Çarpanlar ve Katlar

1. Ferit, 72 sayısını şemadaki çarpan ağacıyla parçalamıştır. Ağacın daha fazla bölünemeyen uç sayıları kullanıldığında 72 sayısının üslü biçimde yazılışı hangisidir?

• A) 2² × 3³
• B) 2 × 3⁴
• C) 2⁴ × 3
• D) 2³ × 3²

Doğru cevap: D — Ağacın uçlarında 2, 2, 2, 3, 3 kalır; bu da 2³ × 3² demektir.

1. Çarpan ağacında dallanma, sayı daha fazla bölünemez hâle gelene kadar sürer; uçlardaki sayılar ASAL olmalıdır.
2. Şemadaki uçları okuyalım: 2, 2, 2, 3, 3.
3. Tekrar sayısını üsse çevirelim: üç tane 2 → 2³, iki tane 3 → 3². Sonuç 2³ × 3².
4. Denetleyelim: 2³ × 3² = 8 × 9 = 72 ✓. Ağacın kökündeki sayıya döndük.

2. Şemada 90 sayısı ardışık bölme yöntemiyle asal çarpanlarına ayrılmıştır. Buna göre 90 sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır?

• A) 8
• B) 12
• C) 10
• D) 9

Doğru cevap: B — 90 = 2 × 3² × 5 olduğundan bölen sayısı 2 × 3 × 2 = 12 bulunur.

1. Şemadan 90 = 2 × 3 × 3 × 5 okunur.
2. Üslü biçim: 2¹ × 3² × 5¹
3. Üsleri birer artırıp çarpalım: (1+1) × (2+1) × (1+1)
4. 2 × 3 × 2 = 12 bölen vardır.

3. Bir çiçekçi elindeki 24 gül ile 36 laleyi, her bukette eşit sayıda gül ve eşit sayıda lale olacak biçimde buketlere ayıracaktır. Hiç çiçek artmadan en fazla kaç buket hazırlayabilir?

• A) 4
• B) 6
• C) 12
• D) 18

Doğru cevap: C — "Her bukette eşit, hiç artmadan, en fazla buket" EBOB ister: EBOB(24, 36) = 12 buket.

1. Her bukette eşit sayıda gül ve eşit sayıda lale olacak, hiç çiçek artmayacak; öyleyse buket sayısı her iki sayının da BÖLENİ olmalı.
2. "En fazla buket" dendiğine göre ortak bölenlerin en büyüğünü, yani EBOB’u arıyoruz.
3. 24 = 2³ × 3 ve 36 = 2² × 3². Ortakların en küçük üsleri: 2² × 3 = 12 buket.
4. Denetleyelim: her bukete 24 ÷ 12 = 2 gül ve 36 ÷ 12 = 3 lale düşer ✓. Hiç çiçek artmıyor.

4. Şemada 24 ile 36 sayısının asal çarpanları yerleştirilmiştir. Ortak bölgedeki çarpanlar iki sayıda da bulunmaktadır. Buna göre bu iki sayının EKOK değeri kaçtır?

• A) 12
• B) 24
• C) 36
• D) 72

Doğru cevap: D — EKOK, şemadaki tüm çarpanların çarpımıdır: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72.

1. Ortak bölge: 2 × 2 × 3 = 12 (EBOB)
2. Sol bölge 2, sağ bölge 3 sayısını verir.
3. EKOK = 12 × 2 × 3
4. EKOK = 72

5. Asal çarpanlarına ayrılmış biçimi yukarıda verilen doğal sayı kaçtır?

2³ × 3 × 5

• A) 90
• B) 150
• C) 120
• D) 240

Doğru cevap: C — Üslü çarpan açılır: 2³ = 8 ve 8 × 3 × 5 = 120.

1. Asal çarpanlarına ayrılmış biçimden sayıya dönmek için çarpanları çarpmak yeter.
2. Önce üslü çarpanı açalım: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
3. Şimdi çarpalım: 8 × 3 = 24 ve 24 × 5 = 120.
4. Denetleyelim: 120 sayısını geri ayıralım — 120 = 8 × 15 = 2³ × 3 × 5 ✓.

