Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler

1. Şekildeki örüntüde her adımda birim kare sayısı düzenli olarak artmaktadır. Buna göre n. şekilde kaç birim kare bulunur?

• A) 3n + 1
• B) n + 3
• C) 3n
• D) 4n

Doğru cevap: A — Kare sayıları 4, 7, 10 biçiminde 3 er artmaktadır; kural 3n + 1 dir.

1. Artış miktarı her adımda 3 tür, bu yüzden kuralda 3n bulunur.
2. 1. şekil için 3 × 1 = 3, ancak 4 kare var.
3. Aradaki fark 1 dir.
4. Kural: 3n + 1

2. Alan modelinde bir dikdörtgen dört parçaya ayrılmıştır. Buna göre bu dikdörtgenin toplam alanını veren cebirsel ifade hangisidir?

• A) x² + 6x + 5
• B) x² + 5x + 6
• C) x² + 6
• D) 2x² + 6

Doğru cevap: B — Parça alanları toplanır: x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.

1. Parçalar: x², 3x, 2x ve 6
2. Benzer terimler toplanır: 3x + 2x = 5x
3. Toplam alan: x² + 5x + 6
4. Bu ifade (x + 3)(x + 2) çarpımına eşittir.

3. İfadesinin en sade biçimi nedir?

3x + 5 − x + 2

• A) 2x + 7
• B) 4x + 7
• C) 2x + 3
• D) 9x

Doğru cevap: A — Benzer terimler kendi arasında toplanır: 3x − x = 2x ve 5 + 2 = 7.

1. Terimleri türlerine göre ayıralım: x’liler 3x ve −x, sabitler 5 ve 2.
2. x’li terimler: 3x − x = 2x. (Katsayısı yazılmayan x’in katsayısı 1’dir.)
3. Sabit terimler: 5 + 2 = 7. Sonuç 2x + 7.
4. Denetleyelim: x = 4 alalım. 12 + 5 − 4 + 2 = 15 ve 2 × 4 + 7 = 15. Tutuyor.

4. Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları şekilde verilmiştir. Buna göre bu dikdörtgenin alanını veren ifade hangisidir?

• A) x + 12
• B) 3x + 4
• C) 3x + 12
• D) x + 7

Doğru cevap: C — Dikdörtgenin alanı kenarların çarpımıdır: 3 × (x + 4) = 3x + 12.

1. Alan = kısa kenar × uzun kenar = 3 × (x + 4).
2. Dağılma özelliği: parantez dışındaki çarpan İÇERİDEKİ HER TERİMLE çarpılır.
3. 3 × x = 3x ve 3 × 4 = 12. Sonuç 3x + 12.
4. Denetleyelim: x = 2 alalım. Kenarlar 6 ve 3, alan 18; ifadede 3 × 2 + 12 = 18. Tutuyor.

5. Bir kenarı a + b olan kare şekildeki gibi dört parçaya ayrılmıştır. Buna göre bu parçaların alanları toplamı hangisine eşittir?

• A) a² + b²
• B) a² + ab + b²
• C) a² + 2ab + b²
• D) 2a + 2b

Doğru cevap: C — Model iki kare ve iki eş dikdörtgenden oluşur: a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

1. Köşedeki kareler: a² ve b²
2. İki dikdörtgenin her biri a × b alanındadır.
3. ab + ab = 2ab
4. Toplam: a² + 2ab + b²

6. İfadesinin açılımı hangisidir?

(x + 3)²

• A) x² + 9
• B) x² + 3x + 9
• C) x² + 6x + 9
• D) x² + 6x + 3

Doğru cevap: C — Tam kare açılımı: x² + 2 × x × 3 + 3² = x² + 6x + 9.

1. Kural: (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. a = x, b = 3 alınır.
3. 2 × x × 3 = 6x
4. x² + 6x + 9

7. Bir defterin fiyatı x TL, bir kalemin fiyatı 4 TL dir. Elif 3 defter ve 5 kalem aldığına göre ödeyeceği tutarı veren ifade hangisidir?

• A) 3x + 20
• B) 8x
• C) 3x + 5
• D) 5x + 12

Doğru cevap: A — 3 defter 3x TL, 5 kalem 5 × 4 = 20 TL tutar; toplam 3x + 20 TL dir.

1. Defter tutarı: 3 × x = 3x
2. Kalem tutarı: 5 × 4 = 20
3. Toplam = 3x + 20
4. Defter ile kalem benzer terim değildir, toplanamaz.

8. Tabloda bir çubuk örüntüsündeki çubuk sayıları verilmiştir. Buna göre 10. şekilde kaç çubuk bulunur?

• A) 37
• B) 40
• C) 41
• D) 45

Doğru cevap: C — Kural 4n + 1 dir; 10. şekilde 4 × 10 + 1 = 41 çubuk vardır.

1. Artış her adımda 4 tür → kuralda 4n bulunur.
2. 1. şekil: 4 × 1 = 4, gerçekte 5 var.
3. Kural: 4n + 1
4. 4 × 10 + 1 = 41 çubuk

9. Çarpımının sonucu nedir?

(x − 5)(x + 5)

• A) x² − 25
• B) x² + 25
• C) x² − 10x + 25
• D) x² − 5

Doğru cevap: A — İki kare farkı özdeşliği: (x − 5)(x + 5) = x² − 25.

