Kareköklü İfadeler

1. Şekildeki karenin alanı 64 cm² olarak verilmiştir. Buna göre bu karenin bir kenar uzunluğu kaç cm dir?

• A) 6
• B) 8
• C) 16
• D) 32

Doğru cevap: B — Karenin alanı kenarın karesidir: kenar = √64 = 8 cm.

1. Karede alan = kenar × kenar, yani kenar².
2. Tersine gidelim: kenar² = 64 olduğuna göre kenar = √64.
3. √64 = 8, çünkü 8 × 8 = 64.
4. Denetleyelim: 8 × 8 = 64 cm². Verilen alana döndük.

2. İşleminin sonucu kaçtır?

√81 + √16

• A) 13
• B) 25
• C) 5
• D) 97

Doğru cevap: A — Her kök ayrı hesaplanıp toplanır: 9 + 4 = 13.

1. Toplamada kök içleri işleme GİRMEZ; her kökü ayrı hesaplayalım.
2. √81 = 9, çünkü 9 × 9 = 81.
3. √16 = 4, çünkü 4 × 4 = 16. Toplayalım: 9 + 4 = 13.
4. Denetleyelim: içleri toplasaydık √97 ≈ 9,85 çıkardı; 13 ile aynı değil. Kural doğrulandı.

3. Şekilde eş birim karelerden oluşan bir model verilmiştir. Modeldeki toplam kare sayısının karekökü kaçtır?

• A) 4
• B) 5
• C) 6
• D) 25

Doğru cevap: B — Model 5 satır 5 sütundan oluşur; toplam 25 kare vardır ve √25 = 5’tir.

1. Şekildeki modeli sayalım: 5 satır ve 5 sütun var.
2. Toplam kare sayısı: 5 × 5 = 25.
3. Soru kare sayısının KAREKÖKÜNÜ istiyor: √25 = 5.
4. Denetleyelim: 5 × 5 = 25; bir kenardaki kare sayısı zaten karekökün kendisi. Tutuyor.

4. Bir bahçıvan kare biçimindeki tarlasının alanını 144 m² olarak ölçmüştür. Tarlanın çevresi tel ile çevrilecektir. Buna göre kaç metre tele ihtiyaç vardır?

• A) 36
• B) 60
• C) 48
• D) 144

Doğru cevap: C — Önce kenar bulunur (√144 = 12 m), sonra çevre hesaplanır: 4 × 12 = 48 m.

1. Tarla kare olduğuna göre alan = kenar²; kenar = √144 = 12 m.
2. Ama soru kenarı değil, tel çekilecek ÇEVREYİ istiyor.
3. Karenin çevresi 4 × kenar: 4 × 12 = 48 m tel gerekir.
4. Denetleyelim: 12 m kenarlı karenin alanı 144 m² ✓ ve çevresi 48 m ✓.

5. Sayı doğrusunda ardışık tam sayılar gösterilmiştir. Buna göre √30 sayısı hangi iki ardışık tam sayı arasında yer alır?

• A) 4 ile 5
• B) 6 ile 7
• C) 7 ile 8
• D) 5 ile 6

Doğru cevap: D — 5² = 25 ve 6² = 36 olduğundan 25 < 30 < 36 ve √30 sayısı 5 ile 6 arasındadır.

1. 30 a en yakın tam kareleri bulalım.
2. 25 = 5² ve 36 = 6²
3. 25 < 30 < 36
4. 5 < √30 < 6

6. İşleminin sonucu kaçtır?

√2 × √8

• A) 2
• B) 4
• C) 16
• D) √10

Doğru cevap: B — Çarpmada kök içleri çarpılır: √2 × √8 = √16 = 4.

1. Kural: √a × √b = √(a × b).
2. İçleri çarpalım: 2 × 8 = 16.
3. 16 tam karedir: √16 = 4.
4. Denetleyelim: √8 = 2√2 olduğuna göre √2 × 2√2 = 2 × (√2)² = 2 × 2 = 4. İki yol aynı sonucu verdi.

7. Kartların üzerinde dört kareköklü ifade yazılıdır. Bu ifadelerin değerlerinin toplamı kaçtır?

• A) 30
• B) 36
• C) 34
• D) 40

Doğru cevap: C — Dört kökün değerleri 7, 8, 9 ve 10’dur; toplamları 34 eder.

1. Her kökü ayrı hesaplayalım: √49 = 7 ve √64 = 8.
2. √81 = 9 ve √100 = 10.
3. Toplayalım: 7 + 8 + 9 + 10 = 34.
4. Denetleyelim: sayılar ardışık (7, 8, 9, 10); dördünün toplamı ortalamanın dört katıdır — 8,5 × 4 = 34. Tutuyor.

8. Bir sınıfın kare biçimindeki zemini 100 eş kare fayansla tamamen kaplanmıştır. Buna göre bir kenar boyunca kaç fayans sıralanmıştır?

• A) 10
• B) 20
• C) 25
• D) 50

Doğru cevap: A — Zemin kare olduğu için bir kenardaki fayans sayısı √100 = 10’dur.

1. Zemin kare biçiminde ve eş fayanslarla kaplanmış; öyleyse satır sayısı ile sütun sayısı eşittir.
2. Satır × sütun = 100 ve ikisi eşit olduğuna göre kenar × kenar = 100.
3. Kenar = √100 = 10 fayans.
4. Denetleyelim: 10 × 10 = 100 fayans. Verilen sayıya döndük.

