Kareköklü İfadeler

1. İşleminin sonucu kaçtır?

3√2 + 5√2

• A) 8√2
• B) 8√4
• C) 15√2
• D) √2

Doğru cevap: A — Kök içleri aynı olduğu için katsayılar toplanır: 3√2 + 5√2 = 8√2.

1. İki terimin de kök içi 2; bu yüzden doğrudan toplanabilirler.
2. Kökü ortak çarpan gibi düşünelim: 3 tane √2 artı 5 tane √2 eder 8 tane √2.
3. Katsayılar toplanır, kök İÇİ DEĞİŞMEZ: 3 + 5 = 8, sonuç 8√2.
4. Denetleyelim: √2 ≈ 1,41; 3√2 ≈ 4,24 ve 5√2 ≈ 7,07, toplamları ≈ 11,31. 8√2 ≈ 11,31. Tutuyor.

2. Şekilde alanı verilen bir kare gösterilmiştir. Buna göre bu karenin bir kenar uzunluğunun en sade biçimi hangisidir?

• A) 6√2 cm
• B) 8√2 cm
• C) 2√18 cm
• D) 36√2 cm

Doğru cevap: A — 72 sayısı 36 × 2 biçiminde yazılır ve √36 = 6 kök dışına çıkar: 6√2 cm.

1. Kare olduğuna göre kenar = √72.
2. 72 sayısının tam kare çarpanlarını arayalım: 4, 9 ve 36. En büyüğünü seçmek en sade sonucu verir: 72 = 36 × 2.
3. √72 = √36 × √2 = 6√2 cm.
4. Denetleyelim: (6√2)² = 36 × 2 = 72 cm² ✓. Verilen alana döndük.

3. Sayı doğrusunda 0 ile 6 arasındaki tam sayılar işaretlenmiştir. Buna göre √11 sayısı hangi iki tam sayı arasına yerleştirilmelidir?

• A) 2 ile 3
• B) 3 ile 4
• C) 4 ile 5
• D) 5 ile 6

Doğru cevap: B — 9 < 11 < 16 olduğundan 3 < √11 < 4 tür.

1. 11 e komşu tam kareler: 9 ve 16
2. 9 = 3², 16 = 4²
3. 9 < 11 < 16
4. 3 < √11 < 4

4. Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları şekilde verilmiştir. Buna göre bu dikdörtgenin alanı kaç cm² dir?

• A) 24
• B) 36
• C) 48
• D) 75

Doğru cevap: B — Çarpmada kök içleri çarpılır: √48 × √27 = √1296 = 36 cm².

1. Dikdörtgenin alanı iki kenarın çarpımıdır: √48 × √27.
2. Çarpmada içler çarpılır: √(48 × 27) = √1296.
3. 36 × 36 = 1296 olduğuna göre √1296 = 36 cm².
4. Denetleyelim: sadeleştirerek de gidelim — √48 = 4√3 ve √27 = 3√3; 4√3 × 3√3 = 12 × 3 = 36. İki yol aynı sonucu verdi.

5. Bölümünün sonucu kaçtır?

√50 ÷ √2

• A) 5
• B) 25
• C) √48
• D) 10

Doğru cevap: A — Bölmede kök içleri bölünür: √50 ÷ √2 = √25 = 5.

1. Kural: √a ÷ √b = √(a ÷ b).
2. İçleri bölelim: 50 ÷ 2 = 25.
3. 25 tam karedir: √25 = 5.
4. Denetleyelim: √50 = 5√2 olduğuna göre 5√2 ÷ √2 = 5. İki yol aynı sonucu verdi.

6. Kartlardaki sayılar küçükten büyüğe sıralanacaktır. Buna göre baştan üçüncü sırada hangi sayı yer alır?

• A) 2√5
• B) √26
• C) 3√3
• D) 5√2

Doğru cevap: C — Hepsi tek kök altında yazılırsa √20 < √26 < √27 < √50 olur; üçüncü sıradaki 3√3 tür.

1. 2√5 = √20 ve 3√3 = √27
2. 5√2 = √50
3. Sıralama: √20 < √26 < √27 < √50
4. Üçüncü sıradaki sayı 3√3 tür.

7. Bir öğrenci √18 sayısını şemadaki gibi sadeleştirmiştir. Bu çözümdeki hata aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 18 sayısı 9 × 2 biçiminde yazılamaz.
• B) Kök dışına 9 değil, √9 = 3 çıkarılmalıydı.
• C) Sonuç doğrudur, 9√2 bulunur.
• D) √2 çarpanı da kök dışına çıkarılmalıydı.

Doğru cevap: B — Kök dışına çarpanın kendisi değil KAREKÖKÜ çıkar: √18 = √9 × √2 = 3√2.

1. Öğrencinin ilk adımı doğru: 18 = 9 × 2 ve 9 tam kare.
2. Hata ikinci adımda: √(9 × 2) ifadesi √9 × √2 olarak ayrılır, 9 × √2 olarak değil.
3. √9 = 3 olduğuna göre doğru sonuç 3√2’dir.
4. Denetleyelim: (3√2)² = 9 × 2 = 18 ✓ ama (9√2)² = 81 × 2 = 162 ✗. Öğrencinin sonucu 18’e dönmüyor.

8. Kare biçimindeki bir bahçenin alanı 200 m² olarak ölçülmüştür. Bahçenin çevresine tel çekilecektir. Buna göre kaç metre tel gerekir?