6. Bir durakta mavi ve yeşil hat otobüsleri tabloda verilen aralıklarla kalkmaktadır. İki otobüs saat 08.00 de birlikte kalktığına göre en erken saat kaçta yeniden birlikte kalkarlar?

• A) 08.24
• B) 08.36
• C) 08.30
• D) 09.00

Doğru cevap: B — "Yeniden birlikte" EKOK ister: EKOK(12, 18) = 36 dakika, yani 08.36.

1. İki otobüs kendi aralıklarında kalkıyor; birlikte kalkacakları an ikisinin de katı olmalı — EKOK.
2. 12 = 2² × 3 ve 18 = 2 × 3². Bütün asal çarpanların en büyük üsleri: 2² × 3² = 36 dakika.
3. Saat 08.00’a 36 dakika ekleyelim: 08.36.
4. Denetleyelim: mavi hat 12, 24, 36. dakikada; yeşil hat 18, 36. dakikada kalkıyor. İlk ortak an 36 ✓.

7. Kartların üzerinde dört doğal sayı yazılıdır. Bu sayılardan yalnızca biri asal sayı değildir. Bu sayı hangisidir?

• A) 2
• B) 13
• C) 23
• D) 9

Doğru cevap: D — 9 sayısının 1 ve 9 dışında 3 böleni de vardır, bu yüzden asal değildir.

1. Asal sayının yalnızca iki pozitif böleni olur: 1 ve kendisi.
2. 2, 13 ve 23 için başka bölen yoktur.
3. 9 = 3 × 3 olduğundan 3 de bölenidir.
4. Asal olmayan sayı 9 dur.

8. Bir okulda 8. sınıf öğrencileri 5 erli, 6 şarlı ve 9 arlı gruplara ayrıldığında her seferinde 2 öğrenci açıkta kalmaktadır. Bu okulda en az kaç 8. sınıf öğrencisi vardır?

• A) 92
• B) 90
• C) 47
• D) 45

Doğru cevap: A — EKOK(5, 6, 9) = 90 olduğundan öğrenci sayısı 90 + 2 = 92 dir.

1. Her grupta 2 kişi arttığı için sayı EKOK + 2 biçimindedir.
2. 5 = 5, 6 = 2 × 3, 9 = 3²
3. EKOK = 2 × 3² × 5 = 90
4. 90 + 2 = 92 öğrenci

9. Tabloda 1 ile 20 arasındaki sayılardan bazıları boyanmıştır. Boyalı sayıların tamamı hangi doğal sayının katıdır?

• A) 4
• B) 2
• C) 5
• D) 8

Doğru cevap: A — Boyalı sayılar 4, 8, 12, 16, 20; hepsi 4’ün katıdır.

1. Tablodaki boyalı sayıları okuyalım: 4, 8, 12, 16, 20.
2. Aralarındaki fark hep 4; bu bir katlar dizisi olduğunu gösteriyor.
3. Hepsi 4’e tam bölünüyor, öyleyse 4’ün katları.
4. Denetleyelim: 2’nin katları olsaydı 6, 10, 14 ve 18 de boyalı olurdu — değiller ✓. 8’in katları olsaydı 4, 12 ve 20 boyalı olmazdı ✓.

10. Tabloda 18 ile 20 sayısının pozitif bölenleri listelenmiştir. Buna göre bu iki sayının ortak bölenlerinin toplamı kaçtır?

• A) 2
• B) 5
• C) 6
• D) 3

Doğru cevap: D — Ortak bölenler 1 ve 2 dir; toplamları 1 + 2 = 3 tür.