9. Bölümünün değeri kaçtır?

√36 ÷ √49

• A) 6/7
• B) 7/6
• C) 36/49
• D) 1

Doğru cevap: A — Her kök ayrı hesaplanır ve bölüm kesir olarak yazılır: 6/7.

1. √36 = 6, çünkü 6 × 6 = 36.
2. √49 = 7, çünkü 7 × 7 = 49.
3. Bölme işlemi kesir biçiminde yazılır: 6/7. Bu kesir sadeleşmez, çünkü 6 ile 7’nin ortak böleni yok.
4. Denetleyelim: kural olarak da √(36/49) = 6/7 çıkar ve (6/7)² = 36/49. Tutuyor.

10. Tabloda iki karenin alanları verilmiştir. Buna göre L karesinin bir kenarı, K karesinin bir kenarından kaç cm uzundur?

• A) 4
• B) 5
• C) 6
• D) 85

Doğru cevap: B — İki kenar ayrı bulunup çıkarılır: √121 − √36 = 11 − 6 = 5 cm.

1. Kenar uzunlukları alanların karekökleridir.
2. K karesi: kenar = √36 = 6 cm.
3. L karesi: kenar = √121 = 11 cm. Fark: 11 − 6 = 5 cm.
4. Denetleyelim: 6² = 36 ✓ ve 11² = 121 ✓; iki kenar da doğru, fark 5 cm.

11. Bir öğrenci şemadaki işlemi yaparak 5 sonucuna ulaşmıştır. Bu çözümdeki hata aşağıdakilerden hangisidir?

• A) Kökler toplanırken içler toplanmaz, sonuç 7 olmalıydı.
• B) Sonuç doğrudur, gerçekten 5 bulunur.
• C) √9 ifadesinin değeri 4,5 tir.
• D) İşlem çarpma olarak yapılmalıydı.

Doğru cevap: A — Toplamada kök içleri toplanamaz; doğrusu √9 + √16 = 3 + 4 = 7’dir.

1. Şemadaki adım √9 + √16 ifadesini √(9 + 16) yapıyor. Bu kural YOK.
2. İçler yalnız ÇARPMA ve BÖLMEDE işleme girer: √a × √b = √(ab) doğru, ama √a + √b = √(a+b) yanlış.
3. Doğrusu: her kök ayrı hesaplanır. √9 = 3, √16 = 4, toplam 3 + 4 = 7.
4. Denetleyelim: 5 ile 7 aynı değil. Kural yanlış olduğu için sonuç da yanlış çıkmış.

12. Tabloda bazı sayıların kareleri verilmiştir. Buna göre √169 − √121 işleminin sonucu kaçtır?

• A) 3
• B) 48
• C) 2
• D) 24

Doğru cevap: C — Tablodan kareler okunur: √169 = 13 ve √121 = 11, fark 2’dir.

1. Tabloda sayıların kareleri verilmiş; karekök almak için ters yönde okuyacağız.
2. 169 = 13² satırından √169 = 13.
3. 121 = 11² satırından √121 = 11. Çıkaralım: 13 − 11 = 2.
4. Denetleyelim: 13² = 169 ✓ ve 11² = 121 ✓; iki kök de doğru, fark 2.

13. Bir çiftçi kare biçimindeki tarlasına 225 fidan dikmiştir. Fidanlar eşit sayıda sıra ve sütun oluşturmaktadır. Buna göre bir sırada kaç fidan bulunur?

• A) 12
• B) 18
• C) 25
• D) 15

Doğru cevap: D — Fidanlar kare dizildiği için bir sıradaki sayı √225 = 15’tir.

1. Tarla kare ve fidanlar eşit sayıda sıra ve sütun oluşturuyor; öyleyse sıra sayısı sütun sayısına eşit.
2. Sıra × sütun = 225 ve ikisi eşit olduğuna göre sıra² = 225.
3. Sıra = √225 = 15, çünkü 15 × 15 = 225.
4. Denetleyelim: 15 × 15 = 225 fidan. Verilen sayıya döndük.

14. Kartların üzerinde dört kareköklü sayı yazılıdır. Bu sayılardan hangisi bir tam sayıya eşit değildir?

• A) √1
• B) √4
• C) √9
• D) √12

Doğru cevap: D — 1, 4 ve 9 tam kare sayılardır; 12 tam kare olmadığından √12 tam sayı değildir.

1. √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3
2. 12 sayısı iki eşit çarpanın çarpımı olarak yazılamaz.
3. 3² = 9 ve 4² = 16 olduğundan √12 bu ikisi arasındadır.
4. √12 tam sayı değildir.

15. Bir havuzun kare biçimindeki tabanının alanı 196 m² dir. Bu tabanın çevresine 2 metre aralıklarla ışık yerleştirilecektir. Buna göre kaç ışık gerekir?

• A) 24
• B) 26
• C) 28
• D) 30

Doğru cevap: C — Kenar √196 = 14 m, çevre 56 m’dir; 2 metre aralıkla 56 ÷ 2 = 28 ışık gerekir.

1. Taban kare olduğuna göre kenar = √196 = 14 m, çünkü 14 × 14 = 196.
2. Işıklar çevreye yerleştirilecek: çevre = 4 × 14 = 56 m.
3. 2 metre aralıklarla dizildiğine göre ışık sayısı = 56 ÷ 2 = 28.
4. Denetleyelim: kapalı bir çevrede aralık sayısı ile ışık sayısı eşittir — başlangıç noktası aynı zamanda bitiş noktasıdır, bu yüzden bir fazla saymaya gerek yok.