• A) 40√2
• B) 20√2
• C) 80√2
• D) 200√2

Doğru cevap: A — Kenar √200 = 10√2 m’dir; çevre 4 × 10√2 = 40√2 m eder.

1. Bahçe kare olduğuna göre kenar = √200.
2. Sadeleştirelim: 200 = 100 × 2 ve 100 tam kare, yani √200 = 10√2 m.
3. Soru kenarı değil ÇEVREYİ istiyor: 4 × 10√2 = 40√2 m tel gerekir.
4. Denetleyelim: (10√2)² = 100 × 2 = 200 m² ✓; kenar doğru, çevre dört katı.

9. Tabloda iki karenin alanları verilmiştir. Buna göre B karesinin bir kenarı, A karesinin bir kenarının kaç katıdır?

• A) 4
• B) 8
• C) 2
• D) 16

Doğru cevap: C — Kenarların oranı köklerin bölümüdür: √128 ÷ √32 = √4 = 2 kat.

1. Kenar uzunlukları alanların karekökleri: A için √32, B için √128.
2. "Kaç katı" sorusu bölme demektir: √128 ÷ √32.
3. Bölmede içler bölünür: √(128 ÷ 32) = √4 = 2 kat.
4. Denetleyelim: √32 = 4√2 ve √128 = 8√2; 8√2 ÷ 4√2 = 2. İki yol aynı sonucu verdi.

10. İşleminin sonucu kaçtır?

√0,04

• A) 0,02
• B) 0,2
• C) 2
• D) 0,004

Doğru cevap: B — 0,2 × 0,2 = 0,04 olduğundan √0,04 = 0,2 dir.

1. 0,04 sayısını kesir yazalım: 4/100
2. √(4/100) = √4 ÷ √100
3. = 2 ÷ 10
4. = 0,2

11. Kare biçimindeki bir panonun alanı şekilde verilmiştir. Buna göre panonun bir kenar uzunluğu hangi iki ardışık doğal sayı arasındadır?

• A) 5 ile 6
• B) 7 ile 8
• C) 6 ile 7
• D) 8 ile 9

Doğru cevap: C — 36 < 45 < 49 olduğundan 6 < √45 < 7 dir.

1. kenar = √45
2. 45 e komşu tam kareler 36 ve 49 dur.
3. 36 < 45 < 49
4. 6 < √45 < 7

12. Eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır?

a√3 = √75

• A) 3
• B) 15
• C) 25
• D) 5

Doğru cevap: D — √75 sadeleştirilince 5√3 çıkar; iki taraf karşılaştırılınca a = 5 olur.

1. Sağ tarafı sadeleştirelim: 75 = 25 × 3 ve 25 tam kare.
2. √75 = √25 × √3 = 5√3.
3. Eşitlik a√3 = 5√3 hâline geldi; kök içleri aynı olduğuna göre katsayılar eşit olmalı: a = 5.
4. Denetleyelim: 5√3 ifadesinin karesi 25 × 3 = 75 ✓. Başlangıçtaki değere döndük.

13. Bir üçgenin taban uzunluğu ile yüksekliği tabloda verilmiştir. Buna göre bu üçgenin alanı kaç cm² dir?

• A) 6
• B) 12
• C) 18
• D) 9

Doğru cevap: D — Üçgenin alanı taban × yükseklik ÷ 2’dir: √324 ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9 cm².

1. Üçgen alanı formülü: (taban × yükseklik) ÷ 2.
2. Önce çarpalım — çarpmada içler çarpılır: √12 × √27 = √(12 × 27) = √324.
3. 18 × 18 = 324 olduğuna göre √324 = 18. Şimdi ikiye bölelim: 18 ÷ 2 = 9 cm².
4. Denetleyelim: √12 = 2√3 ve √27 = 3√3; 2√3 × 3√3 = 6 × 3 = 18 ve 18 ÷ 2 = 9. Tutuyor.

14. Bir marangoz alanı 98 cm² olan kare bir levha kesecektir. Levhanın bir kenar uzunluğunu en sade kökle ifade ettiğinde ne yazmalıdır?

• A) 2√7 cm
• B) 49√2 cm
• C) 14√2 cm
• D) 7√2 cm

Doğru cevap: D — 98 sayısı 49 × 2 biçiminde yazılır ve √49 = 7 kök dışına çıkar: 7√2 cm.

1. Levha kare olduğuna göre kenar = √98.
2. 98 sayısının tam kare çarpanını arayalım: 98 = 49 × 2 ve 49 tam karedir.
3. √98 = √49 × √2 = 7√2 cm.
4. Denetleyelim: (7√2)² = 49 × 2 = 98 cm² ✓. Verilen alana döndük.

15. Grafikte üç kare bahçenin alanları m² cinsinden verilmiştir. Buna göre bu bahçelerin kenar uzunlukları toplamı kaç metredir?

• A) 16
• B) 20
• C) 18
• D) 24

Doğru cevap: C — Her alanın karekökü kenarı verir: 4 + 6 + 8 = 18 m.

1. Grafikten alanları okuyalım: 16, 36 ve 64 m².
2. Her bahçe kare olduğuna göre kenar = √alan: √16 = 4, √36 = 6, √64 = 8 m.
3. Kenarları toplayalım: 4 + 6 + 8 = 18 m.
4. Denetleyelim: 4² = 16 ✓, 6² = 36 ✓, 8² = 64 ✓; üç kenar da doğru.