 ile genişletirsek 2/8 olur.
3. Toplayalım: 3/8 + 2/8 = 5/8. Paylar toplanır, payda değişmez.
4. Denetleyelim: 5/8 = 0,625 ve 0,375 + 0,25 = 0,625 ✓. Ayrıca 5/8 < 1, yani kavanoz taşmıyor.

3. Sayı doğrusunda B noktasından başlayarak sağa doğru 2,75 birim ilerleniyor. Ulaşılan noktanın gösterdiği sayı kaçtır?

• A) 0,25
• B) 0,75
• C) 0,5
• D) 1,25

Doğru cevap: B — B noktası −2’dir; sağa 2,75 birim gitmek toplamadır: −2 + 2,75 = 0,75.

1. Önce B’nin yerini okuyalım. Sayı doğrusunda B, −2 ile −1 arasında değil, tam −2 üzerinde işaretli.
2. Sayı doğrusunda SAĞA gitmek toplama, sola gitmek çıkarmadır. Öyleyse −2 + 2,75 hesaplanacak.
3. 2,75 sayısı 2’den büyük olduğu için sonuç sıfırı geçer: 2,75 − 2 = 0,75.
4. Denetleyelim: −2’den 2 birim sağa gidince 0’a geliriz, kalan 0,75 birim de bizi 0,75’e taşır ✓.

4. Çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

(−2/3) × (9/8)

• A) −2/3
• B) −1/2
• C) −3/8
• D) −3/4

Doğru cevap: D — Paylar ve paydalar çarpılır: −18/24; 6 ile sadeleşince −3/4 olur.

1. Önce işareti belirleyelim: bir negatif ve bir pozitif sayının çarpımı NEGATİFTİR.
2. Şimdi mutlak değerlerle çarpalım: (2 × 9) / (3 × 8) = 18/24.
3. 18 ile 24’ün en büyük ortak böleni 6’dır; sadeleştirelim: 18 ÷ 6 = 3, 24 ÷ 6 = 4. Sonuç −3/4.
4. Denetleyelim: −0,667 × 1,125 = −0,75 ✓ ve −3/4 = −0,75.

5. Bir kazandaki 3,6 litre süt, 0,3 litrelik bardaklara eşit olarak paylaştırılacaktır. Buna göre kaç bardak doldurulur?

• A) 12
• B) 10
• C) 8
• D) 120

Doğru cevap: A — 3,6 ÷ 0,3 işlemi 36 ÷ 3 = 12 verir; 12 bardak doldurulur.

1. Soru "kaç bardak" diyor; toplam sütü bir bardağın hacmine böleceğiz.
2. Ondalıkla bölme yaparken bölen ile böleneni aynı sayıyla çarpmak sonucu değiştirmez. İkisini de 10 ile çarpalım: 36 ÷ 3.
3. Bu artık tam sayılı bir bölme: 36 ÷ 3 = 12.
4. Denetleyelim: 12 × 0,3 = 3,6 ✓ — sonuç başlangıçtaki süt miktarına dönüyor.

6. Tarif kartında 4 kişilik bir kekin malzemeleri verilmiştir. Aynı tarifle 8 kişilik kek yapmak isteyen biri kaç su bardağı un kullanır?

• A) 4
• B) 5
• C) 5 1/2
• D) 6

Doğru cevap: B — Kişi sayısı iki katına çıktığı için un da iki katına çıkar: 2 1/2 × 2 = 5 su bardağı.

1. Tarif 4 kişilik, istenen 8 kişilik. 8 ÷ 4 = 2, yani bütün malzemeler 2 katına çıkacak.
2. Un miktarı 2 1/2 su bardağı. Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim: 2 1/2 = 5/2.
3. İkiyle çarpalım: 5/2 × 2 = 10/2 = 5 su bardağı.
4. Denetleyelim: 2,5 × 2 = 5 ✓. Ayrıca oran korunuyor — tarifteki her malzeme aynı katsayıyla büyütülmeli.

7. Bölümünün sonucu kaçtır?

(−3/5) ÷ (−9/10)

• A) −2/3
• B) 1/2
• C) 2/3
• D) 3/2

Doğru cevap: C — Bölme, bölenin tersiyle çarpmadır: (−3/5) × (−10/9) = 30/45 = 2/3.