1. 18 in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
2. 20 nin bölenleri: 1, 2, 4, 5, 10, 20
3. Her iki listede de 1 ve 2 var.
4. 1 + 2 = 3

11. Beren, 30 ile 45 sayısının EBOB değerini şemadaki gibi bulmuştur. Beren hangi nedenle hatalı sonuca ulaşmıştır?

• A) Ortak olmayan 2 çarpanını da hesaba katmıştır.
• B) 45 sayısının çarpanlarını yanlış yazmıştır.
• C) EBOB yerine EKOK bulmuştur ama sonuç doğrudur.
• D) Hata yoktur, EBOB gerçekten 30 bulunur.

Doğru cevap: A — 2 çarpanı yalnızca 30 da vardır; EBOB yalnızca ortak çarpanlardan oluşur, doğrusu 3 × 5 = 15 tir.

1. 30 = 2 × 3 × 5, 45 = 3 × 3 × 5
2. İki sayıda da bulunan çarpanlar: 3 ve 5
3. 2 çarpanı 45 te yoktur, alınamaz.
4. EBOB = 3 × 5 = 15

12. Bir banyonun zemini şekildeki ölçülere sahiptir. Zemin, hiç kesilmeden aynı büyüklükte kare fayanslarla kaplanacaktır. Kullanılabilecek en büyük kare fayansın bir kenarı kaç cm olmalıdır?

• A) 30
• B) 40
• C) 60
• D) 20

Doğru cevap: C — Fayans kenarı EBOB(120, 180) = 60 cm olmalıdır.

1. 120 = 2³ × 3 × 5, 180 = 2² × 3² × 5
2. Ortak çarpanların küçük üslüleri: 2² × 3 × 5
3. EBOB = 4 × 3 × 5 = 60
4. En büyük kare fayansın kenarı 60 cm dir.

13. Şemada 84 sayısı asal çarpanlarına ayrılmıştır. Buna göre 84 sayısının birbirinden farklı kaç asal çarpanı vardır?

• A) 2
• B) 3
• C) 4
• D) 6

Doğru cevap: B — Şemadan 84 = 2 × 2 × 3 × 7; tekrar edenler bir kez sayılır ve farklı asal çarpanlar 2, 3, 7 olur.

1. Çarpan ağacının uçlarını okuyalım: 2, 2, 3, 7.
2. Soru FARKLI asal çarpan sayısını istiyor; tekrar edenleri bir kez sayarız.
3. Farklı olanlar: 2, 3 ve 7 — üç tane.
4. Denetleyelim: 84 = 2² × 3 × 7 ✓ ve üslü yazımda üç ayrı taban görünüyor.

14. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem 3 hem de 4 ile kalansız bölünebilir?

• A) 114
• B) 126
• C) 132
• D) 138

Doğru cevap: C — 132 sayısının rakam toplamı 6 olduğu için 3 ile, son iki basamağı 32 olduğu için 4 ile bölünür.

1. 3 ile bölünme: rakamlar toplamı 3 ün katı olmalı.
2. 4 ile bölünme: son iki basamak 4 ün katı olmalı.
3. 114, 126 ve 138 in son iki basamağı 4 ün katı değildir.
4. 132: 1+3+2 = 6 ve 32 = 4 × 8 → her ikisi de sağlanır.

15. İki doğal sayının EBOB değeri 6, EKOK değeri 72 olarak bulunmuştur. Bu sayılardan biri 24 olduğuna göre diğeri kaçtır?

• A) 12
• B) 18
• C) 36
• D) 9

Doğru cevap: B — a × b = EBOB × EKOK bağıntısı kullanılır: 6 × 72 = 432 ve 432 ÷ 24 = 18.

1. İki sayının çarpımı, EBOB ile EKOK’un çarpımına eşittir. Bu bağıntı biri bilinmediğinde köprü kurar.
2. Sağ tarafı hesaplayalım: 6 × 72 = 432. Demek ki iki sayının çarpımı 432.
3. Biri 24 olduğuna göre öteki: 432 ÷ 24 = 18.
4. Denetleyelim: EBOB(24, 18) = 6 ✓ ve EKOK(24, 18) = 72 ✓. Verilen değerlere döndük.