Çarpanlar ve Katlar

1. Zeynep, 180 sayısını şemadaki yöntemle asal çarpanlarına ayırmıştır. Buna göre 180 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?

• A) 12
• B) 15
• C) 18
• D) 20

Doğru cevap: C — 180 = 2² × 3² × 5 olduğundan bölen sayısı 3 × 3 × 2 = 18 dir.

1. Şemadan 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 okunur.
2. Üslü biçim: 2² × 3² × 5¹
3. Üsleri birer artırıp çarpalım: 3 × 3 × 2
4. Bölen sayısı 18 dir.

2. Bir mutfağın duvarı şekildeki ölçülerdedir. Duvar, hiç kesilmeden en büyük eş kare seramiklerle kaplanacaktır. Buna göre kaç seramik kullanılır?

• A) 30
• B) 35
• C) 42
• D) 45

Doğru cevap: B — EBOB(90, 126) = 18 olduğundan 5 × 7 = 35 seramik gerekir.

1. 90 = 2 × 3² × 5, 126 = 2 × 3² × 7
2. EBOB = 2 × 3² = 18 cm
3. Kısa kenara 90 ÷ 18 = 5 seramik sığar.
4. Uzun kenara 126 ÷ 18 = 7 sığar; 5 × 7 = 35

3. İki reklam tabelası tabloda verilen aralıklarla yanıp sönmektedir. Tabelalar aynı anda yandıktan sonra 10 dakika boyunca kaç kez daha birlikte yanarlar?

• A) 6
• B) 7
• C) 9
• D) 8

Doğru cevap: D — EKOK(15, 25) = 75 saniye; 10 dakika 600 saniye ve 600 ÷ 75 = 8 kez.

1. Birlikte yanma anları iki aralığın da katı olmalı: EKOK.
2. 15 = 3 × 5 ve 25 = 5². En büyük üsler: 3 × 5² = 75 saniye.
3. 10 dakikayı saniyeye çevirelim: 600 saniye. 600 ÷ 75 = 8 kez birlikte yanarlar.
4. Denetleyelim: 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600 — sekiz an ve sonuncusu tam 10. dakikada ✓.

4. Şemada 40 ile 60 sayısının asal çarpanları yerleştirilmiştir. Buna göre bu iki sayının EBOB ve EKOK değerlerinin toplamı kaçtır?

• A) 140
• B) 120
• C) 100
• D) 160

Doğru cevap: A — EBOB = 2 × 2 × 5 = 20, EKOK = 20 × 2 × 3 = 120 ve toplam 140 tır.

1. Ortak bölgedeki çarpanlar EBOB u verir: 2 × 2 × 5 = 20
2. Şemadaki tüm çarpanlar EKOK u verir: 20 × 2 × 3 = 120
3. 20 + 120 = 140

5. Asal çarpanlarına ayrılmış biçimi yukarıda verilen sayının kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır?

2⁴ × 3² × 5

• A) 24
• B) 28
• C) 30
• D) 32

Doğru cevap: C — Üsler birer artırılıp çarpılır: (4+1) × (2+1) × (1+1) = 5 × 3 × 2 = 30 bölen.

1. Bölen sayısı kuralı: asal çarpanlara ayrılmış sayıda her üsse 1 eklenir ve sonuçlar çarpılır.
2. Üsler sırasıyla 4, 2 ve 1 (5 sayısının üssü yazılmamış, yani 1).
3. Birer artıralım: 5, 3, 2. Çarpalım: 5 × 3 × 2 = 30.
4. Denetleyelim: kural neden işliyor — her bölen, 2’den 0-4 arası, 3’ten 0-2 arası, 5’ten 0-1 arası üs seçilerek kuruluyor; seçenek sayısı 5 × 3 × 2 ✓.

6. Bir kırtasiyede 108 kalem ve 144 silgi bulunmaktadır. Bunlar, her pakette eşit sayıda kalem ve eşit sayıda silgi olacak biçimde en fazla sayıda pakete ayrılıyor. Buna göre bir pakette toplam kaç ürün bulunur?

• A) 5
• B) 7
• C) 9
• D) 12

Doğru cevap: B — EBOB(108, 144) = 36 paket olur; her pakette 3 kalem ve 4 silgi, toplam 7 ürün bulunur.

1. 108 = 2² × 3³, 144 = 2⁴ × 3²
2. EBOB = 2² × 3² = 36 paket
3. 108 ÷ 36 = 3 kalem, 144 ÷ 36 = 4 silgi
4. 3 + 4 = 7 ürün

7. Bir öğrenci 48 ile 72 sayısının EKOK değerini şemadaki gibi hesaplamıştır. Bu çözümdeki hata aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 48 sayısı yanlış çarpanlara ayrılmıştır.
• B) EKOK için yalnızca ortak çarpanlar alınmalıydı.
• C) Sonuç doğrudur, EKOK gerçekten 24 bulunur.
• D) EKOK için çarpanların en büyük üslüleri alınmalıydı.

Doğru cevap: D — EKOK bulunurken her asal çarpanın en büyük üssü alınır: 2⁴ × 3² = 144.

1. 2 çarpanının üsleri 4 ve 3; büyüğü 4 tür.
2. 3 çarpanının üsleri 1 ve 2; büyüğü 2 dir.
3. EKOK = 2⁴ × 3² = 16 × 9
4. EKOK = 144

8. Bir doğal sayı 4, 6 ve 9 ile bölündüğünde her seferinde 1 kalanını vermektedir. Bu koşulu sağlayan en küçük iki basamaklı doğal sayı kaçtır?

• A) 37
• B) 36
• C) 13
• D) 19

Doğru cevap: A — EKOK(4, 6, 9) = 36 olduğundan sayılar 36 nın katının 1 fazlasıdır; iki basamaklı en küçüğü 37 dir.