1. Önce işareti belirleyelim: iki negatif sayının bölümü POZİTİFTİR.
2. Kesirde bölme, bölenin çarpmaya göre tersiyle çarpmaktır. −9/10 kesrinin tersi −10/9’dur.
3. Çarpalım: (3 × 10) / (5 × 9) = 30/45. En büyük ortak bölen 15; sadeleştirelim: 2/3.
4. Denetleyelim: (2/3) × (−9/10) = −18/30 = −3/5 ✓ — bölünene geri döndük.

8. Bir aracın deposunun 5/8 i doludur. Yolculuk sırasında depodaki yakıtın 1/5 i harcanmıştır. Depoda yakıtın ne kadarı kalmıştır?

• A) 3/8
• B) 5/12
• C) 2/5
• D) 1/2

Doğru cevap: D — Harcanan 1/5 ise kalan 4/5’tir: 5/8 × 4/5 = 20/40 = 1/2.

1. Dikkat: 1/5 oranı deponun tamamının değil, DEPODAKİ YAKITIN 1/5’idir. Bu ayrım sorunun kilidi.
2. Yakıtın 1/5’i harcanmışsa 4/5’i kalmıştır. Öyleyse 5/8’in 4/5’ini hesaplayacağız.
3. "Bir kesrin kesri" çarpma demektir: 5/8 × 4/5 = 20/40 = 1/2.
4. Denetleyelim: 5/8 = 0,625; harcanan 0,625 × 0,2 = 0,125; kalan 0,625 − 0,125 = 0,5 ✓.

9. Şemada bir kasadaki meyvenin kütlesindeki değişim sırasıyla gösterilmiştir. Kasada son durumda kaç kilogram meyve vardır?

• A) 3 1/8
• B) 2 7/8
• C) 4 1/8
• D) 3 3/8

Doğru cevap: D — 2,25 − 0,375 + 1,5 = 3,375 kg, yani 3 3/8 kg olur.

1. Şemadaki üç değeri aynı forma çevirelim; ondalık form toplama-çıkarmada en kolayı.
2. 2 1/4 = 2,25 kg, 3/8 = 0,375 kg, 1 1/2 = 1,5 kg.
3. Sırayla işleyelim: 2,25 − 0,375 = 1,875; sonra 1,875 + 1,5 = 3,375 kg.
4. Denetleyelim: 0,375 = 3/8 olduğuna göre 3,375 = 3 3/8 ✓ — seçeneklerdeki forma çevirdik.

10. Şemada bir öğrencinin çözümü verilmiştir. Bu çözümde hangi adımda hata yapılmıştır?

• A) Hiçbir adımda hata yoktur.
• B) 1. adımda; −(−3/4) ifadesi +3/4 olmalıydı.
• C) 2. adımda paydalar eşitlenmemiştir.
• D) Sonuç 5/4 olarak yazılmalıydı.

Doğru cevap: B — Hata 1. adımdadır: −(−3/4) ifadesi +3/4 olmalıydı, doğru sonuç 1/4’tür.

1. Öğrencinin 1. adımı şöyle: −1/2 − (−3/4) işlemini −1/2 − 3/4 diye yazmış.
2. Oysa bir sayının eksisini çıkarmak, o sayıyı EKLEMEK demektir: −(−3/4) = +3/4.
3. Doğru işlem −1/2 + 3/4’tür. Paydaları eşitleyelim: −2/4 + 3/4 = 1/4.
4. Denetleyelim: 1/4 = 0,25 ve −0,5 + 0,75 = 0,25 ✓. Öğrencinin bulduğu −5/4 ise −1,25, yani tamamen farklı.

11. İşleminin sonucu kaçtır?

0,25 × (−4/5) + 1/5

• A) −2/5
• B) −1/5
• C) 0
• D) 1/5

Doğru cevap: C — Çarpma önce yapılır: 1/4 × (−4/5) = −1/5; sonra −1/5 + 1/5 = 0.

1. İşlem önceliği: çarpma toplamadan önce yapılır.
2. 0,25 sayısını kesre çevirelim: 0,25 = 1/4. Çarpalım: 1/4 × (−4/5) = −4/20 = −1/5.
3. Şimdi toplayalım: −1/5 + 1/5 = 0. İki sayı birbirinin ters işaretlisi olduğu için toplamları sıfırdır.
4. Denetleyelim: −0,2 + 0,2 = 0 ✓.

12. Tabloda üç arkadaşın bir günde yürüdüğü yollar verilmiştir. Üçü toplam kaç kilometre yürümüştür?

• A) 10
• B) 9,25
• C) 9,5
• D) 9,75

Doğru cevap: A — 3,5 + 2,75 + 3,75 = 10 km; üçü toplam 10 kilometre yürümüştür.

1. Tabloda üç farklı form var: tam sayılı kesir, ondalık ve bileşik kesir. Toplamak için hepsini ondalığa çevirelim.
2. 3 1/2 = 3,5 km; Kaan zaten 2,75 km; 15/4 = 15 ÷ 4 = 3,75 km.
3. Toplayalım: 3,5 + 2,75 = 6,25; sonra 6,25 + 3,75 = 10 km.
4. Denetleyelim: 0,25 + 0,75 = 1 olduğu için ondalık kısımlar tam sayıya tamamlanıyor ✓ — sonucun tam 10 çıkması bu yüzden.

13. Bir sayıya 3/4 eklendiğinde sonuç −1/2 olmaktadır. Bu sayı kaçtır?

• A) −5/4
• B) −1/4
• C) 1/4
• D) 5/4

Doğru cevap: A — x + 3/4 = −1/2 denkleminden x = −1/2 − 3/4 = −5/4 bulunur.

1. Aranan sayıya x diyelim ve verilen cümleyi denkleme çevirelim: x + 3/4 = −1/2.
2. x’i yalnız bırakmak için iki taraftan da 3/4 çıkaralım: x = −1/2 − 3/4.
3. Paydaları eşitleyelim: −2/4 − 3/4 = −5/4.
4. Denetleyelim: −5/4 + 3/4 = −2/4 = −1/2 ✓ — soruda verilen sonuca döndük.

14. Şeritlerde üç birim kesir modellenmiştir. Bu üç kesrin toplamı kaç eder?

• A) 5/6
• B) 1
• C) 7/6
• D) 3/11

Doğru cevap: B — Paydalar 6’da eşitlenir: 3/6 + 2/6 + 1/6 = 6/6 = 1.

1. Şeritlerdeki üç kesir 1/2, 1/3 ve 1/6. Toplamak için ortak payda gerekli.
2. 2, 3 ve 6’nın en küçük ortak katı 6’dır.
3. Genişletelim: 1/2 = 3/6, 1/3 = 2/6, 1/6 zaten 1/6. Toplayalım: 3/6 + 2/6 + 1/6 = 6/6 = 1.
4. Denetleyelim: üç şerit uç uca konunca tam bir birim şerit oluşturuyor ✓ — model de sonucu doğruluyor.

15. Aşağıdaki işlemlerden hangisinin sonucu en büyüktür?

• A) (−1/2) + (−1/4)
• B) (−1/2) × (−1/4)
• C) (−1/2) ÷ (−1/4)
• D) (−1/2) − (−1/4)

Doğru cevap: C — Dört işlemin sonuçları −3/4; 1/8; 2 ve −1/4; en büyüğü bölme işleminin sonucu olan 2’dir.

1. Seçenekleri tek tek hesaplayalım. Toplama: (−1/2) + (−1/4) = −2/4 − 1/4 = −3/4.
2. Çarpma: iki negatifin çarpımı pozitif — (1/2) × (1/4) = 1/8.
3. Bölme: (−1/2) ÷ (−1/4) = (−1/2) × (−4/1) = 4/2 = 2. Çıkarma: (−1/2) − (−1/4) = −1/2 + 1/4 = −1/4.
4. Denetleyelim: sıralayalım — −3/4 < −1/4 < 1/8 < 2 ✓. En büyük değer 2, yani bölme işlemi.