8. Sınıf Çarpanlar ve Katlar — Konu Anlatımı

Çarpan ve Kat Nedir?

Bir sayıyı kalansız bölen doğal sayılara o sayının çarpanı (böleni) denir. 12 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. Bir sayının katları ise o sayının doğal sayılarla çarpımıdır: 12'nin katları 12, 24, 36, 48… diye sonsuza kadar gider.

Kısaca çarpan sayıyı oluşturan parçadır, kat ise sayının tekrarıdır. Bir sayının çarpan sayısı sınırlıdır; kat sayısı ise sonsuzdur. Her sayı hem kendisinin çarpanı hem de kendisinin katıdır.

Çarpanları eksiksiz bulmanın en güvenli yolu onları çiftler hâlinde yazmaktır. 36 için: $1 \cdot 36$, $2 \cdot 18$, $3 \cdot 12$, $4 \cdot 9$, $6 \cdot 6$. Çiftler birbirine yaklaşıp aynı sayıya ulaşınca durursun. Buradan 36'nın 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 olmak üzere 9 çarpanı olduğu görülür. 36 gibi tam kare sayılarda ortadaki çift ($6 \cdot 6$) tek sayı verdiği için çarpan sayısı her zaman tektir.

Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

Yalnızca iki farklı çarpanı (1 ve kendisi) olan doğal sayılara asal sayı denir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… 1'den 100'e kadar 25 asal sayı vardır. 1 asal değildir, çünkü tek çarpanı vardır. 2 ise hem en küçük hem de tek çift asal sayıdır.

Her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak tek bir biçimde yazılabilir. Bunu bulmak için sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye devam edersin (bölen merdiveni):

72 → 2'ye böl → 36 → 2'ye böl → 18 → 2'ye böl → 9 → 3'e böl → 3 → 3'e böl → 1

Kullandığın bölenleri üslü biçimde yazarsın: $72 = 2^3 \cdot 3^2$. Aynı yolla $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ bulunur. Çarpan ağacı yöntemi de aynı sonucu verir; hangi yoldan gidersen git, asal çarpanlar değişmez.

EBOB ve EKOK Nasıl Bulunur?

EBOB (en büyük ortak bölen), sayıların hepsini kalansız bölen en büyük sayıdır. EKOK (en küçük ortak kat), sayıların hepsinin katı olan en küçük pozitif sayıdır.

• EBOB için: yalnızca ortak asal çarpanlar alınır, her birinin küçük üslüsü çarpılır.
• EKOK için: bütün asal çarpanlar alınır, her birinin büyük üslüsü çarpılır.

72 ve 60 için: EBOB $= 2^2 \cdot 3 = 12$, EKOK $= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360$.

Kontrol yolu: iki sayı için her zaman $\text{EBOB} \cdot \text{EKOK} = a \cdot b$ olur. $12 \cdot 360 = 4320$ ve $72 \cdot 60 = 4320$; sonuç tutuyor. Ayrıca EBOB her iki sayıdan da büyük olamaz, EKOK da her iki sayıdan küçük olamaz. Bulduğun sonuç bu sınırların dışındaysa bir yerde hata vardır.

Aralarında Asal Sayılar

1'den başka ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal denir; yani EBOB'ları 1'dir. 8 ve 15 asal değildir ama aralarında asaldır: $8 = 2^3$, $15 = 3 \cdot 5$ ve ortak çarpanları yoktur.

Aralarında asal iki sayının EKOK'u, sayıların çarpımına eşittir: EKOK$(8, 15) = 120$. Ardışık iki doğal sayı (ör. 20 ve 21) her zaman aralarında asaldır.

Hangi Problemde Hangisi?

Bu ayrım LGS'de en çok puan kaybettiren yerdir:

• EBOB → bir bütünü eş parçalara bölerken: "En büyük kaç eş parça?", "Artansız kaç kutuya?", "En büyük kare karo", "Eşit aralıklarla ağaç dikme".
• EKOK → olaylar tekrar tekrar yaşanırken: "Kaç dakika sonra yine birlikte?", "En az kaç tane olmalı ki tam paylaşılsın?", "Küçük parçalardan en küçük kare oluşturma".

Kısa ölçüt: sonuç verilen sayılardan küçük çıkacaksa EBOB, büyük çıkacaksa EKOK arıyorsundur.

Çözümlü Örnek 1: Kare Karo

Soru: Boyutları 420 cm ve 300 cm olan dikdörtgen bir zemin, hiç kesilmeden ve boşluk kalmadan birbirine eş, en büyük kare karolarla döşenecek. Kaç karo gerekir?

1. Kare karonun kenarı iki kenarı da tam bölmeli ve en büyük olmalı → EBOB aranıyor.
2. $420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ ve $300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$.
3. Ortak çarpanların küçük üslüleri: EBOB $= 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ cm.
4. Uzun kenara $420 : 60 = 7$, kısa kenara $300 : 60 = 5$ karo sığar.
5. Toplam karo: $7 \cdot 5 = 35$.

Dikkat: soru karonun kenarını değil karo sayısını soruyor. 60'ı işaretleyip geçmek bu sorunun en bilinen tuzağıdır.

Çözümlü Örnek 2: Birlikte Kalkan Otobüsler

Soru: Bir duraktan A otobüsü 12 dakikada, B otobüsü 18 dakikada, C otobüsü 30 dakikada bir kalkıyor. Üçü saat 08.00'de birlikte kalktıysa, bir sonraki birlikte kalkış saat kaçtadır?

1. Olaylar tekrar ediyor ve ilk çakışma aranıyor → EKOK.
2. $12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
3. Bütün çarpanların büyük üslüleri: EKOK $= 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 180$ dakika.
4. 180 dakika 3 saattir; üç otobüs yeniden saat 11.00'de birlikte kalkar.

Sık Yapılan Hatalar

• EBOB'a ortak olmayan çarpanı katmak. 72 ve 60'ta 5 yalnızca 60'ta var; EBOB'a giremez. Ortak olmayan çarpan yalnızca EKOK'a girer.
• Üsleri ters seçmek. EBOB'da büyük, EKOK'ta küçük üs almak sonucu bozar. Kural: EBOB küçük, EKOK büyük.
• 1'i asal sanmak. 1 asal değildir; asal çarpanlara ayırmada da yazılmaz.
• Birimleri karıştırmak. Bir kenar metre, diğeri santimetre verildiyse önce aynı birime çevirmeden EBOB alınmaz.

LGS'de Bu Konu Nasıl Sorulur?

LGS'de bu konu nadiren "EBOB'u bulunuz" diye sorulur; neredeyse her zaman günlük hayattan bir durumun içine gizlenir ve çoğu zaman bir görsel ya da tabloyla desteklenir. Sık görülen kalıplar:

• Kapalı alanın çevresine ağaç dikme: 84 m ve 60 m kenarlı bir bahçenin çevresine, köşelere de gelecek şekilde eşit aralıklarla en az kaç fidan dikilir? Aralık EBOB$(84, 60) = 12$ m, çevre $2 \cdot (84 + 60) = 288$ m; kapalı şekilde fidan sayısı aralık sayısına eşittir: $288 : 12 = 24$.
• Kalanlı sorular: 6'ya, 8'e ve 10'a bölündüğünde hep 3 kalanını veren 3'ten büyük en küçük sayı, EKOK$(6, 8, 10) + 3 = 120 + 3 = 123$ olur.
• Çarpan sayısı ve dikdörtgen modeli: 24 birim karenin kaç farklı dikdörtgen oluşturduğu gibi sorular, çarpan çiftlerini bilmeyi ister.

İpucu: soruyu okurken sonunda ne istendiğinin altını çiz (kenar mı, adet mi, saat mi). Hesabın kendisi çoğu zaman kolaydır; puan, istenen büyüklüğü doğru seçmekte kazanılır.

Özet

• Çarpan sayıyı kalansız böler; kat, sayının doğal sayılarla çarpımıdır.
• Asal çarpanlara ayırma, EBOB ve EKOK hesabının temelidir.
• EBOB: ortak çarpanlar, küçük üsler. EKOK: bütün çarpanlar, büyük üsler.
• İki sayı için EBOB · EKOK = sayıların çarpımı.
• Bölme ve paylaştırma EBOB'u, tekrar ve çakışma EKOK'u gösterir.

Sık sorulanlar