1. Çarpanların terimleri aynı, işaretleri zıt; a² − b² özdeşliğinin kalıbı bu.
2. Dağıtarak görelim: x² + 5x − 5x − 25.
3. Orta terimler birbirini götürüyor. Sonuç x² − 25.
4. Denetleyelim: x = 7 alalım. (7−5)(7+5) = 2 × 12 = 24 ve 49 − 25 = 24. Tutuyor.

10. Kare biçimindeki bir halının bir kenar uzunluğu şekilde verilmiştir. Buna göre halının alanını veren ifade hangisidir?

• A) x² + 4
• B) x² + 2x + 4
• C) 2x + 4
• D) x² + 4x + 4

Doğru cevap: D — Karenin alanı kenarın karesidir: (x + 2)² = x² + 4x + 4.

1. Halı kare olduğuna göre alan = kenar × kenar = (x + 2)².
2. Tam kare özdeşliği: (a + b)² = a² + 2ab + b².
3. a = x, b = 2 → x² + 2 × x × 2 + 4 = x² + 4x + 4.
4. Denetleyelim: x = 1 alalım. Kenar 3, alan 9; ifadede 1 + 4 + 4 = 9. Tutuyor.

11. Bir öğrenci şemadaki açılımı yazmıştır. Bu açılımda eksik bırakılan terim hangisidir?

• A) ab
• B) 2ab
• C) a²b²
• D) 2a + 2b

Doğru cevap: B — Doğru açılım a² + 2ab + b² olduğuna göre eksik terim 2ab’dir.

1. Kare almak ifadeyi kendisiyle çarpmaktır: (a + b)(a + b).
2. Dağıtalım: a × a + a × b + b × a + b × b = a² + ab + ab + b².
3. Ortadaki iki terim aynı ve toplanır: ab + ab = 2ab. Öğrencinin şemasında bu terim yok.
4. Denetleyelim: a = 2, b = 3 alalım. (2+3)² = 25 ama a² + b² = 4 + 9 = 13. Aradaki fark 12 ve 2ab = 2 × 2 × 3 = 12. Eksik terim tam olarak bu.

12. Tabloda üç arkadaşın yaşları cebirsel ifadelerle verilmiştir. Buna göre üçünün yaşları toplamını veren ifade hangisidir?

• A) 3x + 5
• B) 4x + 5
• C) 2x + 5
• D) 4x

Doğru cevap: B — Yaşlar toplanır ve benzer terimler birleştirilir: x + (x + 5) + 2x = 4x + 5.

1. Üç yaşı da toplayalım: x + (x + 5) + 2x.
2. x’li terimleri bir araya getirelim: x + x + 2x = 4x.
3. Sabit terim yalnız 5. Sonuç 4x + 5.
4. Denetleyelim: x = 10 alalım. Yaşlar 10, 15 ve 20; toplam 45. İfadede 4 × 10 + 5 = 45. Tutuyor.

13. x = 4 için 2x² − 3x ifadesinin değeri kaçtır?

2x² − 3x

• A) 12
• B) 20
• C) 26
• D) 44

Doğru cevap: B — x yerine 4 yazılır: 2 × 16 − 3 × 4 = 32 − 12 = 20.

1. İşlem önceliği: önce üs, sonra çarpmalar, en son çıkarma.
2. Birinci terim: 4² = 16 ve 2 × 16 = 32.
3. İkinci terim: 3 × 4 = 12. Çıkaralım: 32 − 12 = 20.
4. Denetleyelim: 2x² ifadesinde üs yalnız x’e ait; (2 × 4)² = 64 olurdu ve bu yanlış.

14. Şekilde bir kare dört parçaya ayrılmış olarak verilmiştir. Buna göre modeldeki iki dikdörtgen parçanın alanları toplamı hangisidir?

• A) 5x
• B) 25
• C) x²
• D) 10x

Doğru cevap: D — İki dikdörtgen parçanın her biri 5x alanındadır: 5x + 5x = 10x.

1. Model bir kareyi dört parçaya ayırıyor: iki köşede kareler, aralarda iki dikdörtgen.
2. Köşedeki kareler x² ve 25 (yani 5²); bunlar dikdörtgen değil.
3. Dikdörtgen parçaların kenarları x ve 5, alanları 5x. İki tane olduğuna göre toplam 5x + 5x = 10x.
4. Denetleyelim: dört parçanın toplamı x² + 10x + 25 ve bu (x + 5)² açılımı. Model tam kare özdeşliğini gösteriyor, tutuyor.

15. Bir manavdan x kilogram elma ile 3 kilogram armut alınmıştır. Elmanın kilogramı 20 TL, armudun kilogramı 30 TL olduğuna göre ödenen tutarı veren ifade hangisidir?

• A) 23x
• B) 20x + 30
• C) 50x
• D) 20x + 90

Doğru cevap: D — Elma 20x TL, armut 3 × 30 = 90 TL tutar; toplam 20x + 90 TL dir.

1. Elma tutarı: 20 × x = 20x
2. Armut tutarı: 3 × 30 = 90
3. Toplam = 20x + 90
4. 20x ile 90 benzer terim olmadığı için toplanamaz.