1. 4 = 2², 6 = 2 × 3, 9 = 3²
2. EKOK = 2² × 3² = 36
3. Aranan sayılar 1, 37, 73 biçimindedir.
4. İki basamaklı en küçüğü 37 dir.

9. Birbirine geçmiş iki dişli çarkın diş sayıları tabloda verilmiştir. Çarklar dönmeye başladıktan sonra ilk kez başlangıç konumuna geldiklerinde A çarkı kaç tur atmış olur?

• A) 2
• B) 4
• C) 3
• D) 6

Doğru cevap: C — EKOK(24, 36) = 72 diş döner; A çarkı 72 ÷ 24 = 3 tur atar.

1. 24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3²
2. EKOK = 2³ × 3² = 72 diş
3. A çarkı: 72 ÷ 24 = 3 tur
4. B çarkı ise 2 tur atar.

10. Dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin kenarları şekilde verilmiştir. Bahçenin çevresine, köşelere de gelecek biçimde eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. En az kaç ağaç dikilir?

• A) 16
• B) 18
• C) 20
• D) 24

Doğru cevap: B — Aralık EBOB(96, 120) = 24 m, çevre 432 m ve 432 ÷ 24 = 18 ağaç olur.

1. 96 = 2⁵ × 3, 120 = 2³ × 3 × 5
2. EBOB = 2³ × 3 = 24 m aralık
3. Çevre = 2 × (96 + 120) = 432 m
4. 432 ÷ 24 = 18 ağaç

11. Aşağıdaki sayılardan hangisi 36 sayısının böleni değildir?

• A) 12
• B) 18
• C) 9
• D) 24

Doğru cevap: D — 36 = 2² × 3² olduğuna göre bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36’dır; 24 bu listede yok.

1. 36 sayısının bütün bölenlerini çıkaralım: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
2. Seçenekleri listeyle karşılaştıralım: 12 ✓ var, 18 ✓ var, 9 ✓ var.
3. 24 listede yok. Denetleyelim: 36 ÷ 24 = 1,5 — tam bölünme değil.
4. Ayrıca 24 = 2³ × 3 ve 36’da yalnız 2² bulunuyor; 24’ün gerektirdiği üçüncü 2 çarpanı 36’da yok ✓.

12. Çarpan ağacında bir düğüm boş bırakılmıştır. Soru işaretinin bulunduğu yere hangi sayı yazılmalıdır?

• A) 7
• B) 5
• C) 9
• D) 11

Doğru cevap: A — 126 = 2 × 63 ve 63 = 9 × 7 olduğuna göre boş düğüme 7 yazılır.

1. Çarpan ağacında her düğüm, altındaki iki sayının çarpımına eşittir.
2. 126 sayısı 2 ve 63 olarak ayrılmış: 2 × 63 = 126 ✓.
3. 63 sayısı 9 ile bir sayının çarpımı olarak yazılmış: 63 ÷ 9 = 7. Boş düğüme 7 gelir.
4. Denetleyelim: 2 × 9 × 7 = 126 ✓. Ağacın kökündeki sayıya döndük.

13. Bir hastanede A vitamini 4 saatte bir, B vitamini 6 saatte bir, C vitamini 9 saatte bir veriliyor. Üç vitamin bir gün saat 09.00 da birlikte verildiğine göre en erken ne zaman yeniden birlikte verilir?

• A) Ertesi gün saat 21.00 de
• B) Aynı gün saat 21.00 de
• C) İki gün sonra saat 09.00 da
• D) Ertesi gün saat 09.00 da

Doğru cevap: A — EKOK(4, 6, 9) = 36 saat sonra, yani ertesi gün saat 21.00 de birlikte verilir.

1. 4 = 2², 6 = 2 × 3, 9 = 3²
2. EKOK = 2² × 3² = 36 saat
3. 36 saat = 1 gün + 12 saat
4. 09.00 + 12 saat = ertesi gün 21.00

14. İki doğal sayının çarpımı 432, EBOB değeri 6 olarak bulunmuştur. Buna göre bu iki sayının EKOK değeri kaçtır?

• A) 36
• B) 72
• C) 48
• D) 96

Doğru cevap: B — a × b = EBOB × EKOK bağıntısından EKOK = 432 ÷ 6 = 72.

1. İki sayının çarpımı, EBOB ile EKOK’un çarpımına eşittir.
2. Verilenleri yerleştirelim: 432 = 6 × EKOK.
3. EKOK = 432 ÷ 6 = 72.
4. Denetleyelim: bu koşulu sağlayan bir çift arayalım — 24 ve 18. EBOB(24,18) = 6 ✓, EKOK(24,18) = 72 ✓ ve 24 × 18 = 432 ✓.

15. Üç arkadaşın kütüphaneye gitme sıklığı tabloda verilmiştir. Bugün üçü de kütüphanede buluştuğuna göre en az kaç gün sonra yeniden birlikte olurlar?

• A) 30
• B) 40
• C) 120
• D) 60

Doğru cevap: D — "Yeniden birlikte" EKOK ister: EKOK(4, 6, 10) = 60 gün.

1. Üç arkadaş kendi sıklıklarında gidiyor; birlikte olacakları gün ÜÇÜNÜN de katı olmalı — EKOK.
2. Asal çarpanlara ayıralım: 4 = 2², 6 = 2 × 3, 10 = 2 × 5.
3. Bütün asal çarpanların en büyük üsleri: 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60 gün.
4. Denetleyelim: 60 ÷ 4 = 15, 60 ÷ 6 = 10, 60 ÷ 10 = 6 ✓. Üçü de tam bölünüyor ve daha küçük ortak kat